Otáčení těles je jedním z důležitých typů mechanického pohybu v technice a přírodě. Na rozdíl od lineárního pohybu je popsán vlastní sadou kinematických charakteristik. Jedním z nich je úhlové zrychlení. Tuto hodnotu charakterizujeme v článku.
Rotační pohyb
Než budeme mluvit o úhlovém zrychlení, popišme typ pohybu, na který se vztahuje. Hovoříme o rotaci, což je pohyb těles po kruhových drahách. Aby došlo k rotaci, musí být splněny určité podmínky:
- přítomnost osy nebo bodu otáčení;
- přítomnost dostředivé síly, která by udržovala těleso na kruhové dráze.
Příkladem tohoto typu pohybu jsou různé atrakce, jako je kolotoč. Ve strojírenství se rotace projevuje pohybem kol a hřídelí. V přírodě je nejnápadnějším příkladem tohoto typu pohybu rotace planet kolem vlastní osy a kolem Slunce. Roli dostředivé síly v těchto příkladech hrají síly meziatomové interakce v pevných látkách a gravitační síly.interakce.
Kinematické charakteristiky rotace
Tyto charakteristiky zahrnují tři veličiny: úhlové zrychlení, úhlovou rychlost a úhel natočení. Budeme je označovat řeckými symboly α, ω a θ.
Vzhledem k tomu, že se těleso pohybuje po kruhu, je vhodné vypočítat úhel θ, který otočí za určitý čas. Tento úhel je vyjádřen v radiánech (výjimečně ve stupních). Protože kruh má 2 × pi radiány, můžeme napsat rovnici vztahující θ k délce oblouku L zatáčky:
L=θ × r
Kde r je poloměr otáčení. Tento vzorec lze snadno získat, pokud si pamatujete odpovídající výraz pro obvod.
Úhlová rychlost ω, stejně jako její lineární protějšek, popisuje rychlost rotace kolem osy, to znamená, že je určena podle následujícího výrazu:
ω¯=d θ / d t
Veličina ω¯ je vektorová hodnota. Směřuje podél osy otáčení. Jeho jednotkou jsou radiány za sekundu (rad/s).
Konečně, úhlové zrychlení je fyzikální charakteristika, která určuje rychlost změny hodnoty ω¯, která je matematicky zapsána následovně:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ směřuje ke změně vektoru rychlosti ω¯. Dále bude řečeno, že úhlové zrychlení směřuje k vektoru momentu síly. Tato hodnota se měří v radiánech.druhá čtvercová (rad/s2).
Moment síly a zrychlení
Pokud si vzpomeneme na Newtonův zákon, který spojuje sílu a lineární zrychlení do jediné rovnosti, pak po převedení tohoto zákona na případ rotace můžeme napsat následující výraz:
M¯=I × α¯
Zde M¯ je moment síly, který je součinem síly, která má tendenci roztočit systém krát páka – vzdálenost od bodu působení síly k ose. Hodnota I je analogická s hmotností tělesa a nazývá se moment setrvačnosti. Zapsaný vzorec se nazývá rovnice momentů. Z toho lze vypočítat úhlové zrychlení následovně:
α¯=M¯/ I
Vzhledem k tomu, že I je skalár, α¯ vždy směřuje k působícímu momentu síly M¯. Směr M¯ je určen pravidlem pravé ruky nebo pravidlem gimlet. Vektory M¯ a α¯ jsou kolmé k rovině rotace. Čím větší je moment setrvačnosti tělesa, tím nižší je hodnota úhlového zrychlení, které může pevný moment M¯ udělit systému.
Kinematické rovnice
Abyste pochopili důležitou roli, kterou hraje úhlové zrychlení při popisu rotačního pohybu, zapišme si vzorce spojující výše studované kinematické veličiny.
V případě rovnoměrně zrychlené rotace platí následující matematické vztahy:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
První vzorec ukazuje, že úhlovárychlost se bude časem zvyšovat podle lineárního zákona. Druhý výraz umožňuje vypočítat úhel, o který se těleso otočí za známý čas t. Grafem funkce θ(t) je parabola. V obou případech je úhlové zrychlení konstantní.
Pokud použijeme vztahový vzorec mezi L a θ uvedený na začátku článku, můžeme získat výraz pro α ve smyslu lineárního zrychlení a:
α=a / r
Je-li α konstantní, pak jak se vzdálenost od osy rotace r zvětšuje, lineární zrychlení a se úměrně zvětšuje. Proto se pro rotaci používají úhlové charakteristiky, na rozdíl od lineárních se nemění s rostoucím nebo klesajícím r.
Příklad problému
Kovová hřídel rotující frekvencí 2 000 otáček za sekundu se začala zpomalovat a úplně se zastavila po 1 minutě. Je třeba vypočítat, s jakým úhlovým zrychlením probíhal proces zpomalování hřídele. Měli byste také vypočítat počet otáček, které hřídel udělal před zastavením.
Proces zpomalování rotace je popsán následujícím výrazem:
ω=ω0- α × t
Počáteční úhlová rychlost ω0je určena z frekvence otáčení f následovně:
ω0=2 × pí × f
Protože známe dobu zpomalení, dostaneme hodnotu zrychlení α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Toto číslo je třeba brát se znaménkem mínus,protože mluvíme o zpomalení systému, ne o jeho zrychlení.
K určení počtu otáček, které hřídel vykoná během brzdění, použijte výraz:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
Získaná hodnota úhlu natočení θ v radiánech se jednoduše převede na počet otáček, které hřídel vykoná, než dojde k úplnému zastavení, pomocí jednoduchého dělení 2 × pi:
n=θ / (2 × pí)=60 001 otáček.
Získali jsme tedy všechny odpovědi na otázky problému: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 otáček.
