U slova „nekonečno“má každý člověk své vlastní asociace. Mnozí ve své fantazii kreslí moře, které jde za obzor, zatímco jiní mají před očima obraz nekonečné hvězdné oblohy. Matematici, zvyklí operovat s čísly, si nekonečno představují úplně jinak. Po mnoho staletí se pokoušeli najít největší fyzikální veličiny potřebné k měření. Jedním z nich je Grahamovo číslo. Kolik nul je v něm a k čemu se používá, to řekne tento článek.
Nekonečně velké číslo
V matematice je to název takové proměnné x , pokud pro libovolné kladné číslo M lze zadat přirozené číslo N takové, že pro všechna čísla je n větší než N nerovnost |x | > M. Žádné například celé číslo Z však nelze považovat za nekonečně velké, protože bude vždy menší než (Z + 1).
Pár slov o „obrech“
Za největší čísla, která mají fyzický význam, se považují:
- 1080. Toto číslo, které se běžně nazývá quinquavigintillion, se používá k označení přibližného počtu kvarků a leptonů (nejmenších částic) ve vesmíru.
- 1 Google. Takové číslo v desítkové soustavě se zapisuje jako jednotka se 100 nulami. Podle některých matematických modelů by od doby velkého třesku do výbuchu nejhmotnější černé díry mělo uplynout 1 až 1,5 googol roku, po kterém se náš vesmír přesune do poslední fáze své existence, tj. předpokládejme, že toto číslo má určitý fyzický význam.
- 8, 5 x 10185. Planckova konstanta je 1,616199 x 10-35 m, tj. v desítkovém zápisu to vypadá jako 0,0000000000000000000000000000616199 m. Existuje asi 1 googol Planck délky v palci. Odhaduje se, že asi 8,5 x 10185 Planckových délek se vejde do celého našeho vesmíru.
- 277 232 917 – 1. Toto je největší známé prvočíslo. Pokud má jeho binární zápis poměrně kompaktní formu, bude pro jeho zobrazení v desítkové podobě trvat nejméně 13 milionů znaků. Byl nalezen v roce 2017 jako součást projektu na hledání čísel Mersenne. Pokud budou nadšenci pokračovat v práci tímto směrem, pak na současné úrovni rozvoje výpočetní techniky v blízké budoucnosti pravděpodobně nebudou schopni najít Mersennovo číslo o řád větší než 277 232 917- 1, i když takovéšťastný výherce získá 150 000 USD.
- Hugoplex. Zde jen vezmeme 1 a za ní přidáme nuly ve výši 1 googol. Toto číslo můžete napsat jako 10^10^100. Nelze to znázornit v desítkové podobě, protože pokud je celý prostor Vesmíru vyplněn kousky papíru, na každém z nich by bylo napsáno 0 písmem „Word“velikosti 10, pak v tomto případě pouze polovina všechny 0 po 1 by byly získány pro googolplex číslo.
- 10^10^10^10^10^1.1. Toto je číslo udávající počet let, po kterých se podle Poincarého teorému náš vesmír v důsledku náhodných kvantových fluktuací vrátí do stavu blízkého dnešnímu.
Jak vznikla Grahamova čísla
V roce 1977 publikoval známý popularizátor vědy Martin Gardner článek v Scientific American o Grahamově důkazu jednoho z problémů Ramseovy teorie. V něm nazval limit stanovený vědcem největším číslem, které kdy bylo použito ve vážném matematickém uvažování.
Kdo je Ronald Lewis Graham
Tento vědec, kterému je nyní 80 let, se narodil v Kalifornii. V roce 1962 získal titul Ph. D v matematice na univerzitě v Berkeley. V Bell Labs pracoval 37 let a později přešel do AT&T Labs. Vědec aktivně spolupracoval s jedním z největších matematiků 20. století Palem Erdősem a je nositelem mnoha prestižních ocenění. Grahamova vědecká bibliografie obsahuje více než 320 vědeckých prací.
V polovině 70. let se vědec zajímal o problém spojený s teoriíRamsey. V jeho důkazu byla určena horní mez řešení, což je velmi velké číslo, následně pojmenované po Ronaldu Grahamovi.
Problém s hyperkostkou
Abyste pochopili podstatu Grahamova čísla, musíte nejprve pochopit, jak bylo získáno.
Vědec a jeho kolega Bruce Rothschild řešili následující problém:
Existuje n-rozměrná hyperkrychle. Všechny dvojice jeho vrcholů jsou spojeny tak, že je získán úplný graf s 2vrcholy. Každý z jeho okrajů je zbarven buď modře nebo červeně. Bylo požadováno najít minimální počet vrcholů, které by hyperkrychle měla mít, aby každé takové zbarvení obsahovalo kompletní monochromatický podgraf se 4 vrcholy ležícími ve stejné rovině.
Rozhodnutí
Graham a Rothschild dokázali, že problém má řešení N' splňující podmínku 6 ⩽ N' ⩽N kde N je dobře definované, velmi velké číslo.
Spodní mez pro N byla následně upřesněna jinými vědci, kteří dokázali, že N musí být větší nebo rovno 13. Tak se stal výraz pro nejmenší počet vrcholů hyperkrychle, který splňuje výše uvedené podmínky. 13 ⩽ N'⩽ N.
Zápis Knuthovy šipky
Před definováním Grahamova čísla byste se měli seznámit se způsobem jeho symbolické reprezentace, protože k tomu není absolutně vhodný ani desítkový, ani binární zápis.
V současné době se k vyjádření této veličiny používá Knuthova šipka. Podle ní:
ab=a „šipka nahoru“b.
Pro operaci vícenásobného umocňování byla zavedena položka:
a "šipka nahoru" "šipka nahoru" b=ab="věž skládající se z a v počtu b kusů."
A pro pentation, tedy symbolické označení opakovaného umocňování předchozího operátoru, Knuth už použil 3 šipky.
Pomocí tohoto zápisu pro Grahamovo číslo máme do sebe vnořené sekvence „šipek“v počtu 64 ks.
Měřítko
Jejich slavné číslo, které podněcuje představivost a rozšiřuje hranice lidského vědomí, překračuje hranice vesmíru, Graham a jeho kolegové získali jako horní hranici pro číslo N v důkazu hyperkrychle problém uvedený výše. Pro běžného člověka je nesmírně obtížné si představit, jak velký je jeho rozsah.
Otázka počtu znaků, nebo jak se někdy mylně říká, nul v Grahamově čísle, zajímá snad každého, kdo o této hodnotě slyší poprvé.
Stačí říci, že máme co do činění s rychle rostoucí sekvencí, která se skládá z 64 členů. Ani jeho první termín si nelze představit, protože se skládá z n "věží", skládajících se z 3 až. Již jeho „spodní patro“3 trojitých se rovná 7 625 597 484 987, tedy přesahuje 7 miliard, tedy o 64. patro (nečlen!). V současné době tedy není možné přesně říci, co je Grahamovo číslo, protože nestačí jej vypočítat.kombinovaný výkon všech počítačů, které dnes na Zemi existují.
Překonaný rekord?
V procesu dokazování Kruskalova teorému bylo Grahamovo číslo „shozeno ze svého podstavce“. Vědec navrhl následující problém:
Existuje nekonečná posloupnost konečných stromů. Kruskal dokázal, že vždy existuje výsek nějakého grafu, který je jak součástí většího grafu, tak jeho přesnou kopií. Toto tvrzení nevyvolává žádné pochybnosti, protože je zřejmé, že vždy bude existovat přesně opakující se kombinace v nekonečnu
Později Harvey Friedman tento problém poněkud zúžil tím, že zohlednil pouze takové acyklické grafy (stromy), že pro konkrétní s koeficientem i existuje nejvýše (i + k) vrcholů. Rozhodl se zjistit, jaký by měl být počet acyklických grafů, aby touto metodou jejich úlohy bylo vždy možné najít podstrom, který by byl vnořen do jiného stromu.
Výsledkem výzkumu na toto téma bylo zjištěno, že N v závislosti na k roste obrovskou rychlostí. Konkrétně, je-li k=1, pak N=3. Avšak při k=2 již N dosahuje 11. Nejzajímavější věc začíná, když k=3. V tomto případě N rychle "vzlétne" a dosáhne hodnoty, která je mnohonásobně větší než Grahamovo číslo. Pro představu, jak je velký, si stačí zapsat číslo vypočítané Ronaldem Grahamem ve tvaru G64 (3). Potom bude hodnota Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)) řádu G(G(187196)). Jinými slovy, získá se megahodnota, která je nekonečně většínepředstavitelně velké Grahamovo číslo. Přitom i to bude giganticky mnohokrát menší než nekonečno. Má smysl mluvit o tomto konceptu podrobněji.
Nekonečno
Nyní, když jsme vysvětlili, co je Grahamovo číslo na prstech, měli bychom pochopit význam, který byl a je vkládán do tohoto filozofického konceptu. Koneckonců, „nekonečno“a „nekonečně velké číslo“lze v určitém kontextu považovat za totožné.
Největší příspěvek ke studiu této problematiky měl Aristoteles. Velký myslitel starověku rozdělil nekonečno na potenciální a aktuální. Tím druhým myslel realitu existence nekonečných věcí.
Podle Aristotela zdroje myšlenek o tomto základním konceptu jsou:
- time;
- oddělení hodnot;
- koncept hranice a existence něčeho za ní;
- nevyčerpatelnost tvůrčí povahy;
- myšlení bez omezení.
V moderní interpretaci nekonečna nemůžete určit kvantitativní míru, takže hledání největšího čísla může pokračovat donekonečna.
Závěr
Mohou být metafora „Pohled do nekonečna“a Grahamovo číslo v nějakém smyslu považovány za synonyma? Spíše ano a ne. Obojí je nemožné si představit ani s nejsilnější fantazií. Jak však již bylo řečeno, nelze to považovat za „nejvíce, nejvíc“. Další věc je, že v tuto chvíli nejsou stanoveny hodnoty větší než Grahamovo číslofyzický smysl.
Také nemá vlastnosti nekonečného čísla, jako například:
- ∞ + 1=∞;
- existuje nekonečný počet sudých i lichých čísel;
- ∞ – 1=∞;
- počet lichých čísel je přesně polovina všech čísel;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Shrnutí: Grahamovo číslo je podle Guinessovy knihy rekordů největší číslo v praxi matematického dokazování. Existují však čísla, která jsou mnohonásobně větší než tato hodnota.
S největší pravděpodobností bude v budoucnu potřeba ještě větších „obrů“, zvláště pokud se člověk dostane za hranice naší sluneční soustavy nebo vymyslí něco nepředstavitelného na současné úrovni našeho vědomí.
