Projekce síly na osu a na rovinu. Fyzika

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Síla je jedním z nejdůležitějších pojmů ve fyzice. Způsobuje změnu stavu jakýchkoli objektů. V tomto článku zvážíme, co je tato hodnota, jaké existují síly, a také si ukážeme, jak najít průmět síly na osu a na rovinu.

Síla a její fyzikální význam

Ve fyzice je síla vektorová veličina, která ukazuje změnu hybnosti tělesa za jednotku času. Tato definice považuje sílu za dynamickou charakteristiku. Z hlediska statiky je síla ve fyzice mírou elastické nebo plastické deformace těles.

Mezinárodní soustava SI vyjadřuje sílu v newtonech (N). Co je 1 newton, nejjednodušší způsob, jak pochopit příklad druhého zákona klasické mechaniky. Jeho matematický zápis je následující:

F¯=ma¯

Zde F¯ je nějaká vnější síla působící na těleso o hmotnosti m, která má za následek zrychlení a¯. Kvantitativní definice jednoho newtonu vyplývá ze vzorce: 1 N je taková síla, která vede ke změně rychlosti tělesa o hmotnosti 1 kg o 1 m/s za každou sekundu.

Příklady dynamikyprojevy síly jsou zrychlení auta nebo volně padajícího tělesa v zemském gravitačním poli.

Statický projev síly, jak bylo uvedeno, je spojen s deformačními jevy. Zde by měly být uvedeny následující vzorce:

F=PS

F=-kx

První výraz vztahuje sílu F k tlaku P, který působí na nějakou oblast S. Prostřednictvím tohoto vzorce lze 1 N definovat jako tlak 1 pascal aplikovaný na plochu 1 m 2^{. Například sloupec atmosférického vzduchu na úrovni moře tlačí na místo 1 m}2^{sílou 10}5^N!

Druhý výraz je klasická forma Hookova zákona. Například natažení nebo stlačení pružiny o lineární hodnotu x vede ke vzniku protilehlé síly F (ve výrazu k je faktor úměrnosti).

Jaké síly existují

Výše již bylo ukázáno, že síly mohou být statické a dynamické. Zde říkáme, že kromě této vlastnosti to mohou být kontaktní nebo dalekonosné síly. Například třecí síla, podpěrné reakce jsou kontaktní síly. Důvodem jejich vzhledu je platnost Pauliho principu. Ten říká, že dva elektrony nemohou zaujímat stejný stav. To je důvod, proč dotek dvou atomů vede k jejich odpuzování.

Dálkové síly vznikají jako výsledek interakce těles přes určité nosné pole. Jsou to například gravitační síla nebo elektromagnetická interakce. Obě síly mají nekonečný rozsah,jejich intenzita však klesá s druhou mocninou vzdálenosti (Coulombovy zákony a gravitace).

Síla je vektorová veličina

Po vypořádání se s významem uvažované fyzikální veličiny můžeme přistoupit ke studiu problematiky promítání síly na osu. Nejprve si všimneme, že tato veličina je vektor, to znamená, že je charakterizována modulem a směrem. Ukážeme si, jak vypočítat modul síly a jeho směr.

Je známo, že jakýkoli vektor může být v daném souřadnicovém systému jednoznačně definován, pokud jsou známy hodnoty souřadnic jeho začátku a konce. Předpokládejme, že existuje nějaký směrovaný segment MN¯. Potom lze jeho směr a modul určit pomocí následujících výrazů:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Zde souřadnice s indexy 2 odpovídají bodu N, ty s indexy 1 odpovídají bodu M. Vektor MN¯ směřuje z M do N.

Pro obecnost jsme si ukázali, jak najít modul a souřadnice (směr) vektoru v trojrozměrném prostoru. Podobné vzorce bez třetí souřadnice platí pro případ v rovině.

Modul síly je tedy jeho absolutní hodnota, vyjádřená v newtonech. Z hlediska geometrie je modul délkou orientovaného segmentu.

Na co je projekce síly?osa?

O projekcích směrovaných segmentů na souřadnicové osy a roviny je nejpohodlnější hovořit, pokud nejprve umístíte odpovídající vektor do počátku, tedy do bodu (0; 0; 0). Předpokládejme, že máme nějaký vektor síly F¯. Umístíme jeho začátek do bodu (0; 0; 0), souřadnice vektoru pak můžeme zapsat následovně:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ ukazuje směr síly v prostoru v daném souřadnicovém systému. Nyní nakreslíme kolmé segmenty od konce F¯ ke každé z os. Vzdálenost od průsečíku kolmice s příslušnou osou k počátku se nazývá průmět síly na osu. Není těžké uhodnout, že v případě síly F¯ budou její průměty na osy x, y a z x₁, y_{1 a z 1}. Všimněte si, že tyto souřadnice ukazují moduly silových projekcí (délka segmentů).

Úhly mezi silou a jejími průměty na souřadnicových osách

Výpočet těchto úhlů není obtížný. K jeho vyřešení je zapotřebí pouze znalost vlastností goniometrických funkcí a schopnost aplikovat Pythagorovu větu.

Například definujme úhel mezi směrem síly a jejím průmětem na osu x. Odpovídající pravoúhlý trojúhelník bude tvořen přeponou (vektor F¯) a ramenem (úsek x₁). Druhá větev je vzdálenost od konce vektoru F¯ k ose x. Úhel α mezi F¯ a osou x se vypočítá podle vzorce:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Jak vidíte, pro určení úhlu mezi osou a vektorem je nutné a dostatečné znát souřadnice konce směrovaného segmentu.

Pro úhly s jinými osami (yaz) můžete napsat podobné výrazy:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Všimněte si, že ve všech vzorcích jsou moduly v čitatelích, které eliminují vzhled tupých rohů. Mezi silou a jejími axiálními průměty jsou úhly vždy menší nebo rovné 90^o.

Síla a její projekce v souřadnicové rovině

Definice průmětu síly do roviny je stejná jako pro osu, pouze v tomto případě by kolmice neměla být spuštěna na osu, ale na rovinu.

V případě prostorového pravoúhlého souřadnicového systému máme tři vzájemně kolmé roviny xy (horizontální), yz (frontální vertikální), xz (laterální vertikální). Průsečíky kolmic spadlých z konce vektoru k pojmenovaným rovinám jsou:

(x₁; y₁; 0) pro xy;

(x₁; 0; z₁) pro xz;

(0; y₁; z₁) pro zy.

Pokud je každý z označených bodů připojen k počátku, pak dostaneme průmět síly F¯ do odpovídající roviny. Jaký je modul síly, víme. Chcete-li zjistit modul každé projekce, musíte použít Pythagorovu větu. Označme projekce na rovině jako F_xy, F_xz a F_zy. Pak budou rovnosti platné pro jejich moduly:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Úhly mezi projekcemi do roviny a vektorem síly

V předchozím odstavci byly uvedeny vzorce pro moduly promítání do roviny uvažovaného vektoru F¯. Tyto průměty spolu s úsečkou F¯ a vzdáleností jejího konce k rovině tvoří pravoúhlé trojúhelníky. Proto, stejně jako v případě průmětů na osu, můžete pro výpočet příslušných úhlů použít definici goniometrických funkcí. Můžete napsat následující rovnosti:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Je důležité si uvědomit, že úhel mezi směrem síly F¯ a jejím odpovídajícím průmětem do roviny je roven úhlu mezi F¯ a touto rovinou. Uvážíme-li tento problém z hlediska geometrie, pak můžeme říci, že směrovaná úsečka F¯ je nakloněna vzhledem k rovinám xy, xz a zy.

Kde se používají projekce síly?

Výše uvedené vzorce pro průměty sil na souřadnicové osy a na rovinu nejsou zajímavé pouze z teoretického hlediska. Často se používají při řešení fyzických problémů. Samotný proces hledání projekcí se nazývá rozklad síly na její složky. Posledně jmenované jsou vektory, jejichž součet by měl dávat původní vektor síly. V obecném případě je možné sílu rozložit na libovolné složky, pro řešení problémů je však vhodné použít průměty na kolmé osy a roviny.

Problémy, kde se používá koncept projekce sil, mohou být velmi odlišné. Například tentýž druhý Newtonův zákon předpokládá, že vnější síla F¯ působící na těleso musí směřovat stejným způsobem jako vektor rychlosti v¯. Pokud se jejich směry liší o nějaký úhel, pak, aby rovnost zůstala platná, je třeba do ní dosadit nikoli sílu F¯ samotnou, ale její průmět do směru v¯.

Dále uvedeme pár příkladů, kde si ukážeme, jak používat nahranévzorce.

Úkol určit průměty sil na rovinu a na souřadnicové osy

Předpokládejme, že existuje nějaká síla F¯, která je reprezentována vektorem s následujícími koncovými a počátečními souřadnicemi:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Je nutné určit modul síly, stejně jako všechny její průměty na souřadnicové osy a roviny a úhly mezi F¯ a každou z jejích průmětů.

Začněme problém řešit výpočtem souřadnic vektoru F¯. Máme:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Pak modul síly bude:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projekce na souřadnicové osy se rovnají odpovídajícím souřadnicím vektoru F¯. Vypočítejme úhly mezi nimi a směrem F¯. Máme:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Protože jsou známy souřadnice vektoru F¯, je možné vypočítat moduly průmětů sil na souřadnicovou rovinu. Pomocí výše uvedených vzorců dostaneme:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Nakonec zbývá vypočítat úhly mezi nalezenými průměty na rovinu a vektorem síly. Máme:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Vektor F¯ je tedy nejblíže rovině souřadnic xy.

Problém s posuvnou tyčí na nakloněné rovině

Nyní vyřešme fyzikální problém, kde bude nutné použít koncept projekce síly. Nechť je dána dřevěná nakloněná rovina. Úhel jeho sklonu k horizontu je 45^o. Na rovině je dřevěný blok o hmotnosti 3 kg. Je nutné určit, s jakým zrychlením se tato tyč bude pohybovat po rovině, pokud je známo, že koeficient kluzného tření je 0,7.

Nejprve udělejme pohybovou rovnici tělesa. Protože na něj budou působit pouze dvě síly (projekce gravitace do roviny a třecí síla), rovnice bude mít tvar:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Zde F_g, F_f je projekce gravitace a tření. To znamená, že úkol je redukován na výpočet jejich hodnot.

Vzhledem k tomu, že úhel, pod kterým je rovina nakloněna k horizontu, je 45^o, je snadné ukázat, že projekce gravitace F_gpodél povrchu letadla se bude rovnat: