Fourierova transformace je transformace, která porovnává funkce nějaké reálné proměnné. Tato operace se provádí pokaždé, když vnímáme různé zvuky. Ucho provádí automatický „výpočet“, který je naše vědomí schopno provést až po prostudování odpovídajícího oddílu vyšší matematiky. V lidském sluchovém orgánu dochází k transformaci, jejímž výsledkem je zvuk (oscilační pohyb podmíněných částic v elastickém prostředí, které se vlnově šíří v pevném, kapalném nebo plynném prostředí) ve formě spektra po sobě jdoucích hodnot. úrovně hlasitosti tónů různých výšek. Poté mozek přemění tyto informace na zvuk, který je všem známý.
Matematická Fourierova transformace
Transformace zvukových vln nebo jiné oscilační procesy (od světelného záření a oceánského přílivu po cykly hvězdné nebo sluneční aktivity) lze také provádět pomocí matematických metod. Takže pomocí těchto technik je možné rozložit funkce reprezentací oscilačních procesů jako souboru sinusových složek, tedy vlnitých křivek, kteréjít z nízkého do vysokého, pak zpět do nízkého, jako mořská vlna. Fourierova transformace - transformace, jejíž funkce popisuje fázi nebo amplitudu každé sinusoidy odpovídající určité frekvenci. Fáze je počátečním bodem křivky a amplituda je její výška.
Furierova transformace (příklady jsou na fotografii) je velmi mocný nástroj, který se používá v různých oblastech vědy. V některých případech se používá jako prostředek k řešení poměrně složitých rovnic, které popisují dynamické procesy, ke kterým dochází pod vlivem světelné, tepelné nebo elektrické energie. V ostatních případech umožňuje určit pravidelné složky ve složitých oscilačních signálech, díky čemuž můžete správně interpretovat různá experimentální pozorování v chemii, medicíně a astronomii.
Historické pozadí
Prvním člověkem, který použil tuto metodu, byl francouzský matematik Jean Baptiste Fourier. Transformace, později po něm pojmenovaná, se původně používala k popisu mechanismu vedení tepla. Fourier strávil celý svůj dospělý život studiem vlastností tepla. Udělal obrovský příspěvek k matematické teorii určování kořenů algebraických rovnic. Fourier byl profesorem analýzy na Polytechnické škole, sekretářem egyptologického ústavu, byl v císařských službách, kde se vyznamenal při stavbě silnice do Turína (pod jeho vedením více než 80 tisíc čtverečních kilometrů malarickéhobažiny). Všechna tato energická aktivita však nezabránila vědci v provádění matematické analýzy. V roce 1802 odvodil rovnici, která popisuje šíření tepla v pevných látkách. V roce 1807 vědec objevil metodu řešení této rovnice, která se nazývala „Fourierova transformace“.
Analýza tepelné vodivosti
Vědec použil matematickou metodu k popisu mechanismu vedení tepla. Vhodným příkladem, ve kterém nejsou žádné potíže při výpočtu, je šíření tepelné energie železným prstencem ponořeným v jedné části do ohně. K provedení experimentů Fourier zahřál část tohoto prstence do ruda a zahrabal jej do jemného písku. Poté provedl měření teploty na jeho opačné straně. Zpočátku je distribuce tepla nepravidelná: část prstence je studená a druhá horká, mezi těmito zónami lze pozorovat ostrý teplotní gradient. V procesu šíření tepla po celém povrchu kovu se však stává rovnoměrnější. Takže tento proces brzy získá podobu sinusoidy. Graf zprvu plynule narůstá a také plynule klesá, přesně podle zákonů změny funkce kosinus nebo sinus. Vlna se postupně vyrovnává a v důsledku toho se teplota stává stejnou na celém povrchu prstence.
Autor této metody navrhl, že počáteční nepravidelnou distribuci lze rozložit na řadu elementárních sinusoid. Každý z nich bude mít svou vlastní fázi (počáteční polohu) a vlastní teplotumaximum. Kromě toho se každá taková složka změní z minima na maximum a zpět při úplném otočení kolem prstence několikrát celé číslo. Složka s jednou periodou se nazývala základní harmonická a hodnota se dvěma nebo více periodami se nazývala druhá a tak dále. Takže matematická funkce, která popisuje teplotní maximum, fázi nebo polohu, se nazývá Fourierova transformace distribuční funkce. Vědec zredukoval jedinou komponentu, kterou je obtížné matematicky popsat, na snadno použitelný nástroj – kosinusovou a sinusovou řadu, jejichž součet dává původní rozdělení.
Podstata analýzy
Použitím této analýzy na transformaci šíření tepla pevným objektem, který má prstencový tvar, matematik usoudil, že zvýšení period sinusové složky by vedlo k jejímu rychlému rozpadu. To je jasně vidět na základní a druhé harmonické. V druhém případě teplota dosáhne maximální a minimální hodnoty dvakrát v jednom průchodu a v prvním případě pouze jednou. Ukazuje se, že vzdálenost pokrytá teplem ve druhé harmonické bude poloviční než v základní. Kromě toho bude sklon ve druhém také dvakrát strmější než v prvním. Proto, protože intenzivnější tepelný tok urazí vzdálenost dvakrát kratší, bude tato harmonická slábnout čtyřikrát rychleji než základní v závislosti na čase. V budoucnu bude tento proces ještě rychlejší. Matematik věřil, že tato metoda umožňuje vypočítat proces počátečního rozložení teploty v čase.
Výzva pro současníky
Algoritmus Fourierovy transformace zpochybnil tehdejší teoretické základy matematiky. Na počátku devatenáctého století většina předních vědců, včetně Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre a Biot, nepřijala jeho tvrzení, že počáteční rozložení teploty je rozloženo na složky ve formě základní harmonické a vyšších frekvencí. Akademie věd však nemohla výsledky získané matematikem ignorovat a udělila mu cenu za teorii zákonů vedení tepla a její srovnání s fyzikálními experimenty. Ve Fourierově přístupu byla hlavní námitka skutečnost, že nespojitá funkce je reprezentována součtem několika sinusových funkcí, které jsou spojité. Ostatně popisují roztrhané rovné a zakřivené čáry. Současníci vědce se nikdy nesetkali s podobnou situací, kdy byly nespojité funkce popsány kombinací spojitých, jako je kvadratická, lineární, sinusová nebo exponenciální. V případě, že měl matematik ve svých tvrzeních pravdu, pak by měl být součet nekonečné řady goniometrické funkce zredukován na přesnou krokovou. V té době se takové prohlášení zdálo absurdní. Navzdory pochybnostem však někteří badatelé (např. Claude Navier, Sophie Germain) rozsah výzkumu rozšířili a přenesli je za rámec analýzy rozložení tepelné energie. Mezitím se matematici nadále potýkali s otázkou, zda lze součet několika sinusových funkcí zredukovat na přesnou reprezentaci nespojité.
200 let staréhistorie
Tato teorie se vyvíjela dvě století, dnes se konečně zformovala. S jeho pomocí se prostorové nebo časové funkce dělí na sinusové složky, které mají vlastní frekvenci, fázi a amplitudu. Tato transformace je získána dvěma různými matematickými metodami. První z nich se používá, když je původní funkce spojitá, a druhá - když je reprezentována sadou diskrétních jednotlivých změn. Pokud je výraz získán z hodnot, které jsou definovány diskrétními intervaly, lze jej rozdělit na několik sinusových výrazů s diskrétními frekvencemi - od nejnižší a poté dvakrát, třikrát a tak dále vyšší než hlavní. Takový součet se nazývá Fourierova řada. Pokud je počátečnímu výrazu dána hodnota pro každé reálné číslo, lze jej rozložit na několik sinusových průběhů všech možných frekvencí. Běžně se nazývá Fourierův integrál a řešení implikuje integrální transformace funkce. Bez ohledu na to, jak se převod získá, musí být pro každou frekvenci specifikována dvě čísla: amplituda a frekvence. Tyto hodnoty jsou vyjádřeny jako jediné komplexní číslo. Teorie vyjádření komplexních proměnných spolu s Fourierovou transformací umožnila provádět výpočty při návrhu různých elektrických obvodů, analýzu mechanických vibrací, studium mechanismu šíření vln a další.
Fourier Transform Today
Dnes se studium tohoto procesu redukuje hlavně na hledání efektivníhometody přechodu z funkce do její transformované formy a naopak. Toto řešení se nazývá přímá a inverzní Fourierova transformace. Co to znamená? Aby bylo možné určit integrál a vytvořit přímou Fourierovu transformaci, lze použít matematické metody nebo analytické metody. Navzdory skutečnosti, že při jejich použití v praxi vznikají určité potíže, většina integrálů již byla nalezena a zahrnuta do matematických referenčních knih. Numerické metody lze použít k výpočtu výrazů, jejichž forma je založena na experimentálních datech, nebo funkcí, jejichž integrály nejsou k dispozici v tabulkách a je obtížné je prezentovat v analytické formě.
Před příchodem počítačů byly výpočty takových transformací velmi zdlouhavé, vyžadovaly ruční provádění velkého množství aritmetických operací, které závisely na počtu bodů popisujících vlnovou funkci. Pro usnadnění výpočtů dnes existují speciální programy, které umožňují implementovat nové analytické metody. Takže v roce 1965 James Cooley a John Tukey vytvořili software, který se stal známým jako „Fast Fourier Transform“. Umožňuje vám ušetřit čas na výpočty snížením počtu násobení při analýze křivky. Rychlá metoda Fourierovy transformace je založena na rozdělení křivky na velké množství jednotných hodnot vzorku. V souladu s tím se počet násobení sníží na polovinu se stejným poklesem počtu bodů.
Použití Fourierovy transformace
Totoproces se používá v různých oblastech vědy: v teorii čísel, fyzice, zpracování signálů, kombinatorice, teorii pravděpodobnosti, kryptografii, statistice, oceánologii, optice, akustice, geometrii a dalších. Bohaté možnosti jeho aplikace jsou založeny na řadě užitečných funkcí, které se nazývají „vlastnosti Fourierovy transformace“. Zvažte je.
1. Transformace funkce je lineární operátor a s vhodnou normalizací je unitární. Tato vlastnost je známá jako Parsevalův teorém nebo obecně Plancherelův teorém nebo Pontrjaginův dualismus.
2. Transformace je vratná. Navíc má opačný výsledek téměř stejnou podobu jako v přímém řešení.
3. Sinusové základní výrazy jsou vlastní diferencované funkce. To znamená, že taková reprezentace mění lineární rovnice s konstantním koeficientem na obyčejné algebraické.
4. Podle „konvoluční“věty tento proces změní složitou operaci v elementární násobení.
5. Diskrétní Fourierovu transformaci lze rychle vypočítat na počítači pomocí „rychlé“metody.
Odrůdy Fourierovy transformace
1. Nejčastěji se tento termín používá k označení spojité transformace, která poskytuje jakýkoli čtvercový integrovatelný výraz jako součet komplexních exponenciálních výrazů se specifickými úhlovými frekvencemi a amplitudami. Tento druh má několik různých forem, které mohouse liší konstantními koeficienty. Průběžná metoda zahrnuje převodní tabulku, kterou lze nalézt v matematických příručkách. Zobecněný případ je zlomková transformace, pomocí které lze daný proces pozvednout na požadovanou reálnou moc.
2. Spojitý mód je zobecněním rané techniky Fourierových řad definovaných pro různé periodické funkce nebo výrazy, které existují v omezené oblasti a reprezentují je jako série sinusoid.
3. Diskrétní Fourierova transformace. Tato metoda se používá ve výpočetní technice pro vědecké výpočty a pro digitální zpracování signálů. K provedení tohoto typu výpočtu je potřeba mít funkce, které definují jednotlivé body, periodické nebo ohraničené oblasti na diskrétní množině namísto spojitých Fourierových integrálů. Transformace signálu je v tomto případě reprezentována součtem sinusoid. Použití „rychlé“metody zároveň umožňuje aplikovat diskrétní řešení na jakékoli praktické problémy.
4. Okénková Fourierova transformace je zobecněnou formou klasické metody. Na rozdíl od standardního řešení, kdy se využívá spektrum signálu, které se bere v plném rozsahu existence dané proměnné, zde je zajímavé pouze lokální frekvenční rozdělení za předpokladu zachování původní proměnné (času)..
5. Dvourozměrná Fourierova transformace. Tato metoda se používá pro práci s dvojrozměrnými datovými poli. V tomto případě se transformace nejprve provede v jednom směru a poté vjiné.
Závěr
Dnes je Fourierova metoda pevně zakořeněna v různých oblastech vědy. Například v roce 1962 byl pomocí Fourierovy analýzy v kombinaci s rentgenovou difrakcí objeven tvar dvojité šroubovice DNA. Ty byly zaměřeny na krystaly vláken DNA, v důsledku toho byl obraz získaný difrakcí záření zaznamenán na film. Tento obrázek poskytl informaci o hodnotě amplitudy při použití Fourierovy transformace na danou krystalovou strukturu. Fázová data byla získána porovnáním difrakční mapy DNA s mapami získanými z analýzy podobných chemických struktur. V důsledku toho biologové obnovili krystalovou strukturu - původní funkci.
Fourierovy transformace hrají obrovskou roli ve studiu vesmíru, fyziky polovodičů a plazmatu, mikrovlnné akustice, oceánografii, radaru, seismologii a lékařských průzkumech.
