Funkce a studium jejích vlastností je jednou z klíčových kapitol moderní matematiky. Hlavní součástí každé funkce jsou grafy zobrazující nejen její vlastnosti, ale i parametry derivace této funkce. Pojďme se na toto ošemetné téma podívat. Jaký je tedy nejlepší způsob, jak najít maximální a minimální počet bodů funkce?
Funkce: Definice
Jakoukoli proměnnou, která závisí nějakým způsobem na hodnotách jiné hodnoty, lze nazvat funkcí. Například funkce f(x2) je kvadratická a určuje hodnoty pro celou množinu x. Řekněme, že x=9, pak bude hodnota naší funkce rovna 92=81.
Funkce existují v mnoha různých typech: logické, vektorové, logaritmické, trigonometrické, numerické a další. Jejich studiem se zabývali tak vynikající mysli jako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Jejich spisy slouží jako opora v moderních způsobech studia funkcí. Před nalezením minimálního počtu bodů je velmi důležité pochopit samotný význam funkce a její derivace.
Derivace a její role
Všechny funkce jsou k dispoziciv závislosti na jejich proměnných hodnotách, což znamená, že mohou svou hodnotu kdykoli změnit. Na grafu to bude znázorněno jako křivka, která buď klesá, nebo stoupá podél osy y (toto je celá sada čísel "y" podél svislice grafu). A tak definice bodu maxima a minima funkce právě souvisí s těmito "oscilacemi". Dovolte nám vysvětlit, co tento vztah je.
Derivace jakékoli funkce je nakreslena do grafu, aby bylo možné studovat její hlavní charakteristiky a vypočítat, jak rychle se funkce mění (tj. mění svou hodnotu v závislosti na proměnné „x“). V okamžiku, kdy se funkce zvětší, zvětší se i graf její derivace, ale každou vteřinou může funkce začít klesat a následně se bude graf derivace zmenšovat. Body, ve kterých derivace přechází z mínusu do plusu, se nazývají minimální body. Abyste věděli, jak najít minimální počet bodů, měli byste lépe porozumět konceptu derivace.
Jak vypočítat derivaci?
Definování a výpočet derivace funkce implikuje několik konceptů z diferenciálního počtu. Obecně lze samotnou definici derivace vyjádřit následovně: toto je hodnota, která ukazuje rychlost změny funkce.
Matematický způsob, jak to určit pro mnoho studentů, se zdá komplikovaný, ale ve skutečnosti je vše mnohem jednodušší. Musíte jen následovatstandardní plán pro nalezení derivace libovolné funkce. Následující text popisuje, jak můžete najít minimální bod funkce bez použití pravidel diferenciace a bez zapamatování tabulky derivací.
- Derivaci funkce můžete vypočítat pomocí grafu. Chcete-li to provést, musíte znázornit samotnou funkci, pak na ní vzít jeden bod (bod A na obr.) Nakreslit čáru svisle dolů k ose x (bod x0) a v bodě A nakreslete tečnu k funkční grafice. Osa úsečky a tečna svírají úhel a. Chcete-li vypočítat hodnotu, jak rychle funkce roste, musíte vypočítat tangens tohoto úhlu a.
- Ukazuje se, že tangens úhlu mezi tečnou a směrem osy x je derivací funkce v malé oblasti s bodem A. Tato metoda je považována za geometrický způsob určení derivace.
Metody zkoumání funkce
Ve školním vzdělávacím programu matematiky je možné najít minimální bod funkce dvěma způsoby. První metodu jsme již analyzovali pomocí grafu, ale jak určit číselnou hodnotu derivace? K tomu se budete muset naučit několik vzorců, které popisují vlastnosti derivace a pomáhají převádět proměnné jako "x" na čísla. Následující metoda je univerzální, takže ji lze použít na téměř všechny druhy funkcí (jak geometrické, tak logaritmické).
- Je nutné přirovnat funkci k derivační funkci a poté výraz zjednodušit pomocí pravideldiferenciace.
- vydělte nulou).
- Poté byste měli převést původní tvar funkce na jednoduchou rovnici, která dá celý výraz rovnítko nule. Pokud by funkce například vypadala takto: f(x)=2x3+38x, pak podle pravidel derivace je její derivace rovna f'(x)=3x 2 +1. Poté tento výraz transformujeme do rovnice následujícího tvaru: 3x2+1=0.
- Po vyřešení rovnice a nalezení bodů "x" byste je měli nakreslit na osu x a určit, zda je derivace v těchto oblastech mezi označenými body kladná nebo záporná. Po označení bude jasné, v jakém bodě funkce začíná klesat, to znamená, že mění znaménko z mínus na opačné. Tímto způsobem můžete najít minimální i maximální počet bodů.
Pravidla diferenciace
Nejzákladnější částí učení funkce a její derivace je znalost pravidel derivace. Jen s jejich pomocí je možné transformovat těžkopádné výrazy a velké složité funkce. Pojďme se s nimi seznámit, je jich poměrně hodně, ale všechny jsou velmi jednoduché díky regulárním vlastnostem mocninných i logaritmických funkcí.
- Derivace jakékoli konstanty je nula (f(x)=0). To znamená, že derivace f(x)=x5+ x - 160 bude mít následující tvar: f' (x)=5x4+1.
- Derivace součtu dvou členů: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivace logaritmické funkce: (logad)'=d/ln ad. Tento vzorec platí pro všechny druhy logaritmů.
- Derivace stupně: (x)'=nxn-1. Například (9x2)'=92x=18x.
- Derivace sinusové funkce: (sin a)'=cos a. Pokud je sin úhlu a 0,5, pak jeho derivace je √3/2.
Extrémní body
Už jsme přišli na to, jak najít minimum bodů, ale existuje koncept maximálních bodů funkce. Pokud minimum označuje ty body, ve kterých funkce přechází z mínus do plus, pak maximální body jsou ty body na ose x, ve kterých se derivace funkce mění z plusu na opačný - mínus.
Maximální počet bodů můžete najít pomocí výše popsané metody, pouze je třeba vzít v úvahu, že označují oblasti, kde funkce začíná klesat, to znamená, že derivace bude menší než nula.
V matematice je obvyklé zobecňovat oba pojmy a nahrazovat je frází „extrémní body“. Když úkol požaduje určit tyto body, znamená to, že je nutné vypočítat derivaci této funkce a najít minimální a maximální body.
