Matice (tabulky s číselnými prvky) lze použít pro různé výpočty. Některé z nich jsou násobení číslem, vektor, další matice, několik matic. Výrobek je někdy nesprávný. Chybný výsledek je výsledkem neznalosti pravidel pro provádění výpočetních akcí. Pojďme zjistit, jak provést násobení.
Matice a číslo
Začněme tím nejjednodušším – vynásobením tabulky s čísly konkrétní hodnotou. Například máme matici A s prvky aij (i jsou čísla řádků a j jsou čísla sloupců) a číslem e. Součinem matice číslem e bude matice B s prvky bij, které najdeme podle vzorce:
bij=e × aij.
T. e. k získání prvku b11 musíte vzít prvek a11 a vynásobit jej požadovaným číslem, abyste získali b12 je nutné najít součin prvku a12 a čísla e atd.
Pojďme vyřešit problém číslo 1 uvedený na obrázku. Chcete-li získat matici B, jednoduše vynásobte prvky z A 3:
- a11 × 3=18. Tuto hodnotu zapíšeme do matice B v místě, kde se protínají sloupec č. 1 a řádek č. 1.
- a21 × 3=15. Máme prvek b21.
- a12 × 3=-6. Obdrželi jsme prvek b12. Zapíšeme jej do matice B v místě, kde se protínají sloupec 2 a řádek 1.
- a22 × 3=9. Tento výsledek je prvek b22.
- a13 × 3=12. Zadejte toto číslo do matice místo prvku b13.
- a23 × 3=-3. Poslední přijaté číslo je prvek b23.
Získali jsme tedy obdélníkové pole s číselnými prvky.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektory a podmínka existence součinu matic
V matematických disciplínách existuje něco jako „vektor“. Tento výraz označuje uspořádanou sadu hodnot od a1 do a . Říká se jim souřadnice vektorového prostoru a zapisují se jako sloupec. Existuje také termín "transponovaný vektor". Jeho součásti jsou uspořádány jako řetězec.
Vektory lze nazývat matice:
- column vector je matice sestavená z jednoho sloupce;
- řádkový vektor je matice, která obsahuje pouze jeden řádek.
Až bude hotovonad maticemi operací násobení je důležité mít na paměti, že existuje podmínka pro existenci součinu. Výpočetní akci A × B lze provést pouze tehdy, když je počet sloupců v tabulce A roven počtu řádků v tabulce B. Výsledná matice vyplývající z výpočtu má vždy počet řádků v tabulce A a počet sloupců v tabulce B.
Při násobení se nedoporučuje přeskupovat matice (násobiče). Jejich součin obvykle neodpovídá komutativnímu (posunovacímu) zákonu násobení, tj. výsledek operace A × B není roven výsledku operace B × A. Tato vlastnost se nazývá nekomutativnost součinu matrice. V některých případech je výsledek násobení A × B roven výsledku násobení B × A, tj. součin je komutativní. Matice, pro které platí rovnost A × B=B × A, se nazývají permutační matice. Podívejte se na příklady takových tabulek níže.
Násobení sloupcovým vektorem
Při násobení matice sloupcovým vektorem musíme vzít v úvahu podmínku existence součinu. Počet sloupců (n) v tabulce musí odpovídat počtu souřadnic, které tvoří vektor. Výsledkem výpočtu je transformovaný vektor. Jeho počet souřadnic se rovná počtu řádků (m) z tabulky.
Jak se vypočítají souřadnice vektoru y, pokud existuje matice A a vektor x? Pro výpočty vytvořené vzorce:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
………………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kde x1, …, x jsou souřadnice z x-vektoru, m je počet řádků v matici a číslo souřadnic v novém vektoru y, n je počet sloupců v matici a počet souřadnic ve vektoru x, a11, a12, …, amn– prvky matice A.
Pro získání i-té složky nového vektoru se tedy provede skalární součin. Vektor i-tého řádku je převzat z matice A a je vynásoben dostupným vektorem x.
Vyřešme problém č. 2. Můžete najít součin matice a vektoru, protože A má 3 sloupce a x se skládá ze 3 souřadnic. Ve výsledku bychom měli dostat sloupcový vektor se 4 souřadnicemi. Použijme výše uvedené vzorce:
- Vypočítejte y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konečná hodnota je 2.
- Vypočítejte y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Při výpočtu dostaneme 0.
- Vypočítejte y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Součet součinů uvedených faktorů je 6.
- Vypočítejte y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Souřadnice je -8.
Řádkové násobení vektor-matice
Nemůžete násobit matici s více sloupci řádkovým vektorem. V takových případech není splněna podmínka existence díla. Ale násobení řádkového vektoru maticí je možné. Tentovýpočetní operace se provede, když se počet souřadnic ve vektoru a počet řádků v tabulce shodují. Výsledkem součinu vektoru a matice je nový řádkový vektor. Jeho počet souřadnic se musí rovnat počtu sloupců v matici.
Výpočet první souřadnice nového vektoru zahrnuje vynásobení vektoru řádku a vektoru prvního sloupce z tabulky. Druhá souřadnice se vypočítá podobným způsobem, ale místo prvního sloupcového vektoru se vezme druhý sloupcový vektor. Zde je obecný vzorec pro výpočet souřadnic:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kde yk je souřadnice z vektoru y, (k je mezi 1 a n), m je počet řádků v matici a počet souřadnic v x-vektoru je n počet sloupců v matici a počet souřadnic ve vektoru y, a s alfanumerickými indexy jsou prvky matice A.
Produkt pravoúhlých matic
Tento výpočet se může zdát komplikovaný. Násobení je však snadné. Začněme definicí. Součin matice A s m řádky a n sloupci a matice B s n řádky a p sloupci je matice C s m řádky a p sloupci, ve které je prvkem cij součet součinů prvků i-tého řádku z tabulky A a j-tého sloupce z tabulky B. Jednodušeji řečeno, prvek cij je skalárním součinem i-tého řádku vektor z tabulky A a vektor j-tého sloupce z tabulky B.
Nyní v praxi zjistíme, jak najít součin pravoúhlých matic. Vyřešme k tomu úlohu č. 3. Podmínka existence produktu je splněna. Začněme počítat prvky cij:
- Matice C bude mít 2 řádky a 3 sloupce.
- Vypočítejte prvek c11. K tomu provedeme skalární součin řádku č. 1 z matice A a sloupce č. 1 z matice B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Potom postupujeme obdobným způsobem, měníme pouze řádky, sloupce (v závislosti na indexu prvku).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Prvky jsou vypočteny. Nyní zbývá pouze vytvořit obdélníkový blok z přijatých čísel.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Násobení tří matic: teoretická část
Najdete součin tří matic? Tato výpočetní operace je proveditelná. Výsledek lze získat několika způsoby. Například existují 3 čtvercové tabulky (stejného pořadí) - A, B a C. Pro výpočet produktu můžete:
- Nejprve vynásobte A a B. Poté výsledek vynásobte C.
- Nejprve najděte součin B a C. Potom vynásobte matici A výsledkem.
Pokud potřebujete vynásobit obdélníkové matice, musíte se nejprve ujistit, že je tato výpočetní operace možná. By mělprodukty A × B a B × C existují.
Přírůstkové násobení není chyba. Existuje něco jako „asociativita násobení matic“. Tento termín se vztahuje na rovnost (A × B) × C=A × (B × C).
Nácvik násobení tří matic
Čtvercové matice
Začněte vynásobením malých čtvercových matic. Obrázek níže ukazuje problém číslo 4, který musíme vyřešit.
Použijeme vlastnost asociativita. Nejprve vynásobíme buď A a B, nebo B a C. Pamatujeme si jen jednu věc: nemůžete zaměnit faktory, to znamená, že nemůžete násobit B × A nebo C × B. Tímto násobením dostaneme chybný výsledek.
Pokrok v rozhodování.
Krok jedna. Abychom našli společný součin, nejprve vynásobíme A B. Při násobení dvou matic se budeme řídit pravidly, která byla nastíněna výše. Takže výsledkem vynásobení A a B bude matice D se 2 řádky a 2 sloupci, tj. obdélníkové pole bude obsahovat 4 prvky. Pojďme je najít pomocí výpočtu:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Prostřední výsledek připraven.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Krok dva. Nyní vynásobme matici D maticí C. Výsledkem by měla být čtvercová matice G se 2 řádky a 2 sloupci. Vypočítejte prvky:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Výsledkem součinu čtvercových matic je tedy tabulka G s vypočtenými prvky.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Obdélníkové matice
Obrázek níže ukazuje problém číslo 5. Je nutné vynásobit pravoúhlé matice a najít řešení.
Zkontrolujme, zda je splněna podmínka existence součinů A × B a B × C. Řádky uvedených matic nám umožňují provést násobení. Začněme problém řešit.
Pokrok v rozhodování.
Krok jedna. Vynásobte B C a dostanete D. Matice B má 3 řádky a 4 sloupce a matice C má 4 řádky a 2 sloupce. To znamená, že dostaneme matici D se 3 řádky a 2 sloupci. Pojďme vypočítat prvky. Zde jsou 2 příklady výpočtu:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Pokračujeme v řešení problému. V důsledku dalších výpočtů zjistíme hodnoty d21, d2 2, d31 a d32. Tyto prvky jsou 0, 19, 1 a 11 v tomto pořadí. Nalezené hodnoty zapišme do obdélníkového pole.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Krok dva. Vynásobte A číslem D, abyste dostali konečnou matici F. Bude mít 2 řádky a 2 sloupce. Vypočítejte prvky:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Sestavte obdélníkové pole, které je konečným výsledkem vynásobení tří matic.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Úvod do přímé práce
Poměrně těžko pochopitelný materiál je Kroneckerův produkt matric. Má také další název - přímé dílo. Co je míněno tímto pojmem? Řekněme, že máme tabulku A řádu m × n a tabulku B řádu p × q. Přímým součinem matice A a matice B je matice řádu mp × nq.
Máme 2 čtvercové matice A, B, které jsou znázorněny na obrázku. První má 2 sloupce a 2 řádky a druhý má 3 sloupce a 3 řádky. Vidíme, že matice vyplývající z přímého součinu se skládá ze 6 řádků a přesně stejného počtu sloupců.
Jak se prvky nové matice počítají v přímém součinu? Nalezení odpovědi na tuto otázku je velmi snadné, pokud analyzujete obrázek. Nejprve vyplňte první řádek. Vezměte první prvek z horního řádku tabulky A a postupně vynásobte prvky prvního řádkuz tabulky B. Dále vezměte druhý prvek prvního řádku tabulky A a postupně vynásobte prvky prvního řádku tabulky B. Chcete-li vyplnit druhý řádek, vezměte znovu první prvek z prvního řádku tabulky A a vynásobte jej prvky druhého řádku tabulky B.
Konečná matice získaná přímým součinem se nazývá bloková matice. Pokud znovu analyzujeme obrázek, vidíme, že náš výsledek se skládá ze 4 bloků. Všechny obsahují prvky matice B. Navíc je prvek každého bloku vynásoben specifickým prvkem matice A. V prvním bloku jsou všechny prvky vynásobeny a11, v druhý - podle a12, ve třetím - dne a21, ve čtvrtém - dne a22.
determinant produktu
Při zvažování tématu násobení matic stojí za zvážení termín jako „determinant součinu matic“. Co je determinant? To je důležitá charakteristika čtvercové matice, určitá hodnota, která je této matici přiřazena. Doslovné označení determinantu je det.
U matice A sestávající ze dvou sloupců a dvou řádků lze determinant snadno najít. Existuje malý vzorec, který představuje rozdíl mezi produkty konkrétních prvků:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Uvažujme příklad výpočtu determinantu pro tabulku druhého řádu. Existuje matice A, ve které a11=2, a12=3, a21=5 a a22=1. K výpočtu determinantu použijte vzorec:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
U matic 3 × 3 se determinant vypočítá pomocí složitějšího vzorce. Níže je uveden pro matici A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Abychom si vzorec zapamatovali, vymysleli jsme trojúhelníkové pravidlo, které je znázorněno na obrázku. Nejprve se vynásobí prvky hlavní diagonály. Součin prvků označených úhly trojúhelníků s červenými stranami se přičte k získané hodnotě. Dále se odečte součin prvků sekundární úhlopříčky a odečte se součin prvků označených rohy trojúhelníků s modrými stranami.
Nyní si promluvme o determinantu součinu matic. Existuje věta, která říká, že tento indikátor se rovná součinu determinantů multiplikačních tabulek. Ověřte si to na příkladu. Máme matici A se záznamy a11=2, a12=3, a21=1 a a22=1 a matice B se záznamy b11=4, b12=5, b 21 =1 a b22=2. Najděte determinanty pro matice A a B, součin A × B a determinant tohoto součinu.
Pokrok v rozhodování.
Krok jedna. Vypočítejte determinant pro A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Dále vypočítejte determinant pro B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Krok dva. Pojďme najítsoučin A × B. Označte novou matici písmenem C. Vypočítejte její prvky:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Krok tři. Vypočítejte determinant pro C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Porovnejte s hodnotou, kterou bylo možné získat vynásobením determinantů původních matic. Čísla jsou stejná. Výše uvedená věta je pravdivá.
Pořadí produktu
Hodnota matice je charakteristika, která odráží maximální počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců. Pro výpočet pořadí se provedou elementární transformace matice:
- přeskupení dvou paralelních řad;
- vynásobení všech prvků určitého řádku z tabulky nenulovým číslem;
- přidání prvků z jednoho řádku k prvkům z jiného řádku, vynásobené konkrétním číslem.
Po elementárních transformacích se podívejte na počet nenulových řetězců. Jejich počet je hodnost matice. Zvažte předchozí příklad. Představoval 2 matice: A s prvky a11=2, a12=3, a21=1 a a22 =1 a B s prvky b11=4, b12=5, b21=1 a b22=2. Použijeme také matici C získanou jako výsledek násobení. Pokud provedeme elementární transformace, pak ve zjednodušených maticích nebudou žádné nulové řádky. To znamená, že jak hodnost tabulky A, tak hodnost tabulky B a hodnosttabulka C je 2.
Věnujme nyní zvláštní pozornost hodnosti součinu matic. Existuje teorém, který říká, že hodnost součinu tabulek obsahujících číselné prvky nepřesahuje hodnost žádného z faktorů. To lze dokázat. Nechť A je matice k × s a B je matice s × m. Součin A a B se rovná C.
Pojďme si prostudovat obrázek výše. Zobrazuje první sloupec matice C a její zjednodušený zápis. Tento sloupec je lineární kombinací sloupců obsažených v matici A. Podobně lze říci o jakémkoli jiném sloupci z obdélníkového pole C. Tedy podprostor tvořený sloupcovými vektory tabulky C je v podprostoru tvořeném sloupcové vektory tabulky A. Tím tedy dimenze podprostoru č. 1 nepřesahuje dimenzi podprostoru č. 2. Z toho vyplývá, že pořadí ve sloupcích tabulky C nepřesahuje pořadí ve sloupcích tabulky A, tj. r(C) ≦ r(A). Pokud budeme argumentovat podobným způsobem, pak se můžeme ujistit, že řádky matice C jsou lineární kombinace řádků matice B. Z toho vyplývá nerovnost r(C) ≦ r(B).
Jak najít součin matic je poměrně komplikované téma. Dá se snadno zvládnout, ale k dosažení takového výsledku budete muset strávit spoustu času zapamatováním všech existujících pravidel a teorémů.
