Když musíte ve fyzice řešit problémy s pohybem objektů, často se ukáže jako užitečné použít zákon zachování hybnosti. Jaká je hybnost pro lineární a kruhový pohyb tělesa a jaká je podstata zákona zachování této hodnoty, je diskutováno v článku.
Koncept lineární hybnosti
Historické údaje ukazují, že poprvé o této hodnotě uvažoval ve svých vědeckých pracích Galileo Galilei na počátku 17. století. Následně byl Isaac Newton schopen harmonicky integrovat koncept hybnosti (správnější název pro hybnost) do klasické teorie pohybu objektů v prostoru.
Označte hybnost jako p¯, vzorec pro její výpočet pak zapíšete jako:
p¯=mv¯.
Zde m je hmotnost, v¯ je rychlost (vektorová hodnota) pohybu. Tato rovnost ukazuje, že množství pohybu je charakteristikou rychlosti objektu, kde hmotnost hraje roli multiplikačního faktoru. Počet pohybůje vektorová veličina mířící stejným směrem jako rychlost.
Intuitivně, čím větší je rychlost pohybu a hmotnost těla, tím obtížnější je jej zastavit, to znamená, že má větší kinetickou energii.
Množství pohybu a jeho změna
Můžete odhadnout, že ke změně hodnoty p¯ těla musíte vyvinout určitou sílu. Necháme sílu F¯ působit v časovém intervalu Δt, pak nám Newtonův zákon umožňuje zapsat rovnost:
F¯Δt=ma¯Δt; proto F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Hodnota rovna součinu časového intervalu Δt a síly F¯ se nazývá impuls této síly. Protože se ukazuje, že se rovná změně hybnosti, tato změna se často nazývá jednoduše hybnost, což naznačuje, že ji vytvořila nějaká vnější síla F¯.
Důvodem změny hybnosti je tedy hybnost vnější síly. Hodnota Δp¯ může vést jak ke zvýšení hodnoty p¯, pokud je úhel mezi F¯ a p¯ ostrý, tak ke snížení modulu p¯, pokud je tento úhel tupý. Nejjednoduššími případy jsou zrychlení tělesa (úhel mezi F¯ a p¯ je nulový) a jeho zpomalení (úhel mezi vektory F¯ a p¯ je 180o).
Když je zachována hybnost: zákon
Pokud systém těla nenípůsobí vnější síly a všechny děje v něm jsou omezeny pouze mechanickou interakcí jeho složek, pak každá složka hybnosti zůstává libovolně dlouhou dobu nezměněna. Toto je zákon zachování hybnosti těles, který je matematicky zapsán následovně:
p¯=∑ipi¯=const or
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Dolní index i je celé číslo, které vyjmenovává objekt systému, a indexy x, y, z popisují složky hybnosti pro každou ze souřadnicových os v kartézském pravoúhlém systému.
V praxi je často nutné řešit jednorozměrné úlohy pro srážku těles, kdy jsou známy výchozí podmínky a je nutné zjistit stav systému po nárazu. V tomto případě je hybnost vždy zachována, což nelze říci o kinetické energii. Ten se před a po nárazu nezmění pouze v jediném případě: když dojde k absolutně elastické interakci. Pro tento případ srážky dvou těles pohybujících se rychlostmi v1 a v2,vzorec zachování hybnosti bude mít tvar:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
V tomto případě rychlosti u1 a u2 charakterizují pohyb těles po nárazu. Všimněte si, že v této podobě zákona zachování je nutné vzít v úvahu znaménko rychlostí: pokud jsou nasměrovány k sobě, pak je třeba vzít v úvahupozitivní a druhý negativní.
Pro dokonale nepružnou srážku (dvě tělesa se po nárazu slepí k sobě) má zákon zachování hybnosti tvar:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Řešení problému o zákonu zachování p¯
Vyřešme následující problém: dva míčky se kutálejí k sobě. Hmotnosti kuliček jsou stejné a jejich rychlosti jsou 5 m/s a 3 m/s. Za předpokladu, že dojde k absolutně pružné srážce, je nutné zjistit rychlosti kuliček po ní.
Použijeme-li zákon zachování hybnosti pro jednorozměrný případ a vezmeme-li v úvahu, že kinetická energie se po nárazu zachová, píšeme:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Zde jsme okamžitě snížili hmotnosti kuliček kvůli jejich rovnosti a také vzali v úvahu skutečnost, že se těla pohybují k sobě.
Je snazší pokračovat v řešení systému, pokud nahradíte známá data. Dostáváme:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Dosazením u1 do druhé rovnice dostaneme:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; proto,u22- 2u2 - 15=0.
Máme klasickou kvadratickou rovnici. Vyřešíme to přes diskriminant, dostaneme:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Máme dvě řešení. Pokud je dosadíme do prvního výrazu a definujeme u1, dostaneme následující hodnotu: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Druhá dvojice čísel je uvedena ve stavu problému, takže neodpovídá reálnému rozložení rychlostí po dopadu.
Zbývá tedy pouze jedno řešení: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Tento kuriózní výsledek znamená, že při centrální elastické srážce si dvě koule stejné hmotnosti jednoduše vymění svou rychlost.
Moment hybnosti
Vše, co bylo řečeno výše, se vztahuje k lineárnímu typu pohybu. Ukazuje se však, že podobné veličiny lze zavést i v případě kruhového posunu těles kolem určité osy. Moment hybnosti, který se také nazývá moment hybnosti, se vypočítá jako součin vektoru spojujícího hmotný bod s osou otáčení a hybnosti tohoto bodu. To znamená, že vzorec probíhá:
L¯=r¯p¯, kde p¯=mv¯.
Momentum, stejně jako p¯, je vektor, který směřuje kolmo k rovině postavené na vektorech r¯ a p¯.
Hodnota L¯ je důležitou charakteristikou rotačního systému, protože určuje energii, která je v něm uložena.
Moment hybnosti a zákon zachování
Moment hybnosti je zachován, pokud na systém nepůsobí žádné vnější síly (obvykle říkají, že neexistuje žádný moment sil). Výraz v předchozím odstavci lze jednoduchými transformacemi napsat ve formě, která je pro procvičování výhodnější:
L¯=Iω¯, kde I=mr2 je moment setrvačnosti hmotného bodu, ω¯ je úhlová rychlost.
Moment setrvačnosti I, který se objevil ve výrazu, má pro rotaci přesně stejný význam jako obvyklá hmotnost pro lineární pohyb.
Pokud dojde k nějakému vnitřnímu přeskupení systému, ve kterém se I mění, pak ω¯ také nezůstává konstantní. Navíc ke změně obou fyzikálních veličin dochází tak, že zůstává v platnosti níže uvedená rovnost:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Toto je zákon zachování momentu hybnosti L¯. Jeho projev pozoroval každý, kdo se alespoň jednou zúčastnil baletu nebo krasobruslení, kde sportovci předvádějí piruety s rotací.
