Teorie pravděpodobnosti je speciální obor matematiky, který studují pouze studenti vysokých škol. Máte rádi výpočty a vzorce? Nebojíte se vyhlídek na seznámení s normálním rozdělením, entropií souboru, matematickým očekáváním a rozptylem diskrétní náhodné veličiny? Pak vás bude toto téma velmi zajímat. Pojďme se seznámit s některými z nejdůležitějších základních pojmů této sekce vědy.
Připomeňte si základy
I když si pamatujete ty nejjednodušší pojmy teorie pravděpodobnosti, nezanedbávejte první odstavce článku. Faktem je, že bez jasného pochopení základů nebudete schopni pracovat s níže uvedenými vzorci.
Takže existuje nějaká náhodná událost, nějaký experiment. V důsledku provedených akcí můžeme získat několik výsledků – některé z nich jsou častější, jiné méně časté. Pravděpodobnost události je poměr počtu skutečně přijatých výsledků jednoho typu k celkovému počtu možných. Pouze pokud znáte klasickou definici tohoto pojmu, můžete začít studovat matematické očekávání a rozptyl spojitostináhodné proměnné.
Aritmetický průměr
Už ve škole jste v hodinách matematiky začali pracovat s aritmetickým průměrem. Tento koncept je široce používán v teorii pravděpodobnosti, a proto jej nelze ignorovat. Pro nás je v tuto chvíli hlavní, že se s ním setkáme ve vzorcích pro matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny.
Máme posloupnost čísel a chceme najít aritmetický průměr. Vše, co se od nás vyžaduje, je sečíst vše, co je k dispozici, a vydělit počtem prvků v posloupnosti. Mějme čísla od 1 do 9. Součet prvků bude 45 a tuto hodnotu vydělíme 9. Odpověď: - 5.
Disperze
Vědecky řečeno, rozptyl je střední kvadrát odchylek hodnot získaných vlastností od aritmetického průměru. Jedna se značí velkým latinským písmenem D. Co je potřeba k jejímu výpočtu? Pro každý prvek posloupnosti vypočítáme rozdíl mezi dostupným číslem a aritmetickým průměrem a umocníme jej. U události, kterou zvažujeme, bude přesně tolik hodnot, kolik může být výsledků. Dále shrneme vše přijaté a vydělíme počtem prvků v sekvenci. Pokud máme pět možných výsledků, vydělte je pěti.
Rozptyl má také vlastnosti, které si musíte zapamatovat, abyste je mohli použít při řešení problémů. Pokud se například náhodná proměnná zvýší Xkrát, rozptyl se zvýší o Xkrát čtverec (tj. XX). Nikdy není menší než nula a nezávisí naposouvání hodnot o stejnou hodnotu nahoru nebo dolů. Také u nezávislých pokusů se rozptyl součtu rovná součtu rozptylů.
Nyní musíme rozhodně zvážit příklady rozptylu diskrétní náhodné proměnné a matematického očekávání.
Předpokládejme, že jsme provedli 21 experimentů a získali 7 různých výsledků. Každý z nich jsme pozorovali 1, 2, 2, 3, 4, 4 a 5krát. Jaký bude rozptyl?
Nejprve vypočítejme aritmetický průměr: součet prvků je samozřejmě 21. Vydělte ho 7, dostanete 3. Nyní odečtěte 3 od každého čísla v původní posloupnosti, odmocněte každou hodnotu a přidejte výsledky dohromady. Ukazuje se 12. Nyní nám zbývá vydělit číslo počtem prvků, a zdá se, že je to vše. Má to ale háček! Pojďme o tom diskutovat.
Závislost na počtu experimentů
Ukazuje se, že při výpočtu rozptylu může být jmenovatelem jedno ze dvou čísel: buď N, nebo N-1. Zde N je počet provedených experimentů nebo počet prvků v sekvenci (což je ve skutečnosti stejné). Na čem to závisí?
Pokud se počet testů měří ve stovkách, pak musíme do jmenovatele dát N. Pokud v jednotkách, pak N-1. Vědci se rozhodli nakreslit hranici zcela symbolicky: dnes vede podél čísla 30. Pokud jsme provedli méně než 30 experimentů, vydělíme množství N-1, a pokud více, pak N.
Úkol
Vraťme se k našemu příkladu řešení problému rozptylu a očekávání. Myobdržel mezičíslo 12, které bylo třeba vydělit N nebo N-1. Protože jsme provedli 21 experimentů, což je méně než 30, zvolíme druhou možnost. Takže odpověď zní: rozptyl je 12 / 2=2.
Očekávání
Přejděme k druhému konceptu, který musíme v tomto článku zvážit. Matematické očekávání je výsledkem sečtení všech možných výsledků vynásobených odpovídajícími pravděpodobnostmi. Je důležité pochopit, že výsledná hodnota, stejně jako výsledek výpočtu rozptylu, se pro celý úkol získá pouze jednou, bez ohledu na to, kolik výsledků bere v úvahu.
Vzorec očekávání je docela jednoduchý: vezmeme výsledek, vynásobíme ho jeho pravděpodobností, totéž přidáme pro druhý, třetí výsledek atd. Vše, co s tímto konceptem souvisí, je snadné spočítat. Například součet matematických očekávání se rovná matematickému očekávání součtu. Totéž platí pro práci. Ne každá veličina v teorii pravděpodobnosti umožňuje provádět tak jednoduché operace. Vezmeme si úkol a vypočítejme hodnotu dvou pojmů, které jsme studovali najednou. Navíc jsme byli rozptýleni teorií - je čas na praxi.
Další příklad
Provedli jsme 50 zkoušek a získali jsme 10 druhů výsledků – čísla od 0 do 9 – objevující se v různých procentech. Jsou to v tomto pořadí: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Připomeňme, že k získání pravděpodobností je třeba vydělit procentuální hodnoty 100. Dostaneme tedy 0,02; 0, 1 atd. Představme si pro rozptyl náhodyhodnota a matematické očekávání příklad řešení problému.
Vypočítejte aritmetický průměr pomocí vzorce, který si pamatujeme ze základní školy: 50/10=5.
Nyní převedeme pravděpodobnosti na počet výsledků „v kusech“, abychom si usnadnili počítání. Dostaneme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 a 9. Od každé získané hodnoty odečtěte aritmetický průměr a poté odmocníme každý ze získaných výsledků. Podívejte se, jak to udělat pomocí prvního prvku jako příkladu: 1 - 5=(-4). Dále: (-4)(-4)=16. Pro jiné hodnoty proveďte tyto operace sami. Pokud jste udělali vše správně, pak po sečtení všech průběžných výsledků dostanete 90.
Pokračujte ve výpočtu rozptylu a průměru vydělením 90 N. Proč volíme N a ne N-1? Je to tak, protože počet provedených experimentů přesahuje 30. Takže: 90/10=9. Získali jsme rozptyl. Pokud vám přijde jiné číslo, nezoufejte. S největší pravděpodobností jste ve výpočtech udělali banální chybu. Ještě jednou zkontrolujte, co jste napsali, a vše jistě zapadne na své místo.
Nakonec si připomeňme vzorec očekávání. Nebudeme uvádět všechny výpočty, napíšeme pouze odpověď, kterou si můžete zkontrolovat po dokončení všech požadovaných postupů. Očekávání se bude rovnat 5, 48. Připomínáme pouze, jak provádět operace, na příkladu prvních prvků: 00, 02 + 10, 1… a tak dále. Jak vidíte, jednoduše vynásobíme hodnotu výsledku jeho pravděpodobností.
Odchylka
Další koncept úzce souvisí s rozptylem a očekávanou hodnotoustandardní odchylka. Označuje se buď latinskými písmeny sd, nebo řeckým malým písmenem „sigma“. Tento koncept ukazuje, jak se v průměru hodnoty odchylují od centrální funkce. Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte vypočítat druhou odmocninu rozptylu.
Pokud vytvoříte graf normálního rozdělení a chcete na něm přímo vidět hodnotu směrodatné odchylky, lze to provést v několika fázích. Vezměte polovinu obrázku vlevo nebo vpravo od režimu (středová hodnota), nakreslete kolmici k vodorovné ose tak, aby se plochy výsledných obrazců rovnaly. Hodnota segmentu mezi středem rozdělení a výslednou projekcí na vodorovnou osu bude směrodatná odchylka.
Software
Jak můžete vidět z popisů vzorců a uvedených příkladů, výpočet rozptylu a matematického očekávání není z aritmetického hlediska nejjednodušší postup. Abychom neztráceli čas, má smysl používat program používaný ve vysokoškolském vzdělávání - nazývá se "R". Má funkce, které vám umožňují vypočítat hodnoty pro mnoho pojmů ze statistiky a teorie pravděpodobnosti.
Například definujete vektor hodnot. To se provádí následovně: vektor <-c(1, 5, 2…). Nyní, když potřebujete vypočítat nějaké hodnoty pro tento vektor, napíšete funkci a dáte ji jako argument. Chcete-li najít rozptyl, budete muset použít var. Její příkladpoužití: var(vektor). Pak už jen stisknete "enter" a získáte výsledek.
Na závěr
Variance a matematické očekávání jsou základními pojmy teorie pravděpodobnosti, bez kterých je těžké v budoucnu něco spočítat. V hlavním kurzu přednášek na vysokých školách jsou zvažovány již v prvních měsících studia předmětu. Právě kvůli nedostatečnému porozumění těmto jednoduchým pojmům a neschopnosti je vypočítat mnoho studentů okamžitě začne v programu zaostávat a později dostanou na konci sezení špatné známky, což je připraví o stipendia.
Cvičte alespoň jeden týden půl hodiny denně a řešte problémy podobné těm, které jsou uvedeny v tomto článku. Pak si v jakémkoli testu teorie pravděpodobnosti poradíte s příklady bez nadbytečných tipů a cheatů.
