Jednou z charakteristických vlastností každé vlny je její schopnost difrakce na překážkách, jejichž velikost je srovnatelná s vlnovou délkou této vlny. Této vlastnosti se využívá u tzv. difrakčních mřížek. Co to jsou a jak je lze použít k analýze emisních a absorpčních spekter různých materiálů, je diskutováno v článku.
Difrakční fenomén
Tento jev spočívá ve změně trajektorie přímočarého šíření vlny, když se na její dráze objeví překážka. Na rozdíl od lomu a odrazu je difrakce patrná pouze na velmi malých překážkách, jejichž geometrické rozměry jsou řádově vlnové délky. Existují dva typy difrakce:
- ohýbání vlny kolem objektu, když je vlnová délka mnohem větší než velikost tohoto objektu;
- rozptyl vlny při průchodu otvory různých geometrických tvarů, kdy jsou rozměry otvorů menší než vlnová délka.
Jev difrakce je charakteristický pro zvukové, mořské a elektromagnetické vlny. Dále v článku budeme uvažovat o difrakční mřížce pouze pro světlo.
Jev rušení
Difrakční obrazce objevující se na různých překážkách (kulaté otvory, štěrbiny a mřížky) jsou výsledkem nejen difrakce, ale také interference. Podstatou toho druhého je superpozice vln na sebe, které jsou vyzařovány různými zdroji. Pokud tyto zdroje vyzařují vlny při zachování fázového rozdílu mezi nimi (vlastnost koherence), pak lze v čase pozorovat stabilní interferenční obrazec.
Pozice maxim (světlé oblasti) a minima (tmavé zóny) je vysvětlena následovně: pokud dvě vlny dorazí do daného bodu v protifázi (jedna s maximem a druhá s minimální absolutní amplitudou), pak se navzájem "zničí" a na místě je dodrženo minimum. Naopak, pokud dvě vlny přijdou ve stejné fázi do bodu, pak se navzájem posílí (maximálně).
Oba jevy poprvé popsal Angličan Thomas Young v roce 1801, když studoval difrakci dvěma štěrbinami. Ital Grimaldi však tento jev poprvé pozoroval v roce 1648, kdy studoval difrakční obrazec daný slunečním světlem procházejícím malým otvorem. Grimaldi nebyl schopen vysvětlit výsledky svých experimentů.
Matematická metoda používaná ke studiu difrakce
Tato metoda se nazývá Huygens-Fresnelův princip. Spočívá v tvrzení, že v procesušíření vlnoplochy, každý její bod je zdrojem sekundárních vln, jejichž interference určuje výslednou oscilaci v libovolném uvažovaném bodě.
Popsaný princip vyvinul Augustin Fresnel v první polovině 19. století. Fresnel přitom vycházel z myšlenek vlnové teorie Christiana Huygense.
Ačkoli Huygens-Fresnelův princip není teoreticky přesný, byl úspěšně použit k matematickému popisu experimentů s difrakcí a interferencí.
Dfrakce v blízkém a vzdáleném poli
Dfrakce je poměrně složitý jev, jehož přesné matematické řešení vyžaduje zvážení Maxwellovy teorie elektromagnetismu. Proto jsou v praxi uvažovány pouze speciální případy tohoto jevu, a to pomocí různých aproximací. Pokud je vlnoplocha dopadající na překážku plochá, pak se rozlišují dva typy difrakce:
- v blízkém poli neboli Fresnelova difrakce;
- ve vzdáleném poli neboli Fraunhoferova difrakce.
Slova "daleké a blízké pole" znamenají vzdálenost k obrazovce, na které je pozorován difrakční obrazec.
Přechod mezi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakcí lze odhadnout výpočtem Fresnelova čísla pro konkrétní případ. Toto číslo je definováno následovně:
F=a2/(Dλ).
Zde λ je vlnová délka světla, D je vzdálenost k obrazovce, a je velikost objektu, na kterém dochází k difrakci.
Pokud F<1, zvažtejiž aproximace blízkého pole.
V aproximaci vzdáleného pole je zvažováno mnoho praktických případů, včetně použití difrakční mřížky.
Koncept mřížky, na které se vlny ohýbají
Tato mřížka je malý plochý předmět, na kterém je nějakým způsobem aplikována periodická struktura, jako jsou pruhy nebo drážky. Důležitým parametrem takového roštu je počet proužků na jednotku délky (obvykle 1 mm). Tento parametr se nazývá mřížková konstanta. Dále jej označíme symbolem N. Převrácená hodnota N určuje vzdálenost mezi sousedními pásy. Označme to písmenem d, pak:
d=1/N.
Když na takovou mříž dopadá rovinná vlna, dochází u ní k periodickým poruchám. Ty jsou zobrazeny na obrazovce ve formě určitého obrázku, který je výsledkem interference vln.
Typy mřížek
Existují dva typy difrakčních mřížek:
- procházející nebo průhledné;
- reflexní.
První jsou vyrobeny aplikací neprůhledných tahů na sklo. Právě s takovými deskami pracují v laboratořích, používají se ve spektroskopech.
Druhý typ, tedy reflexní mřížky, se vyrábí nanášením periodických drážek na leštěný materiál. Nápadným každodenním příkladem takové mřížky je plastový disk CD nebo DVD.
Mřížková rovnice
S ohledem na Fraunhoferovu difrakci na mřížce lze pro intenzitu světla v difrakčním obrazci napsat následující výraz:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, kde
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parametr a je šířka jednoho slotu a parametr d je vzdálenost mezi nimi. Důležitou charakteristikou ve výrazu pro I(θ) je úhel θ. Toto je úhel mezi středem kolmice k rovině mřížky a určitým bodem v difrakčním obrazci. V experimentech se měří pomocí goniometru.
V uvedeném vzorci výraz v závorkách určuje difrakci z jedné štěrbiny a výraz v hranatých závorkách je výsledkem interference vln. Analyzujeme-li podmínky interferenčních maxim, můžeme dospět k následujícímu vzorci:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Úhel θ0 charakterizuje vlnu dopadající na mřížku. Pokud je čelo vlny rovnoběžné s ní, pak θ0=0 a poslední výraz bude:
sin(θm)=mλ/d.
Tento vzorec se nazývá rovnice difrakční mřížky. Hodnota m nabývá jakýchkoli celých čísel, včetně záporných jedniček a nuly, nazývá se to řád difrakce.
Analýza mřížkové rovnice
V předchozím odstavci jsme zjistiliže poloha hlavních maxim je popsána rovnicí:
sin(θm)=mλ/d.
Jak to lze uvést do praxe? Používá se především tehdy, když se světlo dopadající na difrakční mřížku s periodou d rozkládá na jednotlivé barvy. Čím delší je vlnová délka λ, tím větší bude úhlová vzdálenost k maximu, které jí odpovídá. Měření odpovídajícího θm pro každou vlnu umožňuje vypočítat její délku, a tedy určit celé spektrum vyzařujícího objektu. Porovnáním tohoto spektra s daty ze známé databáze můžeme říci, které chemické prvky je emitovaly.
Výše uvedený proces se používá ve spektrometrech.
Rozlišení mřížky
Rozumí se jím takový rozdíl mezi dvěma vlnovými délkami, které se objevují v difrakčním obrazci jako samostatné čáry. Faktem je, že každá čára má určitou tloušťku, když se dvě vlny s blízkými hodnotami λ a λ + Δλ difraktují, pak se jim odpovídající čáry na obrázku mohou sloučit do jedné. V druhém případě se říká, že rozlišení mřížky je menší než Δλ.
Pomineme-li argumenty týkající se odvození vzorce pro rozlišení mřížky, uvádíme jeho konečnou podobu:
Δλ>λ/(mN).
Tento malý vzorec nám umožňuje dospět k závěru: pomocí mřížky můžete oddělit bližší vlnové délky (Δλ), čím delší je vlnová délka světla λ, tím větší je počet tahů na jednotku délky(mřížková konstanta N), a tím vyšší je řád difrakce. Zastavme se u toho posledního.
Pokud se podíváte na difrakční obrazec, pak s rostoucím m skutečně narůstá vzdálenost mezi sousedními vlnovými délkami. Pro použití vysokých řádů difrakce je však nutné, aby intenzita světla na nich byla dostatečná pro měření. Na konvenční difrakční mřížce s rostoucím m rychle klesá. Proto se pro tyto účely používají speciální mřížky, které jsou vyrobeny tak, aby přerozdělovaly intenzitu světla ve prospěch velkých m. Zpravidla se jedná o reflexní mřížky, na kterých je difrakční obrazec získán pro velké θ0.
Dále zvažte použití mřížkové rovnice k vyřešení několika problémů.
Úkoly k určení difrakčních úhlů, řádu difrakce a mřížkové konstanty
Uveďme příklady řešení několika problémů:
K určení periody difrakční mřížky se provede následující experiment: vezme se monochromatický zdroj světla, jehož vlnová délka je známá hodnota. Pomocí čoček se vytváří paralelní vlnoplocha, to znamená, že se vytvářejí podmínky pro Fraunhoferovu difrakci. Pak je toto čelo nasměrováno k difrakční mřížce, jejíž perioda není známa. Na výsledném obrázku jsou pomocí goniometru měřeny úhly pro různé řády. Potom vzorec vypočítá hodnotu neznámé periody. Proveďme tento výpočet na konkrétním příkladu
Vlnová délka světla nechť je 500 nm a úhel prvního řádu difrakce je 21o. Na základě těchto údajů je nutné určit periodu difrakční mřížky d.
Pomocí mřížkové rovnice vyjádřete d a vložte data:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Pak mřížková konstanta N je:
N=1/d ≈ 714 řádků na 1 mm.
Světlo normálně dopadá na difrakční mřížku s periodou 5 mikronů. S vědomím, že vlnová délka λ=600 nm, je nutné najít úhly, ve kterých se objeví maxima prvního a druhého řádu
Za první maximum dostáváme:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Druhé maximum se objeví pro úhel θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monochromatické světlo dopadá na difrakční mřížku s periodou 2 mikrony. Jeho vlnová délka je 550 nm. Je nutné zjistit, kolik řádů difrakce se objeví ve výsledném obrázku na obrazovce
Tento typ úlohy se řeší následovně: nejprve byste měli určit závislost úhlu θm na pořadí difrakce pro podmínky problému. Poté bude nutné vzít v úvahu, že funkce sinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna. Poslední skutečnost nám umožní odpovědět na tento problém. Proveďme popsané akce:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Tato rovnost ukazuje, že když m=4, výraz na pravé straně se rovná 1,1 a při m=3 se bude rovnat 0,825. To znamená, že při použití difrakční mřížky s periodou 2 μm při vlnové délce 550 nm můžete získat maximální 3. řád difrakce.
Problém výpočtu rozlišení mřížky
Předpokládejme, že pro experiment použijí difrakční mřížku s periodou 10 mikronů. Je nutné vypočítat, o jakou minimální vlnovou délku se mohou vlny v blízkosti λ=580 nm lišit, aby se na obrazovce objevily jako samostatná maxima.
Odpověď na tento problém souvisí se stanovením rozlišení uvažované mřížky pro danou vlnovou délku. Takže dvě vlny se mohou lišit o Δλ>λ/(mN). Protože mřížková konstanta je nepřímo úměrná periodě d, lze tento výraz zapsat následovně:
Δλ>λd/m.
Nyní pro vlnovou délku λ=580 nm napíšeme mřížkovou rovnici:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Kde dostaneme, že maximální řád m bude 17. Dosazením tohoto čísla do vzorce pro Δλ máme:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 nebo 0,00034 nm.
Dostali jsme velmi vysoké rozlišení, když je perioda difrakční mřížky 10 mikronů. V praxi se toho zpravidla nedosahuje kvůli nízkým intenzitám maxim vysokých řádů difrakce.
