Leonhard Euler (1707-1783) – slavný švýcarský a ruský matematik, člen Petrohradské akademie věd, prožil většinu svého života v Rusku. Nejznámější v matematické analýze, statistice, informatice a logice je Eulerův kruh (Euler-Vennův diagram), používaný k označení rozsahu pojmů a souborů prvků.
John Venn (1834-1923) – anglický filozof a logik, spoluautor Euler-Vennova diagramu.
Kompatibilní a nekompatibilní koncepty
Pod pojmem logika znamená formu myšlení, která odráží základní rysy třídy homogenních objektů. Označují se jedním nebo skupinou slov: „mapa světa“, „dominantní pátý-sedmý akord“, „pondělí“atd.
V případě, kdy prvky rozsahu jednoho pojmu zcela nebo částečně patří do rozsahu jiného, hovoří se o kompatibilních pojmech. Pokud však žádný prvek z rozsahu určitého pojmu nepatří do rozsahu jiného, máme neslučitelné pojmy.
Každý typ konceptu má zase svůj vlastní soubor možných vztahů. Pro kompatibilní koncepty jsou to:
- identita (ekvivalence) objemů;
- crossing (částečná shoda)svazky;
- podřízení (podřízení).
Pro nekompatibilní:
- podřízení (koordinace);
- opak (kontraralita);
- rozpor (rozpor).
Schematicky jsou vztahy mezi pojmy v logice obvykle označovány pomocí Euler-Vennových kružnic.
Ekvivalentní vztahy
V tomto případě pojmy znamenají stejný předmět. V souladu s tím jsou objemy těchto konceptů zcela stejné. Například:
A – Sigmund Freud;
B je zakladatelem psychoanalýzy.
Nebo:
A je čtverec;
B je rovnostranný obdélník;
C je rovnoúhelníkový kosočtverec.
K označení se používají zcela shodné Eulerovy kruhy.
Křižovatka (částečná shoda)
Tato kategorie zahrnuje koncepty, které mají společné prvky související s křížením. To znamená, že objem jednoho z konceptů je částečně zahrnut do objemu druhého:
A - učitel;
B je milovník hudby.
Jak je vidět z tohoto příkladu, objemy pojmů se částečně shodují: určitá skupina učitelů se může ukázat jako milovníci hudby a naopak - mezi milovníky hudby mohou být zástupci učitelské profese. Podobný postoj bude v případě, kdy koncept A je například „občan“a B je „řidič“.
Podřízenost (podřízenost)
Schematicky označeny jako Eulerovy kruhy různých měřítek. Vztahymezi pojmy se v tomto případě vyznačují tím, že podřazený pojem (objemově menší) je zcela zahrnut do podřazeného (objemově větší). Zároveň pojem podřízený nevyčerpává zcela podřízený.
Například:
A - strom;
B – borovice.
Pojem B bude podřízen konceptu A. Protože borovice patří ke stromům, koncept A se v tomto příkladu stává podřízeným a „pohlcuje“rozsah konceptu B.
Koordinace (koordinace)
Vztah charakterizuje dva nebo více pojmů, které se navzájem vylučují, ale patří do určitého společného obecného okruhu. Například:
A – klarinet;
B - kytara;
C - housle;
D je hudební nástroj.
Pojmy A, B, C se vzájemně neprolínají, nicméně všechny patří do kategorie hudebních nástrojů (pojem D).
Opak (naopak)
Opačné vztahy mezi pojmy naznačují, že tyto pojmy patří do stejného rodu. Jeden z konceptů má přitom určité vlastnosti (rysy), zatímco druhý je popírá a v přírodě je nahrazuje opačnými. Máme tedy co do činění s antonymy. Například:
A je trpaslík;
B je obr.
Eulerův kruh s opačnými vztahy mezi pojmyje rozdělen do tří segmentů, z nichž první odpovídá konceptu A, druhý konceptu B a třetí všem ostatním možným konceptům.
Rozpor (rozpor)
V tomto případě jsou oba pojmy druhy stejného rodu. Stejně jako v předchozím příkladu jeden z konceptů označuje určité kvality (rysy), zatímco druhý je popírá. Na rozdíl od vztahu protikladů však druhý, opačný koncept nenahrazuje popírané vlastnosti jinými, alternativními. Například:
A je obtížný úkol;
B je snadný úkol (ne-A).
Eulerův kruh, který vyjadřuje objem pojmů tohoto druhu, je rozdělen na dvě části – třetí, mezičlánek v tomto případě neexistuje. Pojmy jsou tedy také antonyma. Současně se jeden z nich (A) stává pozitivním (potvrzujícím nějakou vlastnost) a druhý (B nebo non-A) se stává negativní (neguje odpovídající prvek): „bílý papír“- „ne bílý papír“, „ národní historie“– „zahraniční historie“atd.
Poměr objemů pojmů ve vztahu k sobě je tedy klíčovou charakteristikou, která definuje Eulerovy kruhy.
Vztahy mezi skupinami
Je také nutné rozlišovat mezi pojmy prvky a množiny, jejichž objem je zobrazován Eulerovými kruhy. Pojem množina je vypůjčen z matematické vědy a má poměrně široký význam. Příklady v logice a matematice jej zobrazují jako určitou množinu objektů. Objekty samotné jsouprvky této sady. "Mnoho je mnoho myšlenek jako jedna" (Georg Kantor, zakladatel teorie množin).
Množiny jsou označeny velkými písmeny: A, B, C, D… atd., prvky množin jsou označeny malými písmeny: a, b, c, d… atd. Příkladem množiny mohou být studenti, kteří jsou v jedné učebně, knihy na určité polici (nebo například všechny knihy v určité knihovně), stránky v deníku, bobule na lesní mýtině atd.
Pokud určitá množina neobsahuje jediný prvek, pak se nazývá prázdná a značí se znaménkem Ø. Například množina průsečíků rovnoběžných čar, množina řešení rovnice x2=-5.
Řešení problémů
Eulerovy kruhy se aktivně používají k řešení velkého množství problémů. Příklady v logice jasně demonstrují spojení mezi logickými operacemi a teorií množin. V tomto případě se používají pravdivostní tabulky pojmů. Například kruh označený A představuje oblast pravdy. Oblast mimo kruh bude tedy představovat nepravdu. Chcete-li určit oblast diagramu pro logickou operaci, měli byste zastínit oblasti, které definují Eulerův kruh, ve kterém budou jeho hodnoty pro prvky A a B pravdivé.
Použití Eulerových kruhů našlo široké praktické uplatnění v různých průmyslových odvětvích. Například v situaci s profesionální volbou. Pokud má subjekt obavy ohledně volby budoucího povolání, může se řídit následujícími kritérii:
W – co rád dělám?
D – co dělám?
P– jak mohu vydělat dobré peníze?
Nakreslete to jako diagram: Eulerovy kružnice (příklady ve vztahu logika - průnik):
Výsledkem budou profese, které budou v průsečíku všech tří kruhů.
Euler-Vennovy kruhy zaujímají v matematice (teorii množin) samostatné místo při výpočtu kombinací a vlastností. Eulerovy kružnice množiny prvků jsou uzavřeny v obraze obdélníku označujícího univerzální množinu (U). Místo kruhů lze použít i jiné uzavřené obrazce, ale podstata toho se nemění. Obrazce se navzájem prolínají podle podmínek problému (v nejobecnějším případě). Tyto údaje by také měly být odpovídajícím způsobem označeny. Prvky uvažovaných množin mohou být body umístěné uvnitř různých segmentů diagramu. Na základě toho můžete zastínit konkrétní oblasti, a tím označit nově vytvořené sady.
S těmito množinami je možné provádět základní matematické operace: sčítání (součet množin prvků), odčítání (rozdíl), násobení (součin). Navíc díky Euler-Vennovým diagramům je možné porovnávat množiny podle počtu prvků v nich obsažených, nepočítaje je.
