Algebraické nerovnice nebo jejich soustavy s racionálními koeficienty, jejichž řešení se hledají v celočíselných nebo celých číslech. Počet neznámých v diofantických rovnicích je zpravidla větší. Proto jsou také známé jako neurčité nerovnosti. V moderní matematice je výše uvedený koncept aplikován na algebraické rovnice, jejichž řešení se hledají v algebraických celých číslech určitého rozšíření oboru Q-racionálních proměnných, pole p-adických proměnných atd.
Původ těchto nerovností
Studium diofantických rovnic je na hranici mezi teorií čísel a algebraickou geometrií. Hledání řešení v celočíselných proměnných je jedním z nejstarších matematických problémů. Již na počátku druhého tisíciletí př. Kr. staří Babyloňané dokázali vyřešit soustavy rovnic se dvěma neznámými. Toto odvětví matematiky nejvíce vzkvétalo ve starověkém Řecku. Diofantova aritmetika (asi 3. století n. l.) je významným a hlavním zdrojem, který obsahuje různé typy a systémy rovnic.
V této knize Diophantus předvídal řadu metod pro studium nerovností druhého a třetíhostupně, které se plně rozvinuly v 19. století. Vytvoření teorie racionálních čísel tímto badatelem starověkého Řecka vedlo k rozboru logických řešení neurčitých systémů, kterými se v jeho knize systematicky řídí. Přestože jeho práce obsahuje řešení konkrétních diofantických rovnic, existuje důvod se domnívat, že znal také několik obecných metod.
Studium těchto nerovností je obvykle spojeno s vážnými obtížemi. Vzhledem k tomu, že obsahují polynomy s celočíselnými koeficienty F (x, y1, …, y). Na základě toho byly vyvozeny závěry, že neexistuje jediný algoritmus, který by mohl být použit k určení pro jakékoli dané x, zda rovnice F (x, y1, …., y ). Situace je řešitelná pro y1, …, y . Příklady takových polynomů lze napsat.
Nejjednodušší nerovnost
ax + by=1, kde a a b jsou relativně celá čísla a prvočísla, má obrovský počet provedení (pokud x0, y0 vznikne výsledek, pak dvojice proměnných x=x0 + b a y=y0 -an, kde n je libovolné, bude také považováno za nerovnost). Dalším příkladem diofantických rovnic je x2 + y2 =z2. Kladným integrálním řešením této nerovnice jsou délky malých stran x, y a pravoúhlých trojúhelníků a také přepona z s celočíselnými rozměry stran. Tato čísla jsou známá jako Pythagorejská čísla. Jsou uvedeny všechny trojice s ohledem na prvočíslovýše uvedené proměnné jsou dány x=m2 – n2, y=2 mil., z=m2+ n2, kde m a n jsou celá čísla a prvočísla (m>n>0).
Diophantus ve své Aritmetice hledá racionální (ne nutně integrální) řešení speciálních typů svých nerovností. Obecnou teorii pro řešení diofantických rovnic prvního stupně vypracoval C. G. Baschet v 17. století. Jiní vědci na začátku 19. století studovali hlavně podobné nerovnosti jako ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kde a, b, c, d, e a f jsou obecné, heterogenní, se dvěma neznámými druhého stupně. Lagrange ve své studii používal pokračovací zlomky. Gauss pro kvadratické formy vyvinul obecnou teorii, která je základem některých typů řešení.
Ve studiu těchto nerovností druhého stupně bylo dosaženo významného pokroku až ve 20. století. A. Thue zjistil, že diofantická rovnice a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kde n≧3, a0, …, a , c jsou celá čísla a a0tn + …+ a nemůže mít nekonečný počet celočíselných řešení. Thueova metoda však nebyla správně vyvinuta. A. Baker vytvořil efektivní teorémy, které poskytují odhady výkonu některých rovnic tohoto druhu. BN Delaunay navrhl další metodu zkoumání použitelnou pro užší třídu těchto nerovností. Konkrétně tvar ax3 + y3 =1 je tímto způsobem zcela řešitelný.
Diofantické rovnice: metody řešení
Teorie Diofanta má mnoho směrů. Dobře známým problémem v tomto systému je tedy hypotéza, že neexistuje žádné netriviální řešení diofantických rovnic xn + y =z n if n ≧ 3 (Fermatova otázka). Studium celočíselných splnění nerovnice je přirozeným zobecněním problému pythagorejských trojic. Euler získal kladné řešení Fermatovy úlohy pro n=4. Na základě tohoto výsledku odkazuje na důkaz chybějících celočíselných, nenulových studií rovnice, pokud n je liché prvočíslo.
Studie týkající se rozhodnutí nebyla dokončena. Potíže s jeho implementací souvisejí se skutečností, že jednoduchá faktorizace v okruhu algebraických celých čísel není ojedinělá. Teorie dělitelů v tomto systému pro mnoho tříd prvočíselných exponentů n umožňuje potvrdit platnost Fermatovy věty. Lineární diofantická rovnice se dvěma neznámými je tedy splněna stávajícími metodami a způsoby.
Typy a typy popsaných úkolů
Aritmetika okruhů algebraických celých čísel se také používá v mnoha dalších problémech a řešeních diofantických rovnic. Takové metody byly například použity při plnění nerovností tvaru N(a1 x1 +…+ a x)=m, kde N(a) je norma a, a x1, …, xn integrální racionální proměnné jsou nalezeny. Tato třída zahrnuje Pellovu rovnici x2–dy2=1.
Hodnoty a1, …, a , které se objevují, jsou tyto rovnice rozděleny do dvou typů. První typ - tzv. úplné formy - zahrnuje rovnice, ve kterých mezi a je m lineárně nezávislých čísel na poli racionálních proměnných Q, kde m=[Q(a1, …, a):Q], ve kterém existuje určitý stupeň algebraických exponentů Q (a1, …, a ) nad Q. Neúplné druhy jsou ty v což je maximální počet a i menší než m.
Úplné formuláře jsou jednodušší, jejich studium je kompletní a všechna řešení lze popsat. Druhý typ, neúplné druhy, je složitější a vývoj takové teorie ještě není dokončen. Tyto rovnice jsou studovány pomocí diofantických aproximací, které zahrnují nerovnost F(x, y)=C, kde F (x, y) je ireducibilní, homogenní polynom stupně n≧3. Můžeme tedy předpokládat, že yi→∞. Pokud je tedy yi dostatečně velké, pak bude nerovnost v rozporu s Thueovou, Siegelovou a Rothovou větou, z níž vyplývá, že F(x, y)=C, kde F je forma třetího stupně nebo vyšší, neredukovatelný nemůže mít nekonečný počet řešení.
Jak vyřešit diofantinskou rovnici?
Tento příklad je mezi všemi poměrně úzkou třídou. Například navzdory jednoduchosti x3 + y3 + z3=N a x2 +y 2 +z2 +u2 =N nejsou zahrnuty do této třídy. Studium řešení je poměrně pečlivě studovanou větví diofantických rovnic, kde základem je reprezentace pomocí kvadratických forem čísel. Lagrangevytvořil větu, která říká, že splnění existuje pro všechna přirozená N. Jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako součet tří čtverců (Gaussova věta), ale nemělo by mít tvar 4a (8K-1), kde a a k jsou nezáporné celočíselné exponenty.
Racionální nebo integrální řešení systému diofantické rovnice typu F (x1, …, x)=a, kde F (x 1, …, x) je kvadratická forma s celočíselnými koeficienty. Podle Minkowskiho-Hasseova teorému tedy nerovnost ∑aijxixj=b ija b je racionální, má integrální řešení v reálných a p-adických číslech pro každé prvočíslo p, pouze pokud je v této struktuře řešitelné.
Vzhledem k inherentním obtížím bylo studium čísel s libovolnými tvary třetího stupně a výše studováno v menší míře. Hlavní prováděcí metodou je metoda goniometrických součtů. V tomto případě je počet řešení rovnice výslovně zapsán v podmínkách Fourierova integrálu. Poté se pomocí metody prostředí vyjádří počet splnění nerovnosti odpovídajících kongruencí. Metoda goniometrických součtů závisí na algebraických vlastnostech nerovnic. Existuje velké množství elementárních metod pro řešení lineárních diofantických rovnic.
Diofantická analýza
Katedra matematiky, jejímž předmětem je studium integrálních a racionálních řešení soustav rovnic algebry metodami geometrie, z téžekoule. Ve druhé polovině 19. století vedl vznik této teorie čísel ke studiu diofantických rovnic z libovolného pole s koeficienty a řešení byla uvažována buď v něm, nebo v jeho prstencích. Souběžně s čísly se vyvíjel i systém algebraických funkcí. Základní analogie mezi těmito dvěma, kterou zdůraznili D. Hilbert a zejména L. Kronecker, vedla k jednotné konstrukci různých aritmetických pojmů, které se obvykle nazývají globální.
To je zvláště patrné, jsou-li studované algebraické funkce nad konečným polem konstant jednou proměnnou. Pojmy jako třídní teorie pole, dělitel a větvení a výsledky jsou dobrým příkladem výše uvedeného. Toto hledisko bylo v systému diofantických nerovností přijato až později a systematický výzkum nejen s číselnými koeficienty, ale i s koeficienty, které jsou funkcemi, začal až v 50. letech 20. století. Jedním z rozhodujících faktorů tohoto přístupu byl rozvoj algebraické geometrie. Současné studium oborů čísel a funkcí, které vznikají jako dva stejně důležité aspekty téhož předmětu, přineslo nejen elegantní a přesvědčivé výsledky, ale vedlo k vzájemnému obohacení těchto dvou témat.
V algebraické geometrii je pojem odrůdy nahrazen neinvariantní množinou nerovností nad daným polem K a jejich řešení jsou nahrazena racionálními body s hodnotami v K nebo v jeho konečném rozšíření. Lze tedy říci, že základním problémem diofantické geometrie je studium racionálních bodůalgebraické množiny X(K), zatímco X jsou určitá čísla v poli K. Provedení celého čísla má v lineárních diofantických rovnicích geometrický význam.
Studie nerovnosti a možnosti provedení
Při studiu racionálních (či integrálních) bodů na algebraických varietách vyvstává první problém, kterým je jejich existence. Hilbertův desátý problém je formulován jako problém nalezení obecné metody řešení tohoto problému. V procesu vytváření přesné definice algoritmu a poté, co bylo prokázáno, že pro velké množství problémů neexistují žádná taková provedení, získal problém zjevně negativní výsledek a nejzajímavější otázkou je definice tříd diofantických rovnic. pro které výše uvedený systém existuje. Nejpřirozenějším přístupem z algebraického hlediska je tzv. Hasseův princip: počáteční pole K se studuje spolu s jeho dokončeními Kv přes všechny možné odhady. Protože X(K)=X(Kv) jsou nezbytnou podmínkou existence a bod K bere v úvahu, že množina X(Kv) není prázdné pro všechny v.
Význam spočívá v tom, že spojuje dva problémy. Druhý je mnohem jednodušší, je řešitelný známým algoritmem. V konkrétním případě, kdy je varieta X projektivní, Hanselovo lemma a jeho zobecnění umožňují další redukci: problém lze zredukovat na studium racionálních bodů nad konečným polem. Pak se rozhodne vybudovat koncept buď prostřednictvím konzistentního výzkumu, nebo efektivnějších metod.
Poslednídůležitá úvaha je, že množiny X(Kv) jsou neprázdné pro všechna kromě konečného počtu v, takže počet podmínek je vždy konečný a lze je efektivně testovat. Hasseův princip však neplatí pro stupňové křivky. Například 3x3 + 4y3=5 má body ve všech p-adických číselných polích a v systému reálných čísel, ale nemá žádné racionální body.
Tato metoda sloužila jako výchozí bod pro konstrukci konceptu popisujícího třídy hlavních homogenních prostorů abelovských variet za účelem provedení „odchylky“od Hasseova principu. Je popsána pomocí speciální struktury, která může být spojena s každým manifoldem (skupina Tate-Shafarevich). Hlavní úskalí teorie spočívá ve skutečnosti, že metody pro výpočet skupin je obtížné získat. Tento koncept byl také rozšířen na další třídy algebraických variet.
Hledejte algoritmus pro vyplnění nerovností
Další heuristickou myšlenkou používanou při studiu diofantických rovnic je, že pokud je počet proměnných zapojených do sady nerovností velký, pak má systém obvykle řešení. To se však pro nějaký konkrétní případ velmi těžko prokazuje. Obecný přístup k problémům tohoto typu využívá analytickou teorii čísel a je založen na odhadech pro trigonometrické součty. Tato metoda byla původně aplikována na speciální druhy rovnic.
Později se však s jeho pomocí dokázalo, že pokud je tvar lichého stupně F, v da n proměnných as racionálními koeficienty, pak n je dostatečně velké ve srovnání s d, takže projektivní hyperplocha F=0 má racionální bod. Podle Artinovy domněnky je tento výsledek pravdivý, i když n > d2. To bylo prokázáno pouze u kvadratických forem. Podobné problémy lze klást i na další obory. Ústředním problémem diofantické geometrie je struktura množiny celých nebo racionálních bodů a jejich studium a první otázkou, kterou je třeba objasnit, je, zda je tato množina konečná. V tomto problému má situace obvykle konečný počet provedení, pokud je stupeň systému mnohem větší než počet proměnných. Toto je základní předpoklad.
Nerovnosti na čarách a křivkách
Skupinu X(K) lze reprezentovat jako přímý součet volné struktury řady r a konečné grupy řádu n. Od 30. let 20. století se zkoumá otázka, zda jsou tato čísla ohraničena na množině všech eliptických křivek nad daným polem K. Ohraničenost torze n byla prokázána v sedmdesátých letech. Ve funkčním případě jsou křivky libovolně vysoké úrovně. V číselném případě na tuto otázku stále neexistuje odpověď.
Nakonec Mordellova domněnka uvádí, že počet integrálních bodů je konečný pro křivku rodu g>1. Ve funkčním případě tento koncept předvedl v roce 1963 Yu. I. Manin. Hlavním nástrojem používaným při dokazování teorémů o konečnosti v diofantické geometrii je výška. Z algebraických odrůd jsou dimenze nad jednou abelovskémanifoldy, které jsou vícerozměrnými analogy eliptických křivek, byly nejdůkladněji prostudovány.
A. Weil zobecnil větu o konečnosti počtu generátorů skupiny racionálních bodů na abelovské variety libovolné dimenze (mordell-Weilův koncept) a rozšířil ji. V 60. letech se objevila domněnka Birche a Swinnerton-Dyera, která zlepšila toto a skupinové a zeta funkce manifoldu. Numerické důkazy podporují tuto hypotézu.
Problém s řešitelností
Problém najít algoritmus, který lze použít k určení, zda nějaká diofantická rovnice má řešení. Podstatným rysem nastoleného problému je hledání univerzální metody, která by byla vhodná pro jakoukoli nerovnost. Taková metoda by také umožnila řešení výše uvedených systémů, protože je ekvivalentní P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 nebo p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problém najít takový univerzální způsob, jak najít řešení pro lineární nerovnosti v celých číslech, položil D. Gilbert.
Na počátku 50. let se objevily první studie zaměřené na prokázání neexistence algoritmu pro řešení diofantických rovnic. V této době se objevila Davisova domněnka, která říkala, že jakýkoli spočetný soubor patří také řeckému vědci. Protože příklady algoritmicky nerozhodnutelných množin jsou známé, ale jsou rekurzivně vyčíslitelné. Z toho plyne, že Davisova domněnka je pravdivá a problém řešitelnosti těchto rovnicmá negativní provedení.
Poté, pro Davisovu domněnku, zbývá dokázat, že existuje metoda pro transformaci nerovnosti, která také (nebo nemá) zároveň řešení. Ukázalo se, že taková změna diofantické rovnice je možná, pokud má dvě výše uvedené vlastnosti: 1) v jakémkoli řešení tohoto typu v ≦ uu; 2) pro každé k je provedení s exponenciálním růstem.
Příklad lineární diofantické rovnice této třídy dokončil důkaz. Problém existence algoritmu pro řešitelnost a rozpoznávání těchto nerovností v racionálních číslech je stále považován za důležitou a otevřenou otázku, která nebyla dostatečně prozkoumána.
