V článku, na který jste upozornili, nabízíme příklady matematických modelů. Kromě toho se budeme věnovat fázím vytváření modelů a analyzovat některé úkoly spojené s matematickým modelováním.
Další z našich otázek se týká matematických modelů v ekonomice, příkladů, jejichž definici zvážíme o něco později. Navrhujeme začít náš rozhovor samotným pojmem „model“, krátce zvážit jejich klasifikaci a přejít k našim hlavním otázkám.
Koncept „modelu“
Často slýcháme slovo „modelka“. Co je to? Tento termín má mnoho definic, zde jsou jen tři z nich:
- specifický objekt, který je vytvořen k přijímání a uchovávání informací odrážejících některé vlastnosti nebo charakteristiky a tak dále originálu tohoto objektu (tento specifický objekt může být vyjádřen v různých formách: mentální, popis pomocí znaků, a tak dále);
- model znamená také zobrazení jakékoliv konkrétní situace, života popřmanažerský;
- model může sloužit jako zmenšená kopie libovolného objektu (jsou vytvořeny pro podrobnější studium a analýzu, protože model odráží strukturu a vztahy).
Na základě všeho, co bylo řečeno dříve, můžeme učinit malý závěr: model vám umožňuje podrobně studovat složitý systém nebo objekt.
Všechny modely lze klasifikovat podle řady kritérií:
- podle oblasti použití (vzdělávací, experimentální, vědecké a technické, hry, simulace);
- podle dynamiky (statické a dynamické);
- podle oboru znalostí (fyzikální, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
- způsobem prezentace (materiální a informační).
Informační modely se zase dělí na znakové a verbální. A ikonické – na počítači i mimo počítač. Nyní přejděme k podrobnému zvážení příkladů matematického modelu.
Matematický model
Jak asi tušíte, matematický model odráží některé rysy objektu nebo jevu pomocí speciálních matematických symbolů. Matematika je potřebná k modelování vzorců okolního světa v jeho vlastním specifickém jazyce.
Metoda matematického modelování vznikla docela dávno, před tisíci lety, spolu s příchodem této vědy. Impuls pro vývoj této modelovací metody však dal vznik počítačů (elektronických počítačů).
Nyní přejděme ke klasifikaci. Může být také provedeno podle některých znaků. Oni jsoujsou uvedeny v tabulce níže.
| Klasifikace podle vědního oboru | Aplikace matematických modelů ve fyzice, sociologii, chemii a tak dále |
| Podle matematického aparátu použitého v procesu modelování | Modely založené na diferenciálních rovnicích, diskrétních algebraických transformacích a podobně |
| Podle modelování cílů | Podle tohoto principu existují popisné, optimalizační, multikriteriální, herní a simulační modely |
Navrhujeme zastavit se a podívat se blíže na poslední klasifikaci, protože odráží obecné vzorce modelování a cíle vytvářených modelů.
Popisné modely
V této kapitole navrhujeme, abychom se podrobněji věnovali deskriptivním matematickým modelům. Aby bylo vše velmi jasné, bude uveden příklad.
Pro začátek lze tento pohled nazvat popisným. To je způsobeno skutečností, že pouze provádíme výpočty a předpovědi, ale nemůžeme žádným způsobem ovlivnit výsledek události.
Výrazným příkladem deskriptivního matematického modelu je výpočet dráhy letu, rychlosti a vzdálenosti od Země komety, která napadla rozlehlost naší sluneční soustavy. Tento model je popisný, protože všechny získané výsledky nás mohou pouze varovat před nějakým druhem nebezpečí. Ovlivnit výsledek akce, bohužel, nemámeUmět. Na základě získaných výpočtů je však možné přijmout jakákoli opatření k záchraně života na Zemi.
Modely optimalizace
Nyní si povíme něco o ekonomických a matematických modelech, jejichž příklady mohou být různé situace. V tomto případě mluvíme o modelech, které za určitých podmínek pomáhají najít správnou odpověď. Musí mít nějaké parametry. Aby to bylo velmi jasné, zvažte příklad ze zemědělské části.
Máme sýpku, ale obilí se velmi rychle kazí. V tomto případě musíme zvolit správný teplotní režim a optimalizovat proces skladování.
Můžeme tedy definovat pojem „model optimalizace“. V matematickém smyslu se jedná o soustavu rovnic (lineárních i nelineárních), jejichž řešení pomáhá nalézt optimální řešení v konkrétní ekonomické situaci. Uvažovali jsme o příkladu matematického modelu (optimalizace), ale rád bych dodal: tento typ patří do třídy extrémních problémů, pomáhají popsat fungování ekonomického systému.
Všimněte si ještě jedné nuance: modely mohou být různé povahy (viz tabulka níže).
| deterministický | V tomto případě závisí výsledek na vstupních datech |
| stochastic | Popis náhodných procesů. V tomto případě zůstane výsledek nedefinovaný |
Multikriteriální modely
Nyní vás zveme, abyste si o tom něco málo popovídalimatematický model vícecílové optimalizace. Předtím jsme uvedli příklad matematického modelu pro optimalizaci procesu podle libovolného kritéria, ale co když jich je hodně?
Nápadným příkladem vícekriteriálního úkolu je organizace správné, zdravé a zároveň ekonomické výživy pro velké skupiny lidí. Takové úkoly se často vyskytují v armádě, školních jídelnách, letních táborech, nemocnicích a tak dále.
Jaká kritéria jsou uvedena v tomto problému?
- Jídlo by mělo být zdravé.
- Výdaje za jídlo by měly být minimální.
Jak vidíte, tyto cíle se vůbec neshodují. To znamená, že při řešení problému je nutné hledat optimální řešení, rovnováhu mezi dvěma kritérii.
Herní modely
Když už mluvíme o herních modelech, je nutné pochopit pojem „teorie her“. Jednoduše řečeno, tyto modely odrážejí matematické modely skutečných konfliktů. Jen si uvědomte, že na rozdíl od skutečného konfliktu má herní matematický model svá vlastní specifická pravidla.
Nyní zde bude minimum informací z teorie her, které vám pomohou pochopit, co je herní model. A tak v modelu nutně existují party (dvě nebo více), kterým se obvykle říká hráči.
Všechny modely mají určité vlastnosti.
| Předměty | Počet hráčů |
| Strategie | Možnosti možných akcí |
| Platba | Výsledek konfliktu (výhra nebo prohra). |
Herní model může být spárovaný nebo vícenásobný. Pokud máme dva subjekty, pak je konflikt spárován, pokud je více - více. Antagonistickou hru lze také rozlišit, nazývá se také hra s nulovým součtem. Toto je model, ve kterém se zisk jednoho z účastníků rovná ztrátě druhého.
Simulační modely
V této části se budeme věnovat simulačním matematickým modelům. Příklady úkolů jsou:
- model dynamiky počtu mikroorganismů;
- model pohybu molekul a tak dále.
V tomto případě mluvíme o modelech, které jsou co nejblíže reálným procesům. Celkově napodobují jakýkoli projev v přírodě. V prvním případě můžeme například modelovat dynamiku počtu mravenců v jedné kolonii. V tomto případě můžete pozorovat osud každého jednotlivce. V tomto případě se matematický popis používá zřídka, častěji jsou zde písemné podmínky:
- po pěti dnech samice naklade vajíčka;
- 20 dní poté mravenec zemře a tak dále.
Pro popis velkého systému se tedy používají simulační modely. Matematickým závěrem je zpracování obdržených statistických dat.
Požadavky
Velmi důležitémějte na paměti, že na tento typ modelu existují určité požadavky, mezi nimiž jsou uvedeny v tabulce níže.
| Všestrannost | Tato vlastnost vám umožňuje použít stejný model při popisu skupin objektů stejného typu. Je důležité poznamenat, že univerzální matematické modely jsou zcela nezávislé na fyzikální povaze studovaného objektu |
| Adekvátnost | Tady je důležité pochopit, že tato vlastnost vám umožňuje co nejpřesněji reprodukovat skutečné procesy. V operačních úlohách je tato vlastnost matematického modelování velmi důležitá. Příkladem modelu je proces optimalizace využití plynového systému. V tomto případě se porovnávají vypočítané a skutečné ukazatele, výsledkem je kontrola správnosti sestaveného modelu |
| Přesnost | Tento požadavek implikuje shodu hodnot, které získáme při výpočtu matematického modelu a vstupních parametrů našeho reálného objektu |
| Ekonomika | Požadavek na nákladovou efektivitu pro jakýkoli matematický model je charakterizován náklady na implementaci. Pokud je práce s modelem prováděna ručně, pak je nutné spočítat, kolik času zabere vyřešení jednoho problému pomocí tohoto matematického modelu. Pokud mluvíme o počítačově podporovaném návrhu, pak se vypočítají ukazatele nákladů na čas a počítačovou paměť |
Fázemodeling
Celkově je v matematickém modelování obvyklé rozlišovat čtyři fáze.
- Formulujte zákony, které spojují části modelu.
- Výzkum matematických problémů.
- Objasnění shody praktických a teoretických výsledků.
- Analýza a modernizace modelu.
Ekonomický a matematický model
V této části stručně upozorníme na problematiku ekonomických a matematických modelů. Příklady úkolů jsou:
- formace výrobního programu na výrobu masných výrobků, zajišťující maximální zisk výroby;
- maximalizujte zisk organizace výpočtem optimálního počtu stolů a židlí, které mají být vyrobeny v továrně na nábytek atd.
Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickou abstrakci, která je vyjádřena pomocí matematických termínů a znaků.
Počítačový matematický model
Příklady počítačového matematického modelu jsou:
- problémy hydrauliky pomocí vývojových diagramů, diagramů, tabulek atd.;
- problémy s mechanikou těles a tak dále.
Počítačový model je obrázek objektu nebo systému prezentovaný jako:
- stoly;
- flowcharts;
- diagrams;
- grafika a tak dále.
Tento model zároveň odráží strukturu a propojení systému.
Sestavení ekonomicko-matematického modelu
Už jsme mluvili o tom, co ekonomickématematický model. Právě teď bude zvažován příklad řešení problému. Musíme analyzovat výrobní program, abychom identifikovali rezervu pro zvýšení zisku s posunem v sortimentu.
Nebudeme se tímto problémem plně zabývat, ale pouze vytvoříme ekonomický a matematický model. Kritériem našeho úkolu je maximalizace zisku. Pak má funkce tvar: Л=р1х1+р2х2… směřující k maximu. V tomto modelu p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotek. Dále je na základě sestrojeného modelu nutné provést výpočty a shrnout.
Příklad sestavení jednoduchého matematického modelu
Úkol. Rybář se vrátil s následujícím úlovkem:
- 8 ryby – obyvatelé severních moří;
- 20 % úlovku – obyvatelé jižních moří;
- z místní řeky nebyla nalezena jediná ryba.
Kolik ryb koupil v obchodě?
Příklad konstrukce matematického modelu tohoto problému je tedy následující. Celkový počet ryb označíme jako x. Podle podmínky je 0,2x počet ryb žijících v jižních zeměpisných šířkách. Nyní zkombinujeme všechny dostupné informace a dostaneme matematický model úlohy: x=0, 2x+8. Vyřešíme rovnici a dostaneme odpověď na hlavní otázku: koupil v obchodě 10 ryb.
