Jedním z nejtěžších a nesrozumitelných témat univerzitní matematiky je integrace a diferenciální počet. Tyto pojmy musíte znát a rozumět jim a také je umět aplikovat. Mnoho univerzitních technických oborů je svázáno s diferenciály a integrály.
Stručné informace o rovnicích
Tyto rovnice jsou jedním z nejdůležitějších matematických konceptů ve vzdělávacím systému. Diferenciální rovnice je rovnice, která dává do vztahu nezávislé proměnné, funkci, která má být nalezena, a deriváty této funkce k proměnným, o kterých se předpokládá, že jsou nezávislé. Diferenciální počet pro nalezení funkce jedné proměnné se nazývá obyčejný. Pokud požadovaná funkce závisí na několika proměnných, pak se mluví o parciální diferenciální rovnici.
Nalezení určité odpovědi na rovnici ve skutečnosti vede k integraci a metoda řešení je určena typem rovnice.
Rovnice prvního řádu
Diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice, která může popisovat proměnnou, požadovanou funkci a její první derivaci. Takové rovnice mohou být uvedeny ve třech formách: explicitní, implicitní, diferenciální.
Koncepty potřebné k vyřešení
Počáteční podmínka - nastavení hodnoty požadované funkce pro danou hodnotu proměnné, která je nezávislá.
Řešení diferenciální rovnice - libovolná diferencovatelná funkce, přesně dosazená do původní rovnice, ji změní na identicky rovnou. Získané řešení, které není explicitní, je integrálem rovnice.
Obecné řešení diferenciálních rovnic je funkce y=y(x;C), která může splňovat následující úsudky:
- Funkce může mít pouze jednu libovolnou konstantu С.
- Výsledná funkce musí být řešením rovnice pro libovolné libovolné hodnoty libovolné konstanty.
- S danou počáteční podmínkou lze jedinečným způsobem definovat libovolnou konstantu, takže výsledné konkrétní řešení bude konzistentní s danou počáteční podmínkou.
V praxi se často používá Cauchyho problém - nalezení řešení, které je konkrétní a lze jej porovnat s podmínkou nastavenou na začátku.
Cauchyho teorém je teorém, který zdůrazňuje existenci a jedinečnost konkrétního řešení v diferenciálním počtu.
Geometrický smysl:
- Obecné řešení y=y(x;C)rovnice je celkový počet integrálních křivek.
- Diferenciální počet umožňuje spojit souřadnice bodu v rovině XOY a tečny nakreslené k integrální křivce.
- Nastavení počáteční podmínky znamená nastavení bodu na rovině.
- Vyřešit Cauchyho problém znamená, že z celé množiny integrálních křivek představujících stejné řešení rovnice je nutné vybrat tu jedinou procházející jediným možným bodem.
- Splnění podmínek Cauchyho věty v bodě znamená, že integrální křivka (navíc jen jedna) nutně prochází zvoleným bodem v rovině.
Rovnice oddělitelné proměnné
Podle definice je diferenciální rovnice rovnice, kde její pravá strana popisuje nebo se odráží jako součin (někdy jako poměr) dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na "x" a druhá - pouze na "y". " Jasný příklad pro tento druh: y'=f1(x)f2(y).
Abyste mohli vyřešit rovnice určitého tvaru, musíte nejprve transformovat derivaci y'=dy/dx. Poté pomocí manipulace s rovnicí ji musíte převést do formy, ve které můžete integrovat dvě části rovnice. Po nezbytných transformacích obě části integrujeme a výsledek zjednodušíme.
Homogenní rovnice
Podle definice lze diferenciální rovnici nazvat homogenní, pokud má následující tvar: y'=g(y/x).
V tomto případě se nejčastěji používá náhrada y/x=t(x).
Pro řešení takových rovnic je nutné zredukovat homogenní rovnici do tvaru s oddělitelnými proměnnými. Chcete-li to provést, musíte provést následující operace:
- Zobrazení vyjadřující derivaci původní funkce z libovolné původní funkce jako novou rovnici.
- Dalším krokem je transformace výsledné funkce do tvaru f(x;y)=g(y/x). Jednoduše řečeno, rovnice musí obsahovat pouze poměr y/x a konstanty.
- Proveďte následující náhradu: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Provedená substituce pomůže rozdělit proměnné v rovnici a postupně ji přivést do jednodušší formy.
Lineární rovnice
Definice takových rovnic je následující: lineární diferenciální rovnice je rovnice, kde její pravá strana je vyjádřena jako lineární výraz vzhledem k původní funkci. Požadovaná funkce v tomto případě: y'=a(x)y + b(x).
Přeformulujme definici takto: jakákoli rovnice 1. řádu se stane lineární ve svém tvaru, pokud původní funkce a její derivace jsou zahrnuty v rovnici prvního stupně a nejsou vzájemně vynásobeny. "Klasická forma" lineární diferenciální rovnice má následující strukturu: y' + P(x)y=Q(x).
Před vyřešením takové rovnice by měla být převedena do "klasické formy". Dalším krokem bude volba metody řešení: Bernoulliho metoda nebo Lagrangeova metoda.
Řešení rovnice pomocíza použití metody, kterou zavedl Bernoulli, implikuje substituci a redukci lineární diferenciální rovnice na dvě rovnice se samostatnými proměnnými vzhledem k funkcím U(x) a V(x), které byly dány ve svém původním tvaru.
Lagrangeova metoda spočívá v nalezení obecného řešení původní rovnice.
- Je nutné najít stejné řešení homogenní rovnice. Po vyhledání máme funkci y=y(x, C), kde C je libovolná konstanta.
- Hledáme řešení původní rovnice ve stejném tvaru, ale uvažujeme C=C(x). Do původní rovnice dosadíme funkci y=y(x, C(x)), najdeme funkci C(x) a zapíšeme řešení obecné původní rovnice.
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice – pokud má pravá strana kalkulu tvar f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kde k je jakákoliv možná racionální číselná hodnota, nebere se jako příklady případů, kdy k=0 ak=1.
Pokud k=1, pak se počet stane oddělitelným, a když k=0, rovnice zůstane lineární.
Uvažujme obecný případ řešení tohoto typu rovnic. Máme standardní Bernoulliho rovnici. Musí být redukován na lineární, k tomu musíte vydělit rovnici yk. Po této operaci nahraďte z(x)=y1-k. Po sérii transformací bude rovnice redukována na lineární, nejčastěji substituční metodou z=UV.
Rovnice v celkových diferenciálech
Definice. Rovnice se strukturou P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 se nazývá rovnice v plném rozsahudiferenciály, pokud je splněna následující podmínka (v této podmínce je "d" částečný diferenciál): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Všechny dříve uvažované diferenciální rovnice prvního řádu lze zobrazit jako diferenciály.
Takové výpočty se řeší několika způsoby. Všechny však začínají kontrolou stavu. Pokud je podmínka splněna, pak krajní levá oblast rovnice je totální diferenciál dosud neznámé funkce U(x;y). Potom se v souladu s rovnicí dU (x; y) bude rovnat nule, a proto se stejný integrál rovnice v celkových diferenciálech zobrazí ve tvaru U (x; y) u003d C. řešení rovnice je redukováno na nalezení funkce U (x; y).
Integrující faktor
Pokud podmínka dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx není v rovnici splněna, pak rovnice nemá tvar, který jsme uvažovali výše. Někdy je ale možné zvolit nějakou funkci M(x;y), kterou po vynásobení dostane rovnice podobu rovnice v plném "rozdílu". Funkce M (x;y) je označována jako integrační faktor.
Integrátor lze nalézt pouze tehdy, když se stane funkcí pouze jedné proměnné.
