Ve fyzice je často nutné řešit problémy pro výpočet rovnováhy ve složitých systémech, které mají mnoho působících sil, pák a os rotace. V tomto případě je nejjednodušší použít koncept momentu síly. Tento článek poskytuje všechny potřebné vzorce s podrobným vysvětlením, které by měly být použity k řešení problémů pojmenovaného typu.
O čem si budeme povídat?
Mnoho lidí si pravděpodobně všimlo, že pokud působíte jakoukoli silou na objekt upevněný v určitém bodě, začne se otáčet. Nápadným příkladem jsou dveře do domu nebo do pokoje. Pokud jej vezmete za rukojeť a zatlačíte (vyvinete sílu), začne se otevírat (zapnout panty). Tento proces je v každodenním životě projevem působení fyzikální veličiny, která se nazývá moment síly.
Z popsaného příkladu s dveřmi vyplývá, že předmětná hodnota udává schopnost síly rotovat, což je její fyzikální význam. I tato hodnotase nazývá moment torze.
Určení momentu síly
Před definováním uvažovaného množství si udělejme jednoduchý obrázek.
Na obrázku je tedy páka (modrá), která je upevněna na ose (zelená). Tato páka má délku d a na její konec působí síla F. Co se v tomto případě stane se systémem? Je to tak, páka se při pohledu shora začne otáčet proti směru hodinových ručiček (všimněte si, že když trochu natáhnete fantazii a představíte si, že pohled směřuje zespodu k páce, pak se bude otáčet po směru hodinových ručiček).
Nechť bod připojení osy se nazývá O a bod působení síly - P. Potom můžeme napsat následující matematický výraz:
OP¯ F¯=M¯FO.
Kde OP¯ je vektor, který směřuje od osy ke konci páky, nazývá se také silová páka, F¯je vektor působící síla na bod P a M¯FO je moment síly kolem bodu O (osa). Tento vzorec je matematickou definicí příslušné fyzikální veličiny.
Směr pohybu a pravidlo pravé ruky
Výše uvedený výraz je křížový produkt. Jak víte, jeho výsledkem je také vektor, který je kolmý k rovině procházející příslušnými multiplikačními vektory. Tato podmínka je splněna dvěma směry hodnoty M¯FO (dolů a nahoru).
Unikátněk určení je třeba použít tzv. pravidlo pravé ruky. Dá se to formulovat takto: ohnete-li čtyři prsty pravé ruky do půloblouku a nasměrujete tento půloblouk tak, aby šel podél prvního vektoru (první faktor ve vzorci) a šel na konec druhý, pak palec vyčnívající nahoru bude ukazovat směr momentu torze. Všimněte si také, že před použitím tohoto pravidla musíte nastavit vynásobené vektory tak, aby vycházely ze stejného bodu (jejich počátky se musí shodovat).
V případě obrázku v předchozím odstavci můžeme za použití pravidla pravé ruky říci, že moment síly vzhledem k ose bude směřovat nahoru, tedy k nám.
Kromě označeného způsobu určení směru vektoru M¯FO jsou ještě dva. Tady jsou:
- Torzní moment bude nasměrován tak, že když se podíváte na otáčející se páku od konce jejího vektoru, ta se bude pohybovat proti hodinám. Je obecně přijímáno považovat tento směr okamžiku za pozitivní při řešení různých druhů problémů.
- Pokud otočíte gimlet ve směru hodinových ručiček, točivý moment bude směrován k pohybu (prohloubení) gimletu.
Všechny výše uvedené definice jsou ekvivalentní, takže si každý může vybrat tu, která mu vyhovuje.
Bylo tedy zjištěno, že směr momentu síly je rovnoběžný s osou, kolem které se otáčí příslušná páka.
Úhlová síla
Podívejte se na obrázek níže.
Zde také vidíme páku délky L upevněnou v bodě (označeném šipkou). Působí na něj síla F, která však směřuje k vodorovné páce pod určitým úhlem Φ (phi). Směr okamžiku M¯FO v tomto případě bude stejný jako na předchozím obrázku (na nás). Chcete-li vypočítat absolutní hodnotu nebo modul této veličiny, musíte použít vlastnost cross product. Podle něj pro uvažovaný příklad můžete napsat výraz: MFO=LFsin(180 o -Φ) nebo pomocí vlastnosti sine přepíšeme:
MFO=LFsin(Φ).
Na obrázku je také znázorněn dokončený pravoúhlý trojúhelník, jehož strany tvoří samotná páka (hypotenuze), čára působení síly (noha) a strana délky d (druhá noha). Vzhledem k tomu, že sin(Φ)=d/L, bude mít tento vzorec tvar: MFO=dF. Je vidět, že vzdálenost d je vzdálenost od bodu připevnění páky k linii působení síly, to znamená, že d je páka síly.
Oba vzorce uvedené v tomto odstavci, které vyplývají přímo z definice momentu kroucení, jsou užitečné při řešení praktických problémů.
Jednotky točivého momentu
Pomocí definice lze stanovit, že hodnota MFO by měla být měřena v newtonech na metr (Nm). Ve skutečnosti se ve formě těchto jednotek používá v SI.
Všimněte si, že Nm je jednotka práce, která se vyjadřuje v joulech, jako je energie. Nicméně jouly se nepoužívají pro koncept momentu síly, protože tato hodnota přesně odráží možnost realizace druhého. Existuje však souvislost s jednotkou práce: pokud se v důsledku síly F páka zcela otočí kolem svého otočného bodu O, pak se vykonaná práce bude rovnat A=MF O 2pi (2pi je úhel v radiánech, který odpovídá 360o). V tomto případě lze jednotku točivého momentu MFO vyjádřit v joulech na radián (J/rad.). Ten se spolu s Hm používá také v soustavě SI.
Varignonova věta
Na konci 17. století francouzský matematik Pierre Varignon, který studoval rovnováhu systémů s pákami, poprvé formuloval větu, která nyní nese jeho příjmení. Je formulován následovně: celkový moment několika sil se rovná momentu výsledné jedné síly, která působí na určitý bod vzhledem ke stejné ose rotace. Matematicky to lze zapsat takto:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Tuto větu je vhodné použít k výpočtu torzních momentů v systémech s více působícími silami.
Dále uvádíme příklad použití výše uvedených vzorců k řešení problémů ve fyzice.
Problém s klíčem
Jedna zNápadným příkladem demonstrování důležitosti zohlednění momentu síly je proces odšroubování matic pomocí klíče. Chcete-li matici odšroubovat, musíte použít určitý krouticí moment. Je nutné vypočítat, jak velká síla by měla být aplikována v bodě A, aby se začalo odšroubovávat matici, pokud je tato síla v bodě B 300 N (viz obrázek níže).
Z výše uvedeného obrázku vyplývají dvě důležité věci: za prvé, vzdálenost OB je dvakrát větší než vzdálenost OA; za druhé, síly FA a FBsměřují kolmo k odpovídající páce s osou otáčení shodnou se středem matice (bod O).
Točivý moment pro tento případ lze zapsat ve skalárním tvaru následovně: M=OBFB=OAFA. Protože OB/OA=2, bude tato rovnost platit pouze v případě, že FA je 2krát větší než FB. Ze stavu problému získáme, že FA=2300=600 N. To znamená, že čím delší je klíč, tím snazší je odšroubovat matici.
Problém se dvěma míčky různých hmotností
Obrázek níže ukazuje systém, který je v rovnováze. Pokud je délka desky 3 metry, je nutné najít polohu opěrného bodu.
Protože je systém v rovnováze, je součet momentů všech sil roven nule. Na desku působí tři síly (váha dvou kuliček a reakční síla podpěry). Protože podpěrná síla nevytváří moment točivého momentu (délka páky je nulová), existují pouze dva momenty vytvořené hmotností kuliček.
Nechť rovnovážný bod je ve vzdálenosti x odhrana obsahující 100 kg kouli. Pak můžeme napsat rovnost: M1-M2=0. Protože hmotnost tělesa je určena vzorcem mg, pak máme: m 1gx - m2g(3-x)=0. Zmenšíme g a dosadíme data, dostaneme: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m nebo 14,3 cm.
Aby byl systém v rovnováze, je tedy nutné stanovit referenční bod ve vzdálenosti 14,3 cm od okraje, kde bude ležet koule o hmotnosti 100 kg.
