V matematické vědě se poměrně často vyskytuje řada obtíží a otázek a mnohé z nich nejsou vždy jasné. Výjimkou nebylo téma jako mohutnost množin. Ve skutečnosti nejde o nic jiného než o číselné vyjádření počtu objektů. V obecném smyslu je množina axiom, nemá žádnou definici. Vychází z libovolných objektů, respektive jejich množiny, která může být prázdná, konečná nebo nekonečná. Kromě toho obsahuje celá čísla nebo přirozená čísla, matice, posloupnosti, segmenty a řádky.
O existujících proměnných
Nulová nebo prázdná množina bez vnitřní hodnoty je považována za hlavní prvek, protože je podmnožinou. Kolekce všech podmnožin neprázdné množiny S je množinou množin. Výkonová množina dané množiny je tedy považována za mnoho, myslitelnou, ale jedinou. Tato množina se nazývá množina mocnin S a značí se P (S). Pokud S obsahuje N prvků, pak P(S) obsahuje 2^n podmnožin, protože podmnožina P(S) je buď ∅ nebo podmnožina obsahující r prvků z S, r=1, 2, 3, … Skládá se ze všeho nekonečnéhomnožina M se nazývá mocninná veličina a je symbolicky označena P (M).
Prvky teorie množin
Tento obor znalostí vyvinul George Cantor (1845-1918). Dnes se používá téměř ve všech odvětvích matematiky a slouží jako její základní součást. V teorii množin jsou prvky reprezentovány ve formě seznamu a jsou dány typy (prázdná množina, singleton, konečné a nekonečné množiny, rovné a ekvivalentní, univerzální), sjednocení, průnik, rozdíl a sčítání čísel. V každodenním životě často mluvíme o sbírce předmětů, jako je svazek klíčů, hejno ptáků, balíček karet atd. V 5. ročníku matematiky a dále jsou přirozená, celá, prvočísla a složená čísla.
Připadají v úvahu následující sady:
- přirozená čísla;
- písmena abecedy;
- primární kurz;
- trojúhelníky s různými stranami.
Je vidět, že tyto specifikované příklady jsou dobře definované sady objektů. Zvažte několik dalších příkladů:
- pět nejslavnějších vědců na světě;
- sedm krásných dívek ve společnosti;
- tři nejlepší chirurgové.
Tyto příklady mohutnosti nejsou přesně definované kolekce objektů, protože kritéria pro „nejslavnější“, „nejkrásnější“, „nejlepší“se u jednotlivých osob liší.
Sady
Tato hodnota je přesně definovaný počet různých objektů. Za předpokladu, že:
- wordset je synonymum, souhrn, třída a obsahuje prvky;
- objekty, členové mají stejné podmínky;
- sady se obvykle označují velkými písmeny A, B, C;
- prvky sady jsou reprezentovány malými písmeny a, b, c.
Je-li "a" prvkem množiny A, pak se říká, že "a" patří do A. Fráze "patří" označme řeckým znakem "∈" (epsilon). Ukazuje se tedy, že a ∈ A. Jestliže 'b' je prvek, který nepatří do A, je reprezentován jako b ∉ A. Některé důležité množiny používané v matematice 5. ročníku jsou reprezentovány pomocí tří následujících metod:
- applications;
- registry nebo tabulkové;
- pravidlo pro vytvoření formace.
Při bližším zkoumání je formulář žádosti založen na následujícím. V tomto případě je uveden jasný popis prvků sady. Všechny jsou uzavřeny ve složených závorkách. Například:
- množina lichých čísel menších než 7 – zapsaných jako {méně než 7};
- množina čísel větších než 30 a menších než 55;
- počet studentů ve třídě, kteří váží více než učitel.
Ve formě registru (tabulky) jsou prvky sady uvedeny v páru hranatých závorek {} a odděleny čárkami. Například:
- Nechť N označuje množinu prvních pěti přirozených čísel. Proto N=→ registrační formulář
- Soubor všech samohlásek anglické abecedy. Proto V={a, e, i, o, u, y} → registrační formulář
- Množina všech lichých čísel je menší než 9. Proto X={1, 3, 5, 7} → tvarregistr
- Sada všech písmen ve slově "Math". Proto Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registrační formulář
- W je soubor posledních čtyř měsíců roku. Proto W={září, říjen, listopad, prosinec} → registr.
Upozorňujeme, že na pořadí, ve kterém jsou prvky uvedeny, nezáleží, ale nesmí se opakovat. Zavedená forma konstrukce, v daném případě pravidlo, vzorec nebo operátor se zapíše do dvojice závorek tak, aby byla množina správně definována. Ve formuláři pro tvůrce sady musí mít všechny prvky stejnou vlastnost, aby se staly členem příslušné hodnoty.
V této formě reprezentace množiny je prvek množiny popsán znakem "x" nebo jakoukoli jinou proměnnou následovanou dvojtečkou (k označení se používá ":" nebo "|"). Nechť P je například množina počitatelných čísel větších než 12. P ve formě tvůrce množin se zapisuje jako - {spočetné číslo a větší než 12}. Bude se to číst určitým způsobem. To znamená, že "P je množina prvků x tak, že x je spočetné a větší než 12."
Vyřešený příklad pomocí tří metod reprezentace množin: počet celých čísel mezi -2 a 3. Níže jsou uvedeny příklady různých typů množin:
- Prázdná nebo nulová množina, která neobsahuje žádný prvek a je označena symbolem ∅ a čte se jako phi. Ve formě seznamu se ∅ zapisuje {}. Konečná množina je prázdná, protože počet prvků je 0. Například množina celočíselných hodnot je menší než 0.
- Samozřejmě by tam nemělo být <0. Protoprázdná sada.
- Sada obsahující pouze jednu proměnnou se nazývá singletonová sada. Není ani jednoduchý, ani složený.
Konečná sada
Množina obsahující určitý počet prvků se nazývá konečná nebo nekonečná množina. Prázdné odkazuje na první. Například sada všech barev duhy.
Nekonečno je sada. Prvky v něm nelze vyjmenovat. To znamená, že obsah podobných proměnných se nazývá nekonečná množina. Příklady:
- síla množiny všech bodů v rovině;
- množina všech prvočísel.
Měli byste ale pochopit, že všechny mohutnosti sjednocení množiny nelze vyjádřit ve formě seznamu. Například reálná čísla, protože jejich prvky neodpovídají žádnému konkrétnímu vzoru.
Kardinální číslo množiny je počet různých prvků v daném množství A. Označuje se n (A).
Například:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Proto n (A)=4.
- B=sada písmen ve slově ALGEBRA.
Ekvivalentní sady pro porovnání sad
Dvě kardinality množiny A a B jsou takové, pokud je jejich kardinální číslo stejné. Symbol pro ekvivalentní sadu je "↔". Například: A ↔ B.
Rovné množiny: dvě kardinality množin A a B, pokud obsahují stejné prvky. Každý koeficient z A je proměnná z B a každý z B je specifikovaná hodnota A. Proto A=B. Různé typy svazků mohutnosti a jejich definice jsou vysvětleny pomocí uvedených příkladů.
Esence konečnosti a nekonečna
Jaké jsou rozdíly mezi mohutností konečné množiny a nekonečné množiny?
První hodnota má následující název, pokud je buď prázdná, nebo má konečný počet prvků. V konečné množině lze zadat proměnnou, pokud má omezený počet. Například pomocí přirozeného čísla 1, 2, 3. A proces výpisu končí na nějakém N. Počet různých prvků počítaných v konečné množině S označíme n (S). Říká se mu také řád nebo kardinál. Symbolicky označeno podle standardního principu. Pokud je tedy množina S ruskou abecedou, obsahuje 33 prvků. Je také důležité si uvědomit, že prvek se v sadě nevyskytuje více než jednou.
Nekonečno v sadě
Množina se nazývá nekonečná, pokud prvky nelze vyčíslit. Pokud má pro libovolné n neomezené (tj. nepočitatelné) přirozené číslo 1, 2, 3, 4. Množina, která není konečná, se nazývá nekonečná. Nyní můžeme diskutovat o příkladech uvažovaných číselných hodnot. Možnosti koncové hodnoty:
- Nechť Q={přirozená čísla menší než 25}. Pak Q je konečná množina a n (P)=24.
- Nechť R={celá čísla mezi 5 a 45}. Pak R je konečná množina a n (R)=38.
- Nechť S={čísla modulo 9}. Pak S={-9, 9} je konečná množina a n (S)=2.
- Soubor všech lidí.
- Počet všech ptáků.
Nekonečné množství příkladů:
- počet stávajících bodů v letadle;
- počet všech bodů v úsečce;
- množina kladných celých čísel dělitelných 3 je nekonečná;
- všechna celá a přirozená čísla.
Z výše uvedené úvahy je tedy jasné, jak rozlišovat mezi konečnými a nekonečnými množinami.
Síla soustavy kontinua
Pokud porovnáme sadu a další existující hodnoty, pak je k sadě připojen dodatek. Pokud je ξ univerzální a A je podmnožinou ξ, pak doplněk A je počet všech prvků ξ, které nejsou prvky A. Symbolicky je doplněk A vzhledem k ξ A'. Například 2, 4, 5, 6 jsou jediné prvky ξ, které nepatří do A. Proto A'={2, 4, 5, 6
Sada s kontinuem mohutnosti má následující vlastnosti:
- doplňkem univerzálního množství je dotyčná prázdná hodnota;
- tato proměnná null set je univerzální;
- částka a její doplněk jsou nesouvislé.
Například:
- Nechť počet přirozených čísel je univerzální množina a A je sudé. Potom A '{x: x je lichá sada se stejnými číslicemi}.
- Nech ξ=sada písmen v abecedě. A=množina souhlásek. Potom A '=počet samohlásek.
- Doplněk k univerzální sadě je prázdné množství. Lze označit ξ. Pak ξ '=Množina těch prvků, které nejsou zahrnuty v ξ. Zapíšeme a označíme prázdnou množinu φ. Proto ξ=φ. Doplněk univerzální sady je tedy prázdný.
V matematice se „kontinuum“někdy používá k reprezentaci skutečné čáry. A obecněji k popisu podobných objektů:
- kontinuum (v teorii množin) - reálná čára nebo odpovídající kardinální číslo;
- lineární – jakákoli uspořádaná sada, která sdílí určité vlastnosti reálné čáry;
- continuum (v topologii) - neprázdný kompaktní spojený metrický prostor (někdy Hausdorff);
- hypotéza, že žádné nekonečné množiny nejsou větší než celá čísla, ale menší než reálná čísla;
- síla kontinua je kardinální číslo reprezentující velikost množiny reálných čísel.
V podstatě kontinuum (měření), teorie nebo modely, které vysvětlují postupné přechody z jednoho stavu do druhého bez jakékoli náhlé změny.
Problémy spojení a průniku
Je známo, že průsečík dvou nebo více množin je číslo obsahující všechny prvky, které jsou v těchto hodnotách společné. Slovní úlohy na množinách jsou řešeny tak, aby získali základní představu o tom, jak používat sjednocovací a průnikové vlastnosti množin. Řešil hlavní problémy slov nasady vypadají takto:
Nechť A a B jsou dvě konečné množiny. Jsou takové, že n (A)=20, n (B)=28 a n (A ∪ B)=36, najděte n (A ∩ B)
Vztah v množinách pomocí Vennova diagramu:
- Spojení dvou množin může být reprezentováno stínovanou oblastí reprezentující A ∪ B. A ∪ B, když A a B jsou disjunktní množiny.
- Průnik dvou množin lze znázornit Vennovým diagramem. Se stínovanou oblastí představující A ∩ B.
- Rozdíl mezi těmito dvěma sadami lze znázornit Vennovými diagramy. Se stínovanou oblastí představující A – B.
- Vztah mezi třemi množinami pomocí Vennova diagramu. Jestliže ξ představuje univerzální veličinu, pak A, B, C jsou tři podmnožiny. Zde se všechny tři sady překrývají.
Shrnutí informací o sadě
Kardinalita množiny je definována jako celkový počet jednotlivých prvků v množině. A poslední zadaná hodnota je popsána jako počet všech podmnožin. Při studiu takových problémů jsou vyžadovány metody, metody a řešení. Takže pro mohutnost množiny mohou následující příklady sloužit jako:
Nechť A={0, 1, 2, 3}| |=4, kde | A | představuje mohutnost množiny A.
Nyní můžete najít svůj napájecí zdroj. Je to také docela jednoduché. Jak již bylo řečeno, výkonová množina se nastavuje ze všech podmnožin daného čísla. Člověk by tedy měl v podstatě definovat všechny proměnné, prvky a další hodnoty A,což jsou {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nyní zjistěte výkon P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, který má 16 prvků. Mohutnost množiny A=16. Je zřejmé, že se jedná o zdlouhavou a těžkopádnou metodu řešení tohoto problému. Existuje však jednoduchý vzorec, pomocí kterého můžete přímo znát počet prvků v mocninné množině daného čísla. | P |=2 ^ N, kde N je počet prvků v nějakém A. Tento vzorec lze získat pomocí jednoduché kombinatoriky. Otázka tedy zní 2^11, protože počet prvků v množině A je 11.
Množina je tedy jakákoli číselně vyjádřená veličina, kterou může být jakýkoli možný objekt. Například auta, lidé, čísla. V matematickém smyslu je tento pojem širší a zobecněnější. Pokud se v počátečních fázích roztřídí čísla a možnosti jejich řešení, pak ve střední a vyšší fázi jsou podmínky a úkoly komplikované. Ve skutečnosti je mohutnost spojení množiny určena příslušností objektu k jakékoli skupině. To znamená, že jeden prvek patří do třídy, ale má jednu nebo více proměnných.
