Ideální plyn je úspěšný model ve fyzice, který vám umožňuje studovat chování skutečných plynů za různých podmínek. V tomto článku se blíže podíváme na to, co je ideální plyn, jaký vzorec popisuje jeho stav a také jak se počítá jeho energie.
Ideální koncept plynu
Jedná se o plyn, který je tvořen částicemi, které nemají velikost a vzájemně neinteragují. Zcela přesně uvedené podmínky samozřejmě nesplňuje ani jeden plynový systém. Mnoho skutečných tekutých látek se však těmto podmínkám přibližuje s dostatečnou přesností, aby vyřešily mnoho praktických problémů.
Pokud je v plynovém systému vzdálenost mezi částicemi mnohem větší než jejich velikost a potenciální energie interakce je mnohem menší než kinetická energie translačních a oscilačních pohybů, pak je takový plyn právem považován za ideální. Jde například o vzduch, metan, vzácné plyny při nízkých tlacích a vysokých teplotách. Na druhou stranu vodapára, ani při nízkých tlacích, nesplňuje představu ideálního plynu, protože chování jejích molekul je značně ovlivněno vodíkovými mezimolekulárními interakcemi.
Stavová rovnice ideálního plynu (vzorec)
Lidstvo studuje chování plynů pomocí vědeckého přístupu již několik století. Prvním průlomem v této oblasti byl Boyle-Mariottův zákon, získaný experimentálně na konci 17. století. O století později byly objeveny další dva zákony: Charles a Gay Lussac. Nakonec na začátku 19. století Amedeo Avogadro, který studoval různé čisté plyny, zformuloval princip, který nyní nese jeho příjmení.
Všechny výše uvedené úspěchy vědců vedly Emila Clapeyrona v roce 1834 k sepsání stavové rovnice pro ideální plyn. Zde je rovnice:
P × V=n × R × T.
Důležitost zaznamenané rovnosti je následující:
- to platí pro všechny ideální plyny bez ohledu na jejich chemické složení.
- propojuje tři hlavní termodynamické charakteristiky: teplotu T, objem V a tlak P.
Všechny výše uvedené zákony o plynu lze snadno získat ze stavové rovnice. Například Charlesův zákon automaticky vyplývá z Clapeyronova zákona, pokud nastavíme hodnotu P konstanty (izobarický proces).
Univerzální zákon také umožňuje získat vzorec pro jakýkoli termodynamický parametr systému. Například vzorec pro objem ideálního plynu je:
V=n × R × T / P.
Molekulární kinetická teorie (MKT)
Ačkoli byl zákon o univerzálním plynu získán čistě experimentálně, v současnosti existuje několik teoretických přístupů vedoucích ke Clapeyronově rovnici. Jedním z nich je použití postulátů MKT. V souladu s nimi se každá částice plynu pohybuje po přímé dráze, dokud nenarazí na stěnu nádoby. Po dokonale pružné srážce s ním se pohybuje po jiné přímé trajektorii a zachovává si kinetickou energii, kterou měl před srážkou.
Všechny částice plynu mají rychlost podle statistik Maxwell-Boltzmann. Důležitou mikroskopickou charakteristikou systému je průměrná rychlost, která zůstává konstantní v čase. Díky této skutečnosti je možné vypočítat teplotu systému. Odpovídající vzorec pro ideální plyn je:
m × v2 / 2=3 / 2 × kB × T.
Kde m je hmotnost částice, kB je Boltzmannova konstanta.
Z MKT pro ideální plyn vyplývá vzorec pro absolutní tlak. Vypadá to takto:
P=N × m × v2 / (3 × V).
Kde N je počet částic v systému. Vzhledem k předchozímu výrazu není obtížné převést vzorec pro absolutní tlak do univerzální Clapeyronovy rovnice.
Vnitřní energie systému
Podle definice má ideální plyn pouze kinetickou energii. Je to také jeho vnitřní energie U. Pro ideální plyn lze energetický vzorec U získat násobenímobě strany rovnice pro kinetickou energii jedné částice na jejich počet N v systému, tj.:
N × m × v2 / 2=3 / 2 × kB × T × N.
Pak dostaneme:
U=3 / 2 × kB × T × N=3 / 2 × n × R × T.
Dostali jsme logický závěr: vnitřní energie je přímo úměrná absolutní teplotě v systému. Výsledný výraz pro U je ve skutečnosti platný pouze pro monatomický plyn, protože jeho atomy mají pouze tři translační stupně volnosti (trojrozměrný prostor). Pokud je plyn dvouatomový, pak vzorec pro U bude mít tvar:
U2=5 / 2 × n × R × T.
Pokud se systém skládá z polyatomických molekul, platí následující výraz:
Un>2=3 × n × R × T.
Poslední dva vzorce také berou v úvahu rotační stupně volnosti.
Příklad problému
Dva moly helia jsou v 5litrové nádobě při teplotě 20 oC. Je nutné určit tlak a vnitřní energii plynu.
Nejprve převedeme všechny známé veličiny na SI:
n=2 mol;
V=0,005 m3;
T=293,15 K.
Tlak helia se vypočítá pomocí vzorce z Clapeyronova zákona:
P=n × R × T/V=2 × 8,314 × 293,15 / 0,005=974 899,64 Pa.
Vypočítaný tlak je 9,6 atmosféry. Vzhledem k tomu, že helium je ušlechtilý a monatomický plyn, při tomto tlaku může býtpovažováno za ideální.
Pro monoatomický ideální plyn je vzorec pro U:
U=3 / 2 × n × R × T.
Dosazením hodnot teploty a množství látky do ní dostaneme energii helia: U=7311,7 J.
