Myslím, že bychom měli začít historií tak skvělého matematického nástroje, jakým jsou diferenciální rovnice. Jako všechny diferenciální a integrální počty byly tyto rovnice vynalezeny Newtonem na konci 17. století. Právě tento svůj objev považoval za natolik důležitý, že dokonce zašifroval zprávu, která se dnes dá přeložit asi takto: "Všechny přírodní zákony jsou popsány diferenciálními rovnicemi." Může se to zdát přehnané, ale je to tak. Těmito rovnicemi lze popsat jakýkoli zákon fyziky, chemie, biologie.
Matematici Euler a Lagrange výrazně přispěli k rozvoji a vytvoření teorie diferenciálních rovnic. Již v 18. století objevili a rozvinuli to, co nyní studují ve vyšších kurzech univerzit.
Nový milník ve studiu diferenciálních rovnic začal díky Henrimu Poincaremu. Vytvořil „kvalitativní teorii diferenciálních rovnic“, která v kombinaci s teorií funkcí komplexní proměnné významně přispěla k založení topologie – nauky o vesmíru a jehovlastnosti.
Co jsou diferenciální rovnice?
Mnoho lidí se bojí jedné fráze „diferenciální rovnice“. V tomto článku však podrobně rozebereme celou podstatu tohoto velmi užitečného matematického aparátu, který ve skutečnosti není tak složitý, jak se zdá z názvu. Abyste mohli začít mluvit o diferenciálních rovnicích prvního řádu, měli byste se nejprve seznámit se základními pojmy, které s touto definicí neodmyslitelně souvisí. A začneme s diferenciálem.
Diferenciální
Mnozí tento koncept znají ze školy. Nicméně pojďme se na to podívat blíže. Představte si graf funkce. Můžeme ji zvětšit do takové míry, že kterýkoli z jejích segmentů bude mít podobu přímky. Na něm vezmeme dva body, které jsou nekonečně blízko sebe. Rozdíl mezi jejich souřadnicemi (x nebo y) bude nekonečně malá hodnota. Říká se mu diferenciál a značí se znaménky dy (diferenciál od y) a dx (diferenciál od x). Je velmi důležité pochopit, že diferenciál není konečná hodnota, a to je jeho význam a hlavní funkce.
A nyní musíme zvážit další prvek, který nám bude užitečný při vysvětlení pojmu diferenciální rovnice. Toto je odvozenina.
Derivative
Tento pojem jsme asi všichni slyšeli ve škole. O derivaci se říká, že je to rychlost růstu nebo poklesu funkce. Nicméně z této definicemnohé se stává nejasným. Zkusme vysvětlit derivaci z hlediska diferenciálů. Vraťme se k infinitezimálnímu segmentu funkce se dvěma body, které jsou od sebe v minimální vzdálenosti. Ale i na tuto vzdálenost se funkce stihne o nějakou částku změnit. A aby popsali tuto změnu, přišli s derivací, kterou lze jinak zapsat jako poměr diferenciálů: f(x)'=df/dx.
Nyní stojí za to zvážit základní vlastnosti derivátu. Jsou jen tři:
- Derivace součtu nebo rozdílu může být reprezentována jako součet nebo rozdíl derivátů: (a+b)'=a'+b' a (a-b)'=a'-b'.
- Druhá vlastnost souvisí s násobením. Derivace součinu je součtem součinů jedné funkce a derivace jiné: (ab)'=a'b+ab'.
- Derivaci rozdílu lze zapsat jako následující rovnost: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Všechny tyto vlastnosti budou užitečné při hledání řešení diferenciálních rovnic prvního řádu.
Existují také částečné deriváty. Řekněme, že máme funkci z, která závisí na proměnných x a y. Abychom vypočítali parciální derivaci této funkce, řekněme s ohledem na x, musíme vzít proměnnou y jako konstantu a jednoduše derivovat.
Integrální
Dalším důležitým pojmem je integrál. Ve skutečnosti jde o přímý opak derivátu. Existuje několik typů integrálů, ale k řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic potřebujeme ty nejtriviálnější neurčité integrály.
Co je tedy integrál? Řekněme, že máme nějakou závislost fod x. Vezmeme z něj integrál a dostaneme funkci F (x) (často nazývanou primitivní), jejíž derivace je rovna původní funkci. Tedy F(x)'=f(x). Z toho také vyplývá, že integrál derivace je roven původní funkci.
Při řešení diferenciálních rovnic je velmi důležité porozumět významu a funkci integrálu, protože k nalezení řešení je budete muset brát velmi často.
Rovnice se liší v závislosti na jejich povaze. V další části se budeme zabývat typy diferenciálních rovnic prvního řádu a poté se naučíme, jak je řešit.
Třídy diferenciálních rovnic
"Diffury" jsou rozděleny podle pořadí derivátů, které jsou v nich obsaženy. Existuje tedy první, druhý, třetí a další řád. Mohou být také rozděleny do několika tříd: obyčejné a parciální derivace.
V tomto článku se budeme zabývat obyčejnými diferenciálními rovnicemi prvního řádu. V následujících částech si také probereme příklady a způsoby jejich řešení. Budeme uvažovat pouze ODR, protože to jsou nejběžnější typy rovnic. Obyčejné se dělí na poddruhy: s oddělitelnými proměnnými, homogenní a heterogenní. Dále se dozvíte, jak se od sebe liší, a naučíte se, jak je vyřešit.
Tyto rovnice lze navíc kombinovat, takže poté získáme systém diferenciálních rovnic prvního řádu. Také takové systémy zvážíme a naučíme se, jak je řešit.
Proč zvažujeme pouze první objednávku? Protože musíte začít s jednoduchým a popsat vše, co souvisí s diferenciálemrovnice, v jednom článku je prostě nemožné.
Rovnice oddělitelných proměnných
Toto jsou možná nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu. Patří mezi ně příklady, které lze napsat takto: y'=f(x)f(y). K vyřešení této rovnice potřebujeme vzorec pro vyjádření derivace jako poměru diferenciálů: y'=dy/dx. Pomocí ní dostaneme následující rovnici: dy/dx=f(x)f(y). Nyní můžeme přejít k metodě řešení standardních příkladů: proměnné rozdělíme na části, tedy vše s proměnnou y přeneseme do části, kde se nachází dy, a totéž uděláme s proměnnou x. Získáme rovnici tvaru: dy/f(y)=f(x)dx, kterou vyřešíme převzetím integrálů obou částí. Nezapomeňte na konstantu, kterou je nutné nastavit po sečtení integrálu.
Řešení jakékoli "diffurance" je funkcí závislosti x na y (v našem případě) nebo, pokud existuje číselná podmínka, pak je odpověď ve tvaru čísla. Pojďme si celý průběh řešení rozebrat na konkrétním příkladu:
y'=2ysin(x)
Přesun proměnných v různých směrech:
dy/y=2sin(x)dx
Nyní vezmeme integrály. Všechny je lze nalézt ve speciální tabulce integrálů. A dostáváme:
ln(y)=-2cos(x) + C
V případě potřeby můžeme vyjádřit „y“jako funkci „x“. Nyní můžeme říci, že naše diferenciální rovnice je vyřešena, pokud není dána žádná podmínka. Může být zadána podmínka, například y(n/2)=e. Pak jednoduše dosadíme hodnotu těchto proměnných do řešení anajít hodnotu konstanty. V našem příkladu se rovná 1.
Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu
A teď k té obtížnější části. Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu lze zapsat v obecném tvaru takto: y'=z(x, y). Je třeba poznamenat, že správná funkce dvou proměnných je homogenní a nelze ji rozdělit na dvě závislosti: z na x az na y. Kontrola, zda je rovnice homogenní nebo ne, je docela jednoduchá: provedeme substituci x=kx a y=ky. Nyní zrušíme všechny k. Pokud jsou všechna tato písmena zmenšena, pak je rovnice homogenní a můžete bezpečně přistoupit k jejímu řešení. Při pohledu dopředu řekněme: princip řešení těchto příkladů je také velmi jednoduchý.
Potřebujeme provést substituci: y=t(x)x, kde t je nějaká funkce, která také závisí na x. Potom můžeme vyjádřit derivaci: y'=t'(x)x+t. Dosazením toho všeho do naší původní rovnice a zjednodušením dostaneme příklad se separovatelnými proměnnými t a x. Vyřešíme to a dostaneme závislost t(x). Když to dostaneme, jednoduše dosadíme y=t(x)x do naší předchozí náhrady. Pak dostaneme závislost y na x.
Aby to bylo jasnější, podívejme se na příklad: xy'=y-xey/x.
Při kontrole s výměnou se vše sníží. Rovnice je tedy skutečně homogenní. Nyní provedeme další substituci, o které jsme mluvili: y=t(x)x a y'=t'(x)x+t(x). Po zjednodušení dostaneme následující rovnici: t'(x)x=-et. Výsledný příklad vyřešíme oddělenými proměnnými a dostaneme: e-t=ln(Cx). Potřebujeme pouze nahradit t y/x (koneckonců, pokud y=tx, pak t=y/x), a dostanemeodpověď: e-y/x=ln(xC).
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
Je čas na další velké téma. Budeme analyzovat nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Jak se liší od předchozích dvou? Pojďme na to přijít. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu v obecném tvaru lze zapsat takto: y' + g(x)y=z(x). Stojí za to objasnit, že z(x) a g(x) mohou být konstanty.
A teď příklad: y' - yx=x2.
Existují dva způsoby, jak to vyřešit, a my se budeme zabývat oběma v pořadí. První je metoda variace libovolných konstant.
Abyste rovnici vyřešili tímto způsobem, musíte nejprve přirovnat pravou stranu k nule a vyřešit výslednou rovnici, která po přesunutí částí získá tvar:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nyní musíme nahradit konstantu C1 funkcí v(x), kterou musíme najít.
y=vex2/2.
Změňme derivát:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
A dosaďte tyto výrazy do původní rovnice:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Vlevo vidíte, že dva termíny se ruší. Pokud se to v některém příkladu nestalo, udělali jste něco špatně. Pokračovat:
v'ex2/2 =x2.
Nyní vyřešíme obvyklou rovnici, ve které potřebujeme oddělit proměnné:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Chceme-li extrahovat integrál, musíme zde použít integraci po částech. To však není tématem našeho článku. Pokud máte zájem, můžete se sami naučit, jak takové akce provádět. Není to těžké a s dostatečnou dovedností a pozorností to nezabere mnoho času.
Přejděme k druhé metodě řešení nehomogenních rovnic: Bernoulliho metodě. Který přístup je rychlejší a jednodušší, je na vás.
Při řešení rovnice touto metodou tedy musíme provést náhradu: y=kn. Zde k a n jsou některé funkce závislé na x. Potom bude derivace vypadat takto: y'=k'n+kn'. Dosaďte obě substituce do rovnice:
k'n+kn'+xkn=x2.
Skupina:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nyní musíme vyrovnat nulu, co je v závorkách. Nyní, když spojíte dvě výsledné rovnice, získáte systém diferenciálních rovnic prvního řádu, který musíte vyřešit:
n'+xn=0;
k'n=x2.
První rovnost se řeší jako normální rovnice. Chcete-li to provést, musíte oddělit proměnné:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Vezměte integrál a získejte: ln(n)=x2/2. Pak, když vyjádříme n:
n=ex2/2.
Nyní dosadíme výslednou rovnost do druhé rovnice systému:
k'ex2/2=x2.
A transformací získáme stejnou rovnost jako v první metodě:
dk=x2/ex2/2.
Nebudeme zacházet do dalších kroků. Stojí za zmínku, že zpočátku řešení diferenciálních rovnic prvního řádu působí značné potíže. Jak se však ponoříte hlouběji do tématu, začíná to být lepší a lepší.
Kde se používají diferenciální rovnice?
Diferenciální rovnice se ve fyzice velmi aktivně používají, protože téměř všechny základní zákony jsou zapsány v diferenciální formě a vzorce, které vidíme, jsou řešením těchto rovnic. V chemii se používají ze stejného důvodu: jsou z nich odvozeny základní zákony. V biologii se diferenciální rovnice používají k modelování chování systémů, jako je predátor-kořist. Mohou být také použity k vytvoření reprodukčních modelů, řekněme, kolonie mikroorganismů.
Jak diferenciální rovnice pomohou v životě?
Odpověď na tuto otázku je jednoduchá: v žádném případě. Pokud nejste vědec nebo inženýr, je nepravděpodobné, že by pro vás byly užitečné. Pro obecný vývoj však neuškodí vědět, co je diferenciální rovnice a jak se řeší. A pak otázka syna nebo dcery "co je diferenciální rovnice?" nebude vás zmást. No, pokud jste vědec nebo inženýr, pak sami chápete důležitost tohoto tématu v jakékoli vědě. Ale nejdůležitější je, že nyní otázka "jak vyřešit diferenciální rovnici prvního řádu?" vždy můžete odpovědět. Souhlas, je to vždy příjemnékdyž pochopíte, co se lidé dokonce bojí pochopit.
Hlavní problémy s učením
Hlavním problémem v pochopení tohoto tématu je špatná dovednost integrace a diferenciace funkcí. Pokud jste špatní v přijímání derivací a integrálů, pak byste se pravděpodobně měli naučit více, zvládnout různé metody integrace a derivace a teprve poté začít studovat látku, která byla popsána v článku.
Někteří lidé jsou překvapeni, když zjistí, že dx lze přenést, protože dříve (ve škole) se uvádělo, že zlomek dy/dx je nedělitelný. Zde si musíte přečíst literaturu o derivaci a pochopit, že je to poměr nekonečně malých veličin, se kterými lze při řešení rovnic manipulovat.
Mnozí si hned neuvědomí, že řešením diferenciálních rovnic prvního řádu je často funkce nebo integrál, který nelze vzít, a tento klam jim dělá spoustu problémů.
Co dalšího lze studovat pro lepší pochopení?
S dalším ponořením se do světa diferenciálního počtu je nejlepší začít se specializovanými učebnicemi, například v kalkulu pro studenty nematematických oborů. Poté můžete přejít na odbornější literaturu.
Je třeba říci, že kromě diferenciálních rovnic existují i rovnice integrální, takže vždy budete mít o co usilovat a co studovat.
Závěr
Doufáme, že po přečteníTento článek vám poskytl představu o tom, co jsou diferenciální rovnice a jak je správně řešit.
V každém případě se nám matematika v životě bude nějak hodit. Rozvíjí logiku a pozornost, bez které je každý člověk jako bez rukou.
