Matematika je v podstatě abstraktní věda, pokud se vzdáme elementárních pojmů. Takže na pár jablkách můžete vizuálně znázornit základní operace, které jsou základem matematiky, ale jakmile se rovina činnosti rozšíří, tyto objekty se stanou nedostatečnými. Zkoušel někdo znázornit operace na nekonečných množinách na jablkách? To je ta věc, ne. Čím složitější byly pojmy, s nimiž matematika ve svých úsudcích operuje, tím problematičtější se jevil jejich vizuální výraz, který by měl usnadnit porozumění. Nicméně pro štěstí moderních studentů a vědy obecně byly odvozeny Eulerovy kruhy, jejichž příklady a možnosti budeme zvažovat níže.
Trocha historie
17. dubna 1707 dal svět vědě Leonharda Eulera, pozoruhodného vědce, jehož přínos k matematice, fyzice, stavbě lodí a dokonce i hudební teorii nelze přeceňovat.
Jeho díla jsou dodnes uznávána a žádaná po celém světě, přestože věda nestojí na místě. Zvláště zajímavá je skutečnost, že pan Euler se přímo podílel na formování ruské školy vyšší matematiky, zvláště když se z vůle osudu dvakrát vrátil do našeho státu. Vědec měl jedinečnou schopnost sestavit algoritmy, které byly transparentní ve své logice, odřízly vše nadbytečné a přesunuly se od obecného ke konkrétnímu v co nejkratším čase. Nebudeme vyjmenovávat všechny jeho zásluhy, protože to bude trvat značné množství času, a přejdeme přímo k tématu článku. Byl to on, kdo navrhl použít grafické znázornění operací na množinách. Eulerovy kruhy jsou schopny vizualizovat řešení jakéhokoli, i toho nejsložitějšího problému.
Jaký to má smysl?
V praxi lze Eulerovy kruhy, jejichž schéma je uvedeno níže, využít nejen v matematice, protože nejen této disciplíně je pojem „množina“vlastní. Takže jsou úspěšně aplikovány v managementu.
Výše uvedený diagram ukazuje vztahy množin A (iracionální čísla), B (racionální čísla) a C (přirozená čísla). Kruhy ukazují, že množina C je obsažena v množině B, přičemž množina A se s nimi nijak neprotíná. Příklad je nejjednodušší, ale jasně vysvětluje specifika „vztahů množin“, které jsou pro reálné srovnání příliš abstraktní, už jen kvůli jejich nekonečnosti.
Algebra logiky
Tato oblastmatematická logika pracuje s tvrzeními, která mohou být pravdivá i nepravdivá. Například z elementárního: číslo 625 je dělitelné 25, číslo 625 je dělitelné 5, číslo 625 je prvočíslo. První a druhé tvrzení jsou pravdivé, zatímco poslední je nepravdivé. Samozřejmě, v praxi je vše složitější, ale podstata je jasně ukázána. A do řešení jsou samozřejmě opět zapojeny Eulerovy kruhy, příklady s jejich použitím jsou příliš pohodlné a vizuální, než aby je bylo možné ignorovat.
Trocha teorie:
- Nechť množiny A a B existují a nejsou prázdné, pak pro ně budou definovány následující operace průnik, sjednocení a negace.
- Průnik množin A a B se skládá z prvků, které patří současně do množiny A i množiny B.
- Sjednocení množin A a B se skládá z prvků, které patří do množiny A nebo množiny B.
- Negace množiny A je množina, která se skládá z prvků, které do množiny A nepatří.
To vše je opět znázorněno Eulerovými kruhy v logice, protože s jejich pomocí se každý úkol, bez ohledu na stupeň složitosti, stává zřejmým a vizuálním.
Axiomy algebry logiky
Předpokládejme, že 1 a 0 existují a jsou definovány v sadě A, pak:
- negace negace množiny A je množina A;
- spojení množiny A s not_A je 1;
- spojení množiny A s 1 je 1;
- spojení množiny A se sebou samým je množina A;
- spojení sady As 0 je množina A;
- průsečík množiny A s not_A je 0;
- průnik množiny A se sebou samým je množina A;
- průsečík množiny A s 0 je 0;
- průnik množiny A s 1 je množina A.
Základní vlastnosti algebry logiky
Ať množiny A a B existují a nejsou prázdné, pak:
- pro průnik a sjednocení množin A a B platí komutativní zákon;
- kombinační zákon platí pro průnik a sjednocení množin A a B;
- distribuční zákon platí pro průnik a sjednocení množin A a B;
- negace průniku množin A a B je průsečíkem negací množin A a B;
- negace sjednocení množin A a B je sjednocením negací množin A a B.
Následující ukazuje Eulerovy kružnice, příklady průniku a sjednocení množin A, B a C.
Vyhlídky
Díla Leonharda Eulera jsou oprávněně považována za základ moderní matematiky, ale nyní se úspěšně používají v oblastech lidské činnosti, které se objevily relativně nedávno, vezměme si například správu a řízení společností: Eulerovy kruhy, příklady a grafy popisují mechanismy vývojové modely, ať už je to ruská nebo anglicko-americká verze.
