Jeden z axiomů geometrie říká, že přes libovolné dva body je možné nakreslit jednu přímku. Tento axiom svědčí o tom, že existuje jedinečný číselný výraz, který jednoznačně popisuje zadaný jednorozměrný geometrický objekt. Zvažte v článku otázku, jak napsat rovnici přímky procházející dvěma body.
Co je to bod a čára?
Před zvážením otázky konstrukce v prostoru a v rovině přímky rovnice procházející dvojicí různých bodů je třeba definovat určené geometrické objekty.
Bod je jednoznačně určen sadou souřadnic v daném systému souřadnicových os. Kromě nich zde nejsou další charakteristiky k pointě. Je to objekt s nulovou dimenzí.
Když mluvíme o rovné čáře, každý si představí čáru zobrazenou na bílém listu papíru. Zároveň je možné dát přesnou geometrickou definicitento objekt. Přímá čára je takový soubor bodů, pro který spojení každého z nich se všemi ostatními dá sadu paralelních vektorů.
Tato definice se používá při nastavování vektorové rovnice přímky, o které bude pojednáno níže.
Protože každá čára může být označena segmentem libovolné délky, říká se, že jde o jednorozměrný geometrický objekt.
Vektorová funkce čísel
Rovnici procházející dvěma body procházející přímky lze napsat v různých formách. V trojrozměrném a dvourozměrném prostoru je hlavním a intuitivně srozumitelným číselným výrazem vektor.
Předpokládejme, že existuje nějaký směrovaný segment u¯(a; b; c). Ve 3D prostoru může vektor u začínat v libovolném bodě, takže jeho souřadnice definují nekonečnou množinu paralelních vektorů. Pokud však zvolíme konkrétní bod P(x0; y0; z0) a dáme je to počátek vektoru u¯, pak vynásobením tohoto vektoru libovolným reálným číslem λ lze získat všechny body jedné přímky v prostoru. To znamená, že vektorová rovnice bude zapsána jako:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Je zřejmé, že pro případ v rovině má numerická funkce tvar:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Výhoda tohoto typu rovnic ve srovnání s ostatními (v segmentech, kanonických,obecná forma) spočívá v tom, že výslovně obsahuje souřadnice směrového vektoru. Ten se často používá k určení, zda jsou čáry rovnoběžné nebo kolmé.
Obecné v segmentech a kanonické funkce pro přímku ve dvourozměrném prostoru
Při řešení problémů je někdy potřeba napsat rovnici přímky procházející dvěma body v určitém konkrétním tvaru. Proto by měly být uvedeny jiné způsoby specifikace tohoto geometrického objektu ve dvourozměrném prostoru (pro jednoduchost uvažujeme případ v rovině).
Začněme obecnou rovnicí. Má tvar:
Ax + By + C=0
V rovině se rovnice přímky zapisuje zpravidla v tomto tvaru, pouze y je explicitně definováno prostřednictvím x.
Nyní transformujte výraz výše takto:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Tento výraz se nazývá rovnice v úsecích, protože jmenovatel pro každou proměnnou ukazuje, jak dlouho se úsečka ořízne na odpovídající souřadnicové ose vzhledem k počátečnímu bodu (0; 0).
Zbývá uvést příklad kanonické rovnice. Za tímto účelem napíšeme vektorovou rovnost explicitně:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Vyjádřeme odtud parametr λ a srovnejme výsledné rovnosti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Poslední rovnost se nazývá rovnice v kanonickém nebo symetrickém tvaru.
Každý z nich lze převést na vektor a naopak.
Rovnice přímky procházející dvěma body: technika kompilace
Zpět k otázce k článku. Předpokládejme, že v prostoru jsou dva body:
M(x1; y1; z1) a N(x 2; y2; z2)
Prochází jimi jediná přímka, jejíž rovnice se ve vektorové podobě velmi snadno skládá. K tomu vypočítáme souřadnice směrovaného segmentu MN¯, máme:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Není těžké uhodnout, že tento vektor bude vodítkem pro přímku, jejíž rovnici je třeba získat. S vědomím, že prochází také M a N, můžete použít souřadnice kterékoli z nich pro vektorové vyjádření. Potom má požadovaná rovnice tvar:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Pro případ ve dvourozměrném prostoru získáme podobnou rovnost bez účasti proměnné z.
Jakmile je vektorová rovnost pro řádek napsána, může být přeložena do jakékoli jiné formy, kterou otázka problému vyžaduje.
Úkol:napište obecnou rovnici
Je známo, že přímka prochází body se souřadnicemi (-1; 4) a (3; 2). Je nutné sestavit rovnici přímky, která jimi prochází, v obecném tvaru vyjadřující y pomocí x.
Pro vyřešení problému nejprve napíšeme rovnici ve vektorovém tvaru. Souřadnice vektoru (vodiče) jsou:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Vektorový tvar rovnice přímky je následující:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Zbývá napsat to v obecném tvaru ve tvaru y(x). Tuto rovnost explicitně přepíšeme, vyjádříme parametr λ a vyjmeme jej z rovnice:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Z výsledné kanonické rovnice vyjádříme y a dojdeme k odpovědi na otázku problému:
y=-0,5x + 3,5
Platnost této rovnosti lze zkontrolovat nahrazením souřadnic bodů uvedených v prohlášení o problému.
Problém: přímka procházející středem segmentu
Nyní vyřešíme jeden zajímavý problém. Předpokládejme, že jsou dány dva body M(2; 1) a N(5; 0). Je známo, že středem segmentu, který spojuje body, prochází přímka a je k němu kolmá. Napište rovnici přímky procházející středem segmentu ve vektorovém tvaru.
Požadovaný číselný výraz lze vytvořit výpočtem souřadnice tohoto středu a určením směrového vektoru, kterýsegment svírá úhel 90o.
Střed segmentu je:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Nyní vypočítejme souřadnice vektoru MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Vzhledem k tomu, že směrový vektor pro požadovanou přímku je kolmý k MN¯, jejich skalární součin je roven nule. To vám umožní vypočítat neznámé souřadnice (a; b) vektoru řízení:
a3 – b=0=>
b=3a
Nyní napište vektorovou rovnici:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Zde jsme nahradili produkt aλ novým parametrem β.
Vytvořili jsme tedy rovnici přímky procházející středem segmentu.
