Polynom neboli polynom - jedna ze základních algebraických struktur, která se vyskytuje ve školní a vyšší matematice. Studium polynomu je nejdůležitějším tématem v kurzu algebry, protože na jedné straně jsou polynomy ve srovnání s jinými typy funkcí poměrně jednoduché a na druhé straně jsou široce používány při řešení problémů matematické analýzy.. Co je tedy polynom?
Definice
Definice termínu polynom může být dána konceptem monomiálu nebo monomiálu.
Jednočlen je vyjádřením tvaru cx1i1x2 i2 …x in. Zde с je konstanta, x1, x2, … x - proměnné, i1, i2, … v - exponenty proměnných. Pak je polynom libovolný konečný součet monočlenů.
Abyste pochopili, co je polynom, můžete se podívat na konkrétní příklady.
Čtvercový trinom, podrobně probíraný v kurzu matematiky v 8. třídě, je polynom: ax2+bx+c.
Polynom se dvěma proměnnými může vypadat takto: x2-xy+y2. Takovýpolynom se také nazývá neúplná druhá mocnina rozdílu mezi x a y.
Klasifikace polynomů
Polynomický stupeň
Pro každý monočlen v polynomu najděte součet exponentů i1+i2+…+in. Největší ze součtů se nazývá exponent polynomu a monočlen odpovídající tomuto součtu se nazývá nejvyšší člen.
Mimochodem, kteroukoli konstantu lze považovat za polynom nulového stupně.
Redukované a neredukované polynomy
Pokud je koeficient c roven 1 pro nejvyšší člen, pak je dán polynom, jinak není.
Například výraz x2+2x+1 je redukovaný polynom a 2x2+2x+1 není redukovaný.
Homogenní a nehomogenní polynomy
Pokud jsou stupně všech členů polynomu stejné, pak říkáme, že takový polynom je homogenní. Všechny ostatní polynomy jsou považovány za nehomogenní.
Homogenní polynomy: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogenní: x+1, x2+y.
Pro polynom sestávající ze dvou a tří členů existují speciální názvy: binomický a trinomický.
Polynomy jedné proměnné jsou přiřazeny do samostatné kategorie.
Aplikace polynomu jedné proměnné
Polynomy jedné proměnné aproximují dobře spojité funkce různé složitosti z jednoho argumentu.
Faktem je, že takové polynomy lze považovat za částečné součty mocninné řady a spojitou funkci lze reprezentovat jako řadu s libovolně malou chybou. Řady rozšíření funkce se nazývají Taylorovy řady a jejichčástečné součty ve formě polynomů - Taylorovy polynomy.
Grafické studium chování funkce pomocí aproximace pomocí nějakého polynomu je často snazší než zkoumání stejné funkce přímo nebo pomocí řady.
Je snadné hledat derivace polynomů. K nalezení kořenů polynomů stupně 4 a nižšího existují hotové vzorce a pro práci s vyššími stupni se používají vysoce přesné přibližné algoritmy.
Je zde také zobecnění popsaných polynomů pro funkce několika proměnných.
Newtonův binomický znak
Slavné polynomy jsou Newtonovy polynomy odvozené vědci, aby našli koeficienty výrazu (x + y).
Stačí se podívat na několik prvních mocnin binomického rozkladu, abyste se ujistili, že vzorec není triviální:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Pro každý koeficient existuje výraz, který vám umožní jej vypočítat. Učit se nazpaměť těžkopádné vzorce a pokaždé provádět nezbytné aritmetické operace by však bylo extrémně nepohodlné pro ty matematiky, kteří taková rozšíření často potřebují. Pascalův trojúhelník jim hodně usnadnil život.
Postava je postavena podle následujícího principu. 1 je napsáno v horní části trojúhelníku a v každém dalším řádku se stane další číslicí, 1 je umístěna na okrajích a střed řádku je vyplněn součty dvou sousedních čísel z předchozího.
Když se podíváte na obrázek, vše bude jasné.
Použití polynomů v matematice se samozřejmě neomezuje pouze na uvedené příklady, ty nejznámější.
