Širokou škálu vztahů na příkladu množin doprovází velké množství pojmů, počínaje jejich definicemi a konče analytickou analýzou paradoxů. Rozmanitost konceptu diskutovaného v článku o sadě je nekonečná. I když, když mluvíme o duálních typech, to znamená binární vztahy mezi několika hodnotami. A také mezi objekty nebo příkazy.
Binární relace se zpravidla označují symbolem R, to znamená, že pokud xRx pro libovolnou hodnotu x z pole R, nazývá se taková vlastnost reflexivní, ve které jsou x a x akceptovanými předměty myšlení, a R slouží jako znak toho, zda nebo jiná forma vztahu mezi jednotlivci. Současně, pokud vyjádříte xRy® nebo yRx, pak to znamená stav symetrie, kde ® je implikační znak podobný spojení „pokud … pak … “. A konečně dekódování nápis (xRy Ùy Rz) ®xRz vypovídá o tranzitivním vztahu a znak Ù je spojka.
Binární relace, která je reflexivní, symetrická i tranzitivní, se nazývá vztah ekvivalence. Relace f je funkce a z Î f a Î f vyplývá rovnost y=z. Snadno lze použít jednoduchou binární funkcina dva jednoduché argumenty v určitém pořadí a pouze v tomto případě mu poskytuje význam zaměřený na tyto dva výrazy v konkrétním případě.
Mělo by se říci, že f zobrazuje x na y,
if je funkce s rozsahem x a rozsahem y. Když však f extrapoluje x na y a y Í z, způsobí to, že f zobrazí x v z. Jednoduchý příklad: pokud f(x)=2x platí pro libovolné celé číslo x, pak f prý mapuje množinu všech známých celých čísel se znaménkem na množinu stejných celých, ale tentokrát sudých čísel. Jak bylo uvedeno výše, binární vztahy, které jsou reflexivní, symetrické i tranzitivní, jsou vztahy ekvivalence.
Na základě výše uvedeného jsou vztahy ekvivalence binárních relací určeny vlastnostmi:
- reflexivita - poměr (M ~ N);
- symetrie – pokud je rovnost M ~ N, pak bude N ~ M;
- tranzitivita – pokud jsou dvě rovnosti M ~ N a N ~ P, pak ve výsledku M ~ P.
Podívejme se na deklarované vlastnosti binárních relací podrobněji. Reflexivita je jednou z charakteristik určitých spojení, kdy každý prvek zkoumané množiny je v dané rovnosti sám se sebou. Například mezi čísly a=c a a³ c jsou reflexivní spojení, protože vždy a=a, c=c, a³ a, c³ c. Zároveň je vztah nerovnosti a>c antireflexivní z důvodu nemožnosti existence nerovnosti a>a. Axiom této vlastnosti je zakódován znaky: aRc®aRa Ù cRc, zde symbol ® znamená slovo "zahrnuje" (nebo "implikuje") a znak Ù - je spojení "a" (nebo spojka). Z tohoto tvrzení vyplývá, že je-li úsudek aRc pravdivý, jsou pravdivé i výrazy aRa a cRc.
Symetrie znamená přítomnost vztahu, i když jsou mentální objekty zaměněny, to znamená, že se symetrickým vztahem přeskupení objektů nevede k transformaci typu „binární vztahy“. Například vztah rovnosti a=c je symetrický kvůli ekvivalenci vztahu c=a; propozice a¹c je také stejná, protože odpovídá spojení s¹a.
Přechodná množina je vlastnost, která splňuje následující požadavek: y н x, z н y ® z н x, kde ® je znaménko, které nahrazuje slova: "jestliže …, pak …". Vzorec se slovně čte takto: „Pokud y závisí na x, z patří do y, pak z závisí také na x“.
