Důležitým geometrickým objektem, který je studován v plochém prostoru, je přímka. V trojrozměrném prostoru existuje kromě přímky také rovina. Oba objekty jsou pohodlně definovány pomocí směrových vektorů. Co to je, jak se tyto vektory používají k určení rovnic přímky a roviny? Tyto a další otázky jsou popsány v článku.
Přímá linka a jak ji definovat
Každý student má dobrou představu o tom, o jakém geometrickém objektu mluví. Přímka je z hlediska matematiky množina bodů, které v případě jejich libovolného párového spojení vedou k množině rovnoběžných vektorů. Tato definice čáry se používá k napsání rovnice pro ni ve dvou i třech rozměrech.
K popisu uvažovaného jednorozměrného objektu se používají různé typy rovnic, které jsou uvedeny v seznamu níže:
- celkový pohled;
- parametric;
- vector;
- kanonický nebo symetrický;
- v segmentech.
Každý z těchto druhů má oproti ostatním nějaké výhody. Například rovnici v segmentech je vhodné použít při studiu chování přímky vzhledem k souřadnicovým osám, obecná rovnice je vhodná při hledání směru kolmého k dané přímce a také při výpočtu úhlu jejího průsečík s osou x (pro plochý případ).
Vzhledem k tomu, že téma tohoto článku souvisí se směrovacím vektorem přímky, budeme dále uvažovat pouze rovnici, kde je tento vektor základní a je explicitně obsažen, tedy vektorový výraz.
Určení přímky pomocí vektoru
Předpokládejme, že máme nějaký vektor v¯ se známými souřadnicemi (a; b; c). Protože existují tři souřadnice, vektor je dán v prostoru. Jak to znázornit v pravoúhlém souřadnicovém systému? To se provádí velmi jednoduše: na každé ze tří os je vykreslen segment, jehož délka je rovna odpovídající souřadnici vektoru. Průsečík tří kolmiček obnovených do rovin xy, yz a xz bude koncem vektoru. Jeho začátek je bod (0; 0; 0).
Nicméně daná poloha vektoru není jediná. Podobně lze nakreslit v¯ umístěním jeho počátku do libovolného bodu v prostoru. Tyto argumenty říkají, že je nemožné nastavit konkrétní čáru pomocí vektoru. Definuje rodinu nekonečného počtu rovnoběžných čar.
Teďopravit nějaký bod P(x0; y0; z0) prostoru. A nastavíme podmínku: P musí procházet přímka. V tomto případě musí vektor v¯ obsahovat také tento bod. Poslední skutečnost znamená, že pomocí P a v¯ lze definovat jednu jedinou linii. Bude to zapsáno jako následující rovnice:
Q=P + λ × v¯
Zde Q je libovolný bod patřící k přímce. Tento bod lze získat volbou příslušného parametru λ. Zapsaná rovnice se nazývá vektorová rovnice a v¯ se nazývá směrový vektor přímky. Uspořádáním tak, aby procházel P a změnou jeho délky parametrem λ, dostaneme každý bod Q jako přímku.
V souřadnicovém tvaru bude rovnice zapsána následovně:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
A v explicitní (parametrické) formě můžete napsat:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Pokud ve výše uvedených výrazech vyloučíme třetí souřadnici, dostaneme vektorové rovnice přímky v rovině.
Pro jaké úkoly je užitečné znát směrový vektor?
Zpravidla se jedná o úlohy k určení rovnoběžnosti a kolmosti přímek. Také přímý vektor, který určuje směr, se používá při výpočtu vzdálenosti mezi přímkami a bodem a přímkou, k popisu chování přímky vzhledem k rovině.
Dvačáry budou rovnoběžné, pokud jsou jejich směrové vektory. V souladu s tím je kolmost přímek dokázána pomocí kolmosti jejich vektorů. V těchto typech úloh stačí vypočítat skalární součin uvažovaných vektorů, abychom dostali odpověď.
V případě úloh pro výpočet vzdáleností mezi čarami a body je směrový vektor výslovně zahrnut do odpovídajícího vzorce. Pojďme si to zapsat:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Zde P1P2¯ - postaveno na bodech P1 a P 2 směrovaný segment. Bod P2 je libovolný, leží na přímce s vektorem v¯, zatímco bod P1 je ten, ke kterému má vzdálenost být odhodlaný. Může být buď nezávislý, nebo může patřit k jiné linii nebo rovině.
Všimněte si, že má smysl počítat vzdálenost mezi čarami pouze v případě, že jsou rovnoběžné nebo se protínají. Pokud se protnou, pak d je nula.
Výše uvedený vzorec pro d platí také pro výpočet vzdálenosti mezi rovinou a přímkou s ní rovnoběžnou, pouze v tomto případě by P1 mělo patřit k rovině.
Pojďme vyřešit několik problémů, abychom lépe ukázali, jak používat uvažovaný vektor.
Problém s vektorovou rovnicí
Je známo, že přímka je popsána následující rovnicí:
y=3 × x – 4
Měli byste napsat příslušný výrazvektorová forma.
Toto je typická rovnice přímky, kterou zná každý školák, psaná v obecném tvaru. Pojďme si ukázat, jak to přepsat do vektorového tvaru.
Výraz může být reprezentován jako:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Je vidět, že pokud jej otevřete, získáte původní rovnost. Nyní rozdělíme jeho pravou stranu na dva vektory tak, aby pouze jeden z nich obsahoval x, máme:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Zbývá vyjmout x ze závorek, označit jej řeckým symbolem a vyměnit vektory na pravé straně:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Dostali jsme vektorovou formu původního výrazu. Směrové vektorové souřadnice přímky jsou (1; 3).
Úkol určit vzájemnou polohu čar
Dva řádky jsou uvedeny v prostoru:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Jsou rovnoběžné, křížící se nebo protínající?
Nenulové vektory (-1; 3; 1) a (1; 2; 0) budou vodítkem pro tyto čáry. Vyjádřeme tyto rovnice v parametrickém tvaru a dosadíme souřadnice první do druhé. Dostáváme:
x=1 – λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Dosaďte nalezený parametr λ do dvou výše uvedených rovnic, dostaneme:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ – 1=5
Parametr γ nemůže nabývat dvou různých hodnot současně. To znamená, že přímky nemají jediný společný bod, to znamená, že se protínají. Nejsou rovnoběžné, protože nenulové vektory nejsou navzájem rovnoběžné (pro jejich rovnoběžnost musí existovat číslo, které by po vynásobení jedním vektorem vedlo k souřadnicím druhého).
Matematický popis letadla
Pro nastavení roviny v prostoru dáme obecnou rovnici:
A × x + B × y + C × z + D=0
Tady velká písmena latinky představují konkrétní čísla. První tři z nich definují souřadnice normálového vektoru roviny. Pokud je označeno n¯, pak:
n¯=(A; B; C)
Tento vektor je kolmý k rovině, proto se nazývá průvodce. Jeho znalost, stejně jako známé souřadnice jakéhokoli bodu patřícího do roviny, jednoznačně určují ten druhý.
Pokud bod P(x1; y1; z1) patří do rovinou, pak se průsečík D vypočítá takto:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Pojďme vyřešit několik problémů pomocí obecné rovnice pro rovinu.
Úkol pronalezení normálního vektoru roviny
Rovina je definována takto:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Jak pro ni najít směrový vektor?
Z výše uvedené teorie vyplývá, že souřadnice normálového vektoru n¯ jsou koeficienty před proměnnými. V tomto ohledu, abychom našli n¯, rovnice by měla být napsána v obecném tvaru. Máme:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Pak normální vektor roviny je:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problém sestavení rovnice roviny
Souřadnice tří bodů jsou uvedeny:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Jak bude vypadat rovnice roviny obsahující všechny tyto body.
Skrze tři body, které nepatří do stejné čáry, lze nakreslit pouze jednu rovinu. Abychom našli její rovnici, nejprve vypočítáme směrový vektor roviny n¯. K tomu postupujeme následovně: najdeme libovolné dva vektory patřící do roviny a vypočítáme jejich vektorový součin. Získá vektor, který bude kolmý k této rovině, tedy n¯. Máme:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Nakreslete bod M1rovinné výrazy. Dostáváme:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x – 3 × y – 3 × z – 12=0=>
4 × x – y – z – 4=0
Získali jsme obecný typový výraz pro rovinu v prostoru tím, že jsme pro ni nejprve definovali směrový vektor.
Při řešení problémů s rovinami byste měli mít na paměti vlastnost cross product, protože vám umožňuje jednoduchým způsobem určit souřadnice normálního vektoru.
