Při studiu vlastností kvadratické rovnice bylo nastaveno omezení - pro diskriminant menší než nula neexistuje řešení. Okamžitě bylo stanoveno, že mluvíme o množině reálných čísel. Zvídavou mysl matematika to bude zajímat – jaké tajemství obsahuje klauzule o skutečných hodnotách?
Postupem času zavedli matematici koncept komplexních čísel, kde se podmíněná hodnota druhé odmocniny mínus jedna bere jako jednotka.
Historické pozadí
Matematická teorie se vyvíjí postupně, od jednoduchých po komplexní. Pojďme zjistit, jak koncept zvaný "komplexní číslo" vznikl a proč je potřeba.
Základem matematiky byl od nepaměti obvyklý výklad. Vědci znali pouze přirozený soubor hodnot. Sčítání a odčítání bylo jednoduché. Jak se ekonomické vztahy staly složitějšími, začalo se místo sčítání stejných hodnot používat násobení. Existuje zpětná operacenásobení - dělení.
Koncept přirozeného čísla omezoval použití aritmetických operací. Je nemožné vyřešit všechny problémy dělení na množině celočíselných hodnot. Práce se zlomky vedla nejprve ke konceptu racionálních hodnot a poté k hodnotám iracionálním. Jestliže pro racionální je možné uvést přesné umístění bodu na přímce, pak pro iracionální není možné takový bod označit. Interval můžete pouze přiblížit. Spojením racionálních a iracionálních čísel vznikla reálná množina, kterou lze znázornit jako určitou přímku s daným měřítkem. Každý krok podél linie je přirozené číslo a mezi nimi jsou racionální a iracionální hodnoty.
Začala éra teoretické matematiky. Rozvoj astronomie, mechaniky, fyziky vyžadoval řešení stále složitějších rovnic. Obecně byly nalezeny kořeny kvadratické rovnice. Při řešení složitějšího kubického polynomu narazili vědci na rozpor. Koncept odmocniny ze záporu dává smysl, ale pro druhou odmocninu se získá nejistota. Navíc je kvadratická rovnice pouze speciálním případem kubické rovnice.
V roce 1545 navrhl Ital J. Cardano zavést koncept imaginárního čísla.
Toto číslo je druhá odmocnina mínus jedna. Termín komplexní číslo se nakonec zformoval až o tři sta let později, v dílech slavného matematika Gausse. Navrhl formálně rozšířit všechny zákony algebry na imaginární číslo. Skutečná řada byla prodloužena naletadla. Svět je větší.
Základní pojmy
Vybavte si řadu funkcí, které mají omezení na skutečnou sadu:
- y=arcsin(x), definováno mezi zápornou a kladnou 1.
- y=ln(x), desetinný logaritmus dává smysl s kladnými argumenty.
- druhá odmocnina y=√x, vypočteno pouze pro x ≧ 0.
Označíme-li i=√(-1), zavedeme takový pojem jako imaginární číslo, čímž odstraníme všechna omezení z oblasti definice výše uvedených funkcí. Výrazy jako y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) dávají smysl v nějakém prostoru komplexních čísel.
Algebraický tvar lze zapsat jako výraz z=x + i×y na množině reálných hodnot x a y a i2 =-1.
Nový koncept odstraňuje všechna omezení pro použití jakékoli algebraické funkce a připomíná graf přímky v souřadnicích skutečných a imaginárních hodnot.
Složitá rovina
Geometrická forma komplexních čísel nám umožňuje vizuálně znázornit mnoho jejich vlastností. Na ose Re(z) označíme skutečné hodnoty x, na Im(z) - imaginární hodnoty y, pak bod z v rovině zobrazí požadovanou komplexní hodnotu.
Definice:
- Re(z) - skutečná osa.
- Im(z) – znamená pomyslnou osu.
- z - podmíněná tečka komplexního čísla.
- Zavolá se číselná hodnota délky vektoru od nuly do zmodul.
- Skutečné a imaginární osy rozdělují rovinu na čtvrtiny. S kladnou hodnotou souřadnic - I čtvrtina. Když je argument reálné osy menší než 0 a imaginární osa je větší než 0 - II čtvrtina. Když jsou souřadnice záporné - III čtvrtina. Poslední, čtvrté čtvrtletí obsahuje mnoho kladných reálných hodnot a záporných imaginárních hodnot.
Na rovině s hodnotami souřadnic x a y je tedy možné vždy zobrazit bod komplexního čísla. Postava i je představena, aby oddělila skutečnou část od té imaginární.
Vlastnosti
- Když je hodnota imaginárního argumentu nula, dostaneme právě číslo (z=x), které se nachází na reálné ose a patří do reálné množiny.
- Zvláštní případ, kdy se hodnota skutečného argumentu stane nulou, výraz z=i×y odpovídá umístění bodu na imaginární ose.
- Obecný tvar z=x + i×y bude pro nenulové hodnoty argumentů. Označuje umístění bodu charakterizujícího komplexní číslo v jedné ze čtvrtí.
Trigonometrický zápis
Vybavte si polární souřadnicový systém a definici goniometrických funkcí sin a cos. Je zřejmé, že pomocí těchto funkcí je možné popsat polohu libovolného bodu v rovině. K tomu stačí znát délku polárního paprsku a úhel sklonu ke skutečné ose.
Definice. Záznam ve tvaru ∣z ∣ vynásobený součtem goniometrických funkcí cos(ϴ) a imaginární části i ×sin(ϴ) se nazývá trigonometrické komplexní číslo. Zde je označení úhel sklonu ke skutečné ose
ϴ=arg(z) a r=∣z∣, délka paprsku.
Z definice a vlastností goniometrických funkcí vyplývá velmi důležitý Moivreův vzorec:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Pomocí tohoto vzorce je vhodné řešit mnoho soustav rovnic obsahujících goniometrické funkce. Obzvláště, když se objeví problém s povýšením na moc.
Modul a fáze
K dokončení popisu komplexní množiny navrhujeme dvě důležité definice.
Znáte-li Pythagorovu větu, je snadné vypočítat délku paprsku v polárním souřadnicovém systému.
r=∣z∣=√(x2 + y2), takový zápis na komplexním prostoru se nazývá „ modul a charakterizuje vzdálenost od 0 do bodu v rovině.
Úhel sklonu komplexního paprsku ke skutečné přímce ϴ se běžně nazývá fáze.
Definice ukazuje, že reálné a imaginární části jsou popsány pomocí cyklických funkcí. Jmenovitě:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Naopak, fáze souvisí s algebraickými hodnotami prostřednictvím vzorce:
ϴ=arctan(x / y) + µ, je zavedena korekce µ, aby se zohlednila periodicita geometrických funkcí.
Eulerův vzorec
Matematici často používají exponenciální formu. Komplexní rovinná čísla se zapisují jako výrazy
z=r × ei×ϴ , což vyplývá z Eulerova vzorce.
Tento záznam je široce používán pro praktické výpočty fyzikálních veličin. Forma prezentace ve formulářiexponenciální komplexní čísla jsou vhodná zejména pro inženýrské výpočty, kde je nutné počítat obvody se sinusovými proudy a je nutné znát hodnotu integrálů funkcí s danou periodou. Samotné výpočty slouží jako nástroj při návrhu různých strojů a mechanismů.
Definovat operace
Jak již bylo uvedeno, všechny algebraické zákony práce se základními matematickými funkcemi platí pro komplexní čísla.
Součet operace
Při přidávání komplexních hodnot se přidávají také jejich skutečné a imaginární části.
z=z1 + z2 kde z1 a z2 - obecná komplexní čísla. Transformací výrazu, po otevření závorek a zjednodušení zápisu, dostaneme skutečný argument x=(x1 + x2), imaginární argument y=(y 1 + y2).
Na grafu to vypadá jako sčítání dvou vektorů podle známého pravidla rovnoběžníku.
Operace odčítání
Považováno za zvláštní případ sčítání, když je jedno číslo kladné, druhé záporné, to znamená, že se nachází v zrcadlové čtvrtině. Algebraický zápis vypadá jako rozdíl mezi reálnou a imaginární částí.
z=z1 - z2, nebo s přihlédnutím k hodnotám argumentů obdobně jako při sčítání operace, získáme pro reálné hodnoty x=(x1 - x2) a imaginární y=(y1- y2).
Násobení v komplexní rovině
Pomocí pravidel pro práci s polynomy odvodíme vzorecřešit komplexní čísla.
Podle obecných algebraických pravidel z=z1×z2 popište každý argument a uveďte podobné. Skutečné a imaginární části lze napsat takto:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Vypadá to krásněji, když použijeme exponenciální komplexní čísla.
Výraz vypadá takto: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Zjednodušeně řečeno se moduly násobí a fáze se sčítají.
Division
Když uvažujeme operaci dělení jako inverzi násobení, získáme jednoduchý výraz v exponenciálním zápisu. Vydělení hodnoty z1 z2 je výsledkem dělení jejich modulů a fázového rozdílu. Formálně to při použití exponenciálního tvaru komplexních čísel vypadá takto:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Ve formě algebraické notace je operace dělení čísel komplexní roviny zapsána trochu složitější:
z=z1 / z2.
Popisem argumentů a prováděním polynomiálních transformací je snadné získat hodnotyx=x1 × x2 + y1 × y2, respektive y=x2 × y1 - x1 × y2 , nicméně v rámci popsaného prostoru má tento výraz smysl, pokud z2 ≠ 0.
Extrahujte kořen
Vše výše uvedené lze použít při definování složitějších algebraických funkcí – zvýšení na libovolnou mocninu a inverzní k ní – extrahování odmocniny.
Použitím obecného konceptu zvýšení na mocninu n dostaneme definici:
zn =(r × eiϴ).
Pomocí běžných vlastností přepište jako:
zn =rn × eiϴ.
Máme jednoduchý vzorec pro umocnění komplexního čísla na mocninu.
Z definice stupně dostáváme velmi důležitý důsledek. Sudá mocnina imaginární jednotky je vždy 1. Libovolná lichá mocnina imaginární jednotky je vždy -1.
Nyní se podíváme na inverzní funkci – extrahování kořene.
Pro usnadnění zápisu vezměme n=2. Druhá odmocnina w komplexní hodnoty z v komplexní rovině C je považována za výraz z=±, platný pro jakýkoli skutečný argument větší nebo roven nula. Pro w ≦ 0 neexistuje řešení.
Podívejme se na nejjednodušší kvadratickou rovnici z2 =1. Pomocí vzorců pro komplexní čísla přepište r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Ze záznamu je vidět, že r2 =1 a ϴ=0, proto máme jedinečné řešení rovné 1. Ale to je v rozporu s představou, že z=-1 také odpovídá definici odmocniny.
Pojďme zjistit, co nebereme v úvahu. Pokud si připomeneme goniometrický zápis, pak výrok obnovíme - s periodickou změnou fáze ϴ se komplexní číslo nemění. Nechť p označuje hodnotu období, pak máme r2 × ei2ϴ =ei(0+p), odkud 2ϴ=0 + p nebo ϴ=p / 2. Proto ei0 =1 a eip/2 =-1. Dostali jsme druhé řešení, které odpovídá obecnému chápání odmocniny.
Abychom našli libovolnou odmocninu komplexního čísla, budeme postupovat podle tohoto postupu.
- Napište exponenciální tvar w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k je libovolné celé číslo.
- Požadované číslo je také zastoupeno v Eulerově tvaru z=r × eiϴ.
- Použijte obecnou definici funkce extrakce kořene r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Z obecných vlastností rovnosti modulů a argumentů píšeme rn =∣w∣ a nϴ=arg (w) + p×k.
- Konečný záznam odmocniny komplexního čísla je popsán vzorcem z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Poznámka. Hodnota ∣w∣ podle definiceje kladné reálné číslo, takže kořen jakéhokoli stupně dává smysl.
Pole a konjugace
Na závěr uvádíme dvě důležité definice, které mají malý význam pro řešení aplikovaných problémů s komplexními čísly, ale jsou nezbytné pro další rozvoj matematické teorie.
Výrazy pro sčítání a násobení tvoří pole, pokud splňují axiomy pro libovolné prvky komplexní roviny z:
- Komplexní součet se při změně místa složitých pojmů nemění.
- Výrok je pravdivý – ve složitém výrazu lze libovolný součet dvou čísel nahradit jejich hodnotou.
- Existuje neutrální hodnota 0, pro kterou platí z + 0=0 + z=z.
- Pro libovolné z existuje opak - z, ke kterému přičtení dává nulu.
- Při změně místa složitých faktorů se komplexní produkt nemění.
- Násobení libovolných dvou čísel lze nahradit jejich hodnotou.
- Je zde neutrální hodnota 1, násobení, kterým se komplexní číslo nemění.
- Pro každé z ≠ 0 existuje inverzní hodnota z-1, která se vynásobí 1.
- Vynásobení součtu dvou čísel třetinou je ekvivalentní operaci vynásobení každého z nich tímto číslem a sečtení výsledků.
- 0 ≠ 1.
Čísla z1 =x + i×y a z2 =x - i×y se nazývají konjugované.
Věta. Pro konjugaci platí tvrzení:
- Konjugace součtu se rovná součtu konjugovaných prvků.
- Konjugát produktu jesoučin konjugací.
- Konjugace konjugace se rovná samotnému číslu.
V obecné algebře se takové vlastnosti nazývají automorfismy polí.
Příklady
Podle daných pravidel a vzorců komplexních čísel s nimi můžete snadno pracovat.
Uvažujme o nejjednodušších příkladech.
Úloha 1. Pomocí rovnice 3y +5 x i=15 - 7i určete x a y.
Rozhodnutí. Připomeňme si definici komplexních rovností, pak 3y=15, 5x=-7. Proto x=-7 / 5, y=5.
Úkol 2. Vypočítejte hodnoty 2 + i28 a 1 + i135.
Rozhodnutí. Je zřejmé, že 28 je sudé číslo, z důsledku definice komplexního čísla v mocnině máme i28 =1, což znamená, že výraz 2 + i 28 =3. Druhá hodnota, i135 =-1, poté 1 + i135 =0.
Úkol 3. Vypočítejte součin hodnot 2 + 5i a 4 + 3i.
Rozhodnutí. Z obecných vlastností násobení komplexních čísel získáme (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nová hodnota bude -7 + 26i.
Úkol 4. Vypočítejte kořeny rovnice z3 =-i.
Rozhodnutí. Existuje několik způsobů, jak najít komplexní číslo. Uvažujme o jednom z možných. Podle definice je ∣ - i∣=1, fáze pro -i je -p / 4. Původní rovnici lze přepsat jako r3ei3ϴ =e-p/4+pk, odkud z=e-p / 12 + pk/3, pro libovolné celé číslo k.
Sada řešení má tvar (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Proč potřebujeme komplexní čísla
Historie zná mnoho příkladů, kdy vědci pracující na teorii ani nepřemýšlejí o praktické aplikaci svých výsledků. Matematika je především hrou mysli, striktním dodržováním vztahů příčina-následek. Téměř všechny matematické konstrukce jsou redukovány na řešení integrálních a diferenciálních rovnic a ty se zase s určitou aproximací řeší hledáním kořenů polynomů. Zde se poprvé setkáváme s paradoxem imaginárních čísel.
Přírodovědci, kteří řeší zcela praktické problémy, uchylují se k řešení různých rovnic, objevují matematické paradoxy. Interpretace těchto paradoxů vede k naprosto úžasným objevům. Duální povaha elektromagnetických vln je jedním takovým příkladem. Komplexní čísla hrají zásadní roli v pochopení jejich vlastností.
To zase našlo praktické uplatnění v optice, radioelektronice, energetice a mnoha dalších technologických oborech. Další příklad, mnohem obtížnější pochopit fyzikální jevy. Antihmota byla předpovězena na špičce pera. A jen o mnoho let později začaly pokusy o jeho fyzickou syntézu.
Nemyslete si, že takové situace existují pouze ve fyzice. Neméně zajímavé objevy se objevují ve volné přírodě, při syntéze makromolekul, při studiu umělé inteligence. A to vše díkyexpanze našeho vědomí, odklon od jednoduchého sčítání a odečítání přírodních hodnot.
