Při studiu stereometrie je jedním z hlavních témat „Válec“. Boční plocha je považována, ne-li hlavní, pak za důležitý vzorec při řešení geometrických problémů. Je však důležité pamatovat si definice, které vám pomohou orientovat se v příkladech a při dokazování různých vět.
Koncepce válce
Nejprve musíme zvážit několik definic. Teprve po jejich prostudování lze začít uvažovat o otázce vzorce pro oblast bočního povrchu válce. Na základě tohoto zadání lze vypočítat další výrazy.
- Válcová plocha je chápána jako rovina popsaná tvořící čárou, která se pohybuje a zůstává rovnoběžná s daným směrem, klouže po existující křivce.
- Existuje také druhá definice: válcová plocha je tvořena sadou rovnoběžných čar protínajících danou křivku.
- Generativní se běžně nazývá výška válce. Když se pohybuje kolem osy procházející středem základny,je získáno určené geometrické těleso.
- Pod osou je myšlena přímka procházející oběma základnami obrázku.
- Válec je stereometrické těleso ohraničené protínající se boční plochou a 2 rovnoběžnými rovinami.
Této trojrozměrné postavy existují různé druhy:
- Kruh je válec, jehož vedením je kruh. Jeho hlavní součásti jsou poloměr základny a tvořící přímka. Druhá se rovná výšce postavy.
- Je tam rovný válec. Svůj název dostal díky kolmosti tvořící čáry k základnám obrazce.
- Třetím druhem je zkosený válec. V učebnicích pro něj můžete najít i jiný název – „kruhový válec se zkosenou základnou“. Tento údaj definuje poloměr základny, minimální a maximální výšku.
- Rovnostranný válec je chápán jako těleso, které má stejnou výšku a průměr v kruhové rovině.
Symboly
Tradičně se hlavní „komponenty“válce nazývají takto:
- Poloměr základny je R (nahrazuje také stejnou hodnotu stereometrického obrazce).
- Generativní – L.
- Výška – V.
- Základní plocha - Száklad(jinými slovy, musíte najít zadaný parametr kruhu).
- Výšky zkoseného válce – h1, h2(minimální a maximální).
- Postranní plocha - Sstrana (pokud ji rozšíříte, získátejakýsi obdélník).
- Objem stereometrického obrazce - V.
- Celková plocha – S.
„Součásti“stereometrického obrazce
Při studiu válce hraje důležitou roli boční povrch. To je způsobeno tím, že tento vzorec je součástí několika dalších, složitějších. Proto je nutné se dobře orientovat v teorii.
Hlavní součásti obrázku jsou:
- Postranní povrch. Jak víte, získává se díky pohybu tvořící čáry podél dané křivky.
- Úplný povrch zahrnuje stávající základny a boční rovinu.
- Sekce válce je zpravidla obdélník umístěný rovnoběžně s osou obrázku. Jinak se tomu říká letadlo. Ukazuje se, že délka a šířka jsou částečnými složkami jiných postav. Podmíněně jsou tedy délky úseku generátory. Šířka - rovnoběžné akordy stereometrického obrazce.
- Axiální řez znamená umístění roviny středem těla.
- A nakonec konečná definice. Tečna je rovina procházející tvořící přímkou válce a kolmá k osovému řezu. V tomto případě musí být splněna jedna podmínka. Zadaná tvořící čára musí být zahrnuta v rovině osového řezu.
Základní vzorce pro práci s válcem
Abychom mohli odpovědět na otázku, jak zjistit povrch válce, je nutné prostudovat hlavní "složky" stereometrického obrazce a vzorce pro jejich nalezení.
Tyto vzorce se liší v tom, že nejprve jsou uvedeny výrazy pro zkosený válec a poté pro rovný.
Dekonstruované příklady
Úkol 1.
Je nutné znát plochu bočního povrchu válce. Je dána úhlopříčka řezu AC=8 cm (navíc je osová). Při kontaktu s generatrix se ukáže <ACD=30°
Rozhodnutí. Protože jsou známé hodnoty úhlopříčky a úhlu, pak v tomto případě:
CD=ACcos 30°
Komentář. Trojúhelník ACD je v tomto konkrétním příkladu pravoúhlý trojúhelník. To znamená, že kvocient dělení CD a AC=kosinus daného úhlu. Hodnotu goniometrických funkcí naleznete ve speciální tabulce.
Podobně můžete najít hodnotu AD:
AD=ACsin 30°
Nyní musíte vypočítat požadovaný výsledek pomocí následující formulace: plocha bočního povrchu válce se rovná dvojnásobku výsledku vynásobení „pí“, poloměru postavy a její výšky. Měl by být také použit jiný vzorec: plocha základny válce. Rovná se výsledku vynásobení „pí“druhou mocninou poloměru. A nakonec poslední vzorec: celková plocha povrchu. Je roven součtu předchozích dvou oblastí.
Úkol 2.
Válce jsou dány. Jejich objem=128n cm³. Který válec má nejmenšícelý povrch?
Rozhodnutí. Nejprve musíte použít vzorce pro zjištění objemu postavy a její výšky.
Vzhledem k tomu, že celkový povrch válce je z teorie znám, je třeba použít jeho vzorec.
Pokud budeme uvažovat výsledný vzorec jako funkci plochy válce, pak minimálního "ukazatele" bude dosaženo v extrémním bodě. Chcete-li získat poslední hodnotu, musíte použít diferenciaci.
Vzorce lze zobrazit ve speciální tabulce pro hledání derivátů. V budoucnu se nalezený výsledek rovná nule a je nalezeno řešení rovnice.
Odpověď: Smin bude dosaženo při v=1/32 cm, R=64 cm.
Problém 3.
Vzhledem k tomu je stereometrický obrazec - válec a řez. Ten se provádí tak, že je umístěn rovnoběžně s osou stereometrického tělesa. Válec má tyto parametry: VK=17 cm, v=15 cm, R=5 cm. Je nutné najít vzdálenost mezi řezem a osou.
Rozhodnutí.
Vzhledem k tomu, že průřezem válce se rozumí VSCM, tj. obdélník, jeho strana VM=h. Je třeba zvážit WMC. Trojúhelník je obdélníkový. Na základě tohoto tvrzení můžeme odvodit správný předpoklad, že MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² – VM²
MK²=17² – 15²
MK²=64
MK=8
Odtud můžeme usoudit, že MK=BC=8 cm.
Dalším krokem je nakreslení řezu základnou obrázku. Je nutné vzít v úvahu výslednou rovinu.
AD – průměr stereometrického obrazce. Je paralelní k části uvedené v prohlášení o problému.
BC je přímka umístěná v rovině stávajícího obdélníku.
ABCD je lichoběžník. V konkrétním případě je považován za rovnoramenný, protože je kolem něj popsán kruh.
Pokud zjistíte výšku výsledného lichoběžníku, můžete získat odpověď uvedenou na začátku úlohy. Konkrétně: zjištění vzdálenosti mezi osou a nakresleným řezem.
Abyste to udělali, musíte najít hodnoty AD a OS.
Odpověď: řez je umístěn 3 cm od osy.
Problémy s konsolidací materiálu
Příklad 1.
Válec je dán. V dalším řešení je použita boční plocha. Jiné možnosti jsou známy. Plocha základny je Q, plocha osového řezu je M. Je nutné najít S. Jinými slovy, celková plocha válce.
Příklad 2.
Válec je dán. Boční povrch musí být nalezen v jednom z kroků řešení problému. Je známo, že výška=4 cm, poloměr=2 cm. Je nutné najít celkovou plochu stereometrického obrazce.
