Funkce diferenciálního počtu jedné a několika proměnných

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Počet je odvětví počtu, které studuje derivaci, diferenciály a jejich použití při studiu funkce.

Historie vzhledu

Diferenciální počet se jako samostatná disciplína objevil ve druhé polovině 17. století díky práci Newtona a Leibnize, kteří formulovali základní ustanovení diferenciálního počtu a všimli si souvislosti mezi integrací a diferenciací. Od té chvíle se disciplína vyvíjela spolu s integrálním počtem, a tak tvoří základ matematické analýzy. Objevení se těchto kalkulů otevřelo nové moderní období v matematickém světě a způsobilo vznik nových vědních disciplín. Rozšířila také možnost aplikace matematických věd v přírodních vědách a technice.

Základní pojmy

Diferenciální počet je založen na základních pojmech matematiky. Jsou to: reálné číslo, spojitost, funkce a limita. Postupem času získaly moderní vzhled díky integrálnímu a diferenciálnímu počtu.

Proces tvorby

K vytvoření diferenciálního počtu ve formě aplikované a poté vědecké metody došlo před vznikem filozofické teorie, kterou vytvořil Mikuláš Kusánský. Jeho díla jsou považována za evoluční vývoj z úsudků starověké vědy. Navzdory skutečnosti, že filozof sám nebyl matematik, jeho přínos k rozvoji matematické vědy je nepopiratelný. Kuzansky byl jedním z prvních, kdo upustil od toho, aby považoval aritmetiku za nejpřesnější vědní obor, čímž zpochybnil tehdejší matematiku.

Starověcí matematici používali jednotku jako univerzální kritérium, zatímco filozof navrhoval jako novou míru nekonečno místo přesného čísla. V tomto ohledu je znázornění přesnosti v matematické vědě obrácené. Vědecké poznání se podle něj dělí na racionální a intelektuální. Druhý je podle vědce přesnější, protože první dává pouze přibližný výsledek.

Nápad

Hlavní myšlenka a koncept v diferenciálním počtu souvisí s funkcí v malých sousedstvích určitých bodů. K tomu je nutné vytvořit matematický aparát pro studium funkce, jejíž chování se v malém okolí stanovených bodů blíží chování polynomu nebo lineární funkce. Toto je založeno na definici derivátu a diferenciálu.

Výskyt pojmu derivace byl způsoben velkým množstvím problémů z přírodních věd a matematiky,což vedlo k nalezení hodnot limitů stejného typu.

Jedním z hlavních problémů, které jsou uvedeny jako příklad na střední škole, je určit rychlost bodu pohybujícího se po přímce a sestrojit tečnu k této křivce. Diferenciál s tím souvisí, protože je možné aproximovat funkci v malém okolí uvažovaného bodu lineární funkce.

Ve srovnání s konceptem derivace funkce reálné proměnné přechází definice diferenciálů jednoduše k funkci obecné povahy, konkrétně k obrazu jednoho euklidovského prostoru na druhém.

Derivative

Nechte bod pohybovat se ve směru osy Oy po dobu, kterou bereme x, která se počítá od určitého začátku okamžiku. Takový pohyb lze popsat funkcí y=f(x), která je přiřazena každému časovému okamžiku x souřadnice přesouvaného bodu. V mechanice se tato funkce nazývá pohybový zákon. Hlavní charakteristikou pohybu, zvláště nerovnoměrného, je okamžitá rychlost. Když se bod pohybuje podél osy Oy podle zákona mechaniky, pak v náhodném časovém okamžiku x získá souřadnici f (x). V časovém okamžiku x + Δx, kde Δx označuje přírůstek času, bude jeho souřadnice f(x + Δx). Tak vzniká vzorec Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), který se nazývá přírůstek funkce. Představuje cestu, kterou urazil bod v čase od x do x + Δx.

Kvůli vzniku tohotorychlosti v čase, je zavedena derivace. V libovolné funkci se derivace v pevném bodě nazývá limita (za předpokladu, že existuje). Může být označen určitými symboly:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces výpočtu derivace se nazývá diferenciace.

Diferenciální počet funkce několika proměnných

Tato metoda výpočtu se používá při zkoumání funkce s několika proměnnými. V přítomnosti dvou proměnných x a y se parciální derivace vzhledem k x v bodě A nazývá derivace této funkce vzhledem k x s pevným y.

Může být reprezentováno následujícími znaky:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x nebo ∂f(x, y)’/∂x.

Požadované dovednosti

K úspěšnému studiu a schopnosti řešit difuze jsou zapotřebí dovednosti v integraci a diferenciaci. Pro snazší pochopení diferenciálních rovnic byste měli dobře rozumět tématu derivace a neurčitého integrálu. Také neuškodí naučit se najít derivaci implicitně dané funkce. To je způsobeno skutečností, že v procesu studia integrálů a derivování bude často nutné použít.

Typy diferenciálních rovnic

V téměř všech testovacích pracích týkajících se diferenciálních rovnic prvního řádu jsou 3 typy rovnic: homogenní, s oddělitelnými proměnnými, lineární nehomogenní.

Existují také vzácnější druhy rovnic: s totálními diferenciály, Bernoulliho rovnice a další.

Základy rozhodování

Nejprve byste si měli zapamatovat algebraické rovnice ze školního kurzu. Obsahují proměnné a čísla. Chcete-li vyřešit obyčejnou rovnici, musíte najít sadu čísel, která splňují danou podmínku. Takové rovnice měly zpravidla jeden kořen a pro kontrolu správnosti stačilo tuto hodnotu dosadit za neznámou.

Diferenciální rovnice je podobná této. Obecně taková rovnice prvního řádu zahrnuje:

• Nezávislá proměnná.
• Derivace první funkce.
• Funkce nebo závislá proměnná.

V některých případech může jedna z neznámých, x nebo y, chybět, ale to není tak důležité, protože pro řešení a diferenciál je nezbytná přítomnost první derivace bez derivací vyšších řádů aby byl výpočet správný.

Řešit diferenciální rovnici znamená najít množinu všech funkcí vyhovujících danému výrazu. Taková množina funkcí se často nazývá obecné řešení DE.

Integrovaný kalkul

Integrální počet je jednou z částí matematické analýzy, která studuje koncept integrálu, vlastnosti a metody jeho výpočtu.

K výpočtu integrálu často dochází při výpočtu plochy křivočarého obrazce. Tato plocha znamená limit, ke kterému směřuje plocha mnohoúhelníku vepsaného do daného obrázku s postupným zvětšováním jeho strany, přičemž tyto strany mohou být menší než jakékoli dříve specifikované libovolné.malá hodnota.

Hlavní myšlenkou při výpočtu plochy libovolného geometrického útvaru je vypočítat plochu obdélníku, to znamená dokázat, že jeho plocha je rovna součinu délky a šířky. Pokud jde o geometrii, všechny konstrukce se dělají pomocí pravítka a kružítka a pak je poměr délky k šířce racionální hodnotou. Při výpočtu plochy pravoúhlého trojúhelníku můžete určit, že pokud vedle něj umístíte stejný trojúhelník, vytvoří se obdélník. V rovnoběžníku se plocha vypočítává podobnou, ale trochu komplikovanější metodou, přes obdélník a trojúhelník. V polygonech se plocha vypočítává pomocí trojúhelníků, které jsou v nich obsaženy.

Při určování úspory libovolné křivky tato metoda nebude fungovat. Pokud to rozbijete na jednotlivá políčka, budou tam nevyplněná místa. V tomto případě se pokusíme použít dva kryty s obdélníky nahoře a dole, takže ty obsahují graf funkce a ne. Zde zůstává důležitý způsob rozdělení do těchto obdélníků. Také, pokud vezmeme stále menší oddíly, pak by se oblast nad a pod měla sbíhat na určité hodnotě.

Mělo by se vrátit k metodě dělení na obdélníky. Existují dvě oblíbené metody.

Riemann formalizoval definici integrálu vytvořeného Leibnizem a Newtonem jako oblast podgrafu. V tomto případě byly uvažovány obrazce, sestávající z určitého počtu vertikálních obdélníků a získané dělenímsegment. Když, jak se dělení zmenšuje, existuje limit, na který se plocha podobného čísla zmenšuje, nazývá se tento limit Riemannův integrál funkce na daném intervalu.

Druhou metodou je konstrukce Lebesgueova integrálu, která spočívá v tom, že pro místo rozdělení definované oblasti na části integrandu a následném sestavení integrálního součtu z hodnot získaných v těchto částech, jeho rozsah hodnot je rozdělen do intervalů a poté sečten s odpovídajícími mírami předobrazu těchto integrálů.

Moderní výhody

Jednu z hlavních příruček pro studium diferenciálního a integrálního počtu napsal Fikhtengolts – „Kurz diferenciálního a integrálního počtu“. Jeho učebnice je základním průvodcem studia matematické analýzy, která prošla mnoha vydáními a překlady do jiných jazyků. Vytvořen pro studenty vysokých škol a dlouhodobě je využíván v mnoha vzdělávacích institucích jako jedna z hlavních studijních opor. Poskytuje teoretické podklady a praktické dovednosti. Poprvé publikováno v roce 1948.

Algoritmus pro výzkum funkcí

Chcete-li prozkoumat funkci pomocí metod diferenciálního počtu, musíte postupovat podle již uvedeného algoritmu:

1. Najděte rozsah funkce.
2. Najděte kořeny dané rovnice.
3. Vypočítejte extrémy. Chcete-li to provést, vypočítejte derivaci a body, kde se rovná nule.
4. Dosaďte výslednou hodnotu do rovnice.

Odrůdy diferenciálních rovnic

ovládání prvního řádu (jinak diferenciáljednoproměnný počet) a jejich typy:

• Oddělitelná rovnice: f(y)dy=g(x)dx.
• Nejjednodušší rovnice nebo diferenciální počet funkce jedné proměnné mající vzorec: y'=f(x).
• Lineární nehomogenní DE prvního řádu: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulliho diferenciální rovnice: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Rovnice s celkovými diferenciály: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Diferenciální rovnice druhého řádu a jejich typy:

• Lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s hodnotami konstantních koeficientů: y +py'+qy=0 p, q patří do R.
• Lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty: y +py'+qy=f(x).
• Lineární homogenní diferenciální rovnice: y +p(x)y'+q(x)y=0 a nehomogenní rovnice druhého řádu: y +p(x)y'+q(x)y=f(x).

Diferenciální rovnice vyššího řádu a jejich typy:

• Diferenciální rovnice, kterou lze redukovat v pořadí: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineární homogenní rovnice vyššího řádu: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 a nehomogenní: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Kroky při řešení problému s diferenciální rovnicí

Pomocí dálkového ovládání se řeší nejen matematické či fyzikální otázky, ale také různé problémy zbiologie, ekonomie, sociologie atd. Navzdory široké škále témat by se člověk měl při řešení takových problémů držet jediné logické sekvence:

1. Kompilace dálkového ovládání. Jeden z nejobtížnějších kroků, který vyžaduje maximální přesnost, protože jakákoli chyba povede ke zcela nesprávným výsledkům. Je třeba vzít v úvahu všechny faktory ovlivňující proces a stanovit počáteční podmínky. Mělo by být také založeno na faktech a logických závěrech.
2. Řešení formulované rovnice. Tento proces je jednodušší než první krok, protože vyžaduje pouze přísné matematické výpočty.
3. Analýza a vyhodnocení výsledků. Odvozené řešení by mělo být vyhodnoceno, aby se stanovila praktická a teoretická hodnota výsledku.

Příklad použití diferenciálních rovnic v medicíně

Použití dálkového ovládání v oblasti medicíny nastává při sestavování epidemiologického matematického modelu. Zároveň by se nemělo zapomínat, že tyto rovnice najdeme i v biologii a chemii, které mají blízko k medicíně, protože v ní hraje důležitou roli studium různých biologických populací a chemických procesů v lidském těle.

Ve výše uvedeném příkladu epidemie můžeme uvažovat o šíření infekce v izolované společnosti. Obyvatelé jsou rozděleni do tří typů:

• Infikovaný, číslo x(t), sestávající z jedinců, přenašečů infekce, z nichž každý je nakažlivý (inkubační doba je krátká).
• Druhý typ zahrnujevnímaví jedinci y(t) schopní se nakazit kontaktem s infikovanými jedinci.
• Třetí druh zahrnuje imunní jedince z(t), kteří jsou imunní nebo zemřeli v důsledku nemoci.

Počet jedinců je konstantní, nebere se v úvahu narození, přirozená úmrtí a migrace. V jádru budou dvě hypotézy.

Procento výskytu v určitém časovém bodě je x(t)y(t) (na základě teorie, že počet případů je úměrný počtu průsečíků mezi nemocnými a vnímavými zástupci, což v prvním aproximace bude úměrná x(t)y(t)), v souvislosti s tím se počet případů zvyšuje a počet náchylných klesá rychlostí, která se vypočítá podle vzorce ax(t)y(t) (a > 0).

Počet imunních jedinců, kteří se stali imunními nebo zemřeli, roste rychlostí, která je úměrná počtu případů, bx(t) (b > 0).

V důsledku toho můžete vytvořit systém rovnic, který zohlední všechny tři ukazatele, a na základě toho vyvodit závěry.

Ekonomický příklad

Diferenciální počet se často používá v ekonomické analýze. Hlavním úkolem ekonomické analýzy je studium veličin z ekonomiky, které se zapisují ve formě funkce. Toho se využívá při řešení problémů, jako jsou změny v příjmech bezprostředně po zvýšení daní, zavedení cel, změny v příjmech společnosti, když se změní náklady na výrobu, v jakém poměru mohou být důchodci nahrazeni novým zařízením. K vyřešení takových problémů je to nutnésestavte spojovací funkci ze vstupních proměnných, které jsou poté studovány pomocí diferenciálního počtu.

V ekonomické sféře je často nutné najít ty nejoptimálnější ukazatele: maximální produktivitu práce, nejvyšší příjmy, nejnižší náklady a tak dále. Každý takový indikátor je funkcí jednoho nebo více argumentů. Na výrobu lze například pohlížet jako na funkci práce a kapitálových vstupů. V tomto ohledu lze nalezení vhodné hodnoty omezit na nalezení maxima nebo minima funkce z jedné nebo více proměnných.

Problémy tohoto druhu vytvářejí třídu extremálních problémů v ekonomické oblasti, jejichž řešení vyžaduje diferenciální počet. Když ekonomický ukazatel potřebuje být minimalizován nebo maximalizován jako funkce jiného ukazatele, pak v bodě maxima bude mít poměr přírůstku funkce k argumentům tendenci k nule, pokud bude přírůstek argumentu inklinovat k nule. V opačném případě, když takový poměr směřuje k nějaké kladné nebo záporné hodnotě, zadaný bod není vhodný, protože zvýšením nebo snížením argumentu můžete změnit závislou hodnotu v požadovaném směru. V terminologii diferenciálního počtu to bude znamenat, že požadovanou podmínkou pro maximum funkce je nulová hodnota její derivace.

V ekonomii jsou často problémy s nalezením extrému funkce s několika proměnnými, protože ekonomické ukazatele se skládají z mnoha faktorů. Takové otázky jsou dobré.studuje teorii funkcí více proměnných s využitím metod diferenciálního výpočtu. Takové problémy zahrnují nejen maximalizované a minimalizované funkce, ale také omezení. Takové otázky souvisejí s matematickým programováním a řeší se pomocí speciálně vyvinutých metod, rovněž založených na tomto vědním oboru.

Mezi metodami diferenciálního počtu používaných v ekonomii je důležitou sekcí marginální analýza. V ekonomické sféře se tímto pojmem rozumí soubor metod pro studium proměnných ukazatelů a výsledků při změně objemu tvorby, spotřeby na základě analýzy jejich mezních ukazatelů. Limitujícím indikátorem je derivace nebo parciální derivace s několika proměnnými.

Diferenciální počet několika proměnných je důležitým tématem v oblasti matematické analýzy. Pro podrobné studium můžete využít různé učebnice pro vysokoškolské vzdělávání. Jeden z nejznámějších vytvořil Fikhtengolts - "Kurz diferenciálního a integrálního počtu". Jak již název napovídá, dovednosti práce s integrály mají pro řešení diferenciálních rovnic značný význam. Když dojde k diferenciálnímu počtu funkce jedné proměnné, řešení se zjednoduší. I když je třeba poznamenat, že podléhá stejným základním pravidlům. Pro studium funkce v praxi diferenciálním počtem stačí postupovat podle již existujícího algoritmu, který je dán na střední škole a při zavádění nových se jen mírně komplikuje.proměnné.