K nalezení distribučních funkcí náhodných veličin a jejich proměnných je nutné prostudovat všechny rysy tohoto oboru vědění. Existuje několik různých metod pro nalezení příslušných hodnot, včetně změny proměnné a generování momentu. Distribuce je koncept založený na takových prvcích, jako je rozptyl, variace. Charakterizují však pouze stupeň amplitudy rozptylu.
Důležitější funkce náhodných proměnných jsou ty, které jsou příbuzné, nezávislé a rovnoměrně rozdělené. Pokud například X1 je váha náhodně vybraného jedince z mužské populace, X2 je váha jiného, … a Xn je váha další osoby z mužské populace, pak potřebujeme vědět, jak náhodná funkce X je distribuováno. V tomto případě platí klasická věta zvaná centrální limitní věta. Umožňuje vám ukázat, že pro velké n funkce následuje standardní distribuce.
Funkce jedné náhodné proměnné
Centrální limitní teorém slouží k aproximaci uvažovaných diskrétních hodnot, jako jsou binomické a Poissonovy. Distribuční funkce náhodných veličin jsou uvažovány především na jednoduchých hodnotách jedné proměnné. Například, pokud X je spojitá náhodná veličina mající své vlastní rozdělení pravděpodobnosti. V tomto případě prozkoumáme, jak najít funkci hustoty Y pomocí dvou různých přístupů, konkrétně metody distribuční funkce a změny proměnné. Nejprve se berou v úvahu pouze hodnoty jedna ku jedné. Pak musíte upravit techniku změny proměnné, abyste našli její pravděpodobnost. Nakonec se musíme naučit, jak může funkce inverzního kumulativního rozdělení pomoci modelovat náhodná čísla, která sledují určité sekvenční vzory.
Metoda distribuce uvažovaných hodnot
Metoda funkce rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je použitelná pro zjištění její hustoty. Při použití této metody se vypočítá kumulativní hodnota. Tím, že to diferencujete, můžete získat hustotu pravděpodobnosti. Nyní, když máme metodu distribuční funkce, můžeme se podívat na několik dalších příkladů. Nechť X je spojitá náhodná proměnná s určitou hustotou pravděpodobnosti.
Jaká je funkce hustoty pravděpodobnosti x2? Pokud se podíváte na nebo graf funkce (nahoře a vpravo) y \u003d x2, můžete si všimnout, že jde o rostoucí X a 0 <y<1. Nyní musíte použít uvažovanou metodu k nalezení Y. Nejprve je nalezena funkce kumulativního rozdělení, stačí pouze diferencovat, abyste získali hustotu pravděpodobnosti. Když tak učiníme, dostaneme: 0<y<1. Distribuční metoda byla úspěšně implementována k nalezení Y, když Y je rostoucí funkcí X. Mimochodem, f(y) se integruje do 1 přes y.
V posledním příkladu byla věnována velká pozornost indexování kumulativních funkcí a hustoty pravděpodobnosti pomocí X nebo Y, aby bylo možné označit, ke které náhodné proměnné patří. Například při hledání kumulativní distribuční funkce Y jsme dostali X. Pokud potřebujete najít náhodnou veličinu X a její hustotu, pak ji stačí diferencovat.
Technika variabilní změny
Nechť X je spojitá náhodná veličina daná distribuční funkcí se společným jmenovatelem f (x). V tomto případě, pokud vložíte hodnotu y do X=v (Y), dostanete hodnotu x, například v (y). Nyní potřebujeme získat distribuční funkci spojité náhodné veličiny Y. Kde první a druhá rovnost nastává z definice kumulativní Y. Třetí rovnost platí, protože část funkce, pro kterou je u (X) ≦ y také platí, že X ≦ v (Y). A poslední se provádí k určení pravděpodobnosti ve spojité náhodné proměnné X. Nyní musíme vzít derivaci FY (y), kumulativní distribuční funkce Y, abychom dostali hustotu pravděpodobnosti Y.
Zobecnění pro funkci snížení
Nechť X je spojitá náhodná proměnná se společným f (x) definovaným přes c1<x<c2. A nechť Y=u (X) je klesající funkce X s inverzní X=v (Y). Protože je funkce spojitá a klesající, existuje inverzní funkce X=v (Y).
Pro vyřešení tohoto problému můžete shromažďovat kvantitativní data a používat empirickou kumulativní distribuční funkci. S těmito informacemi a přitažlivostí k nim musíte kombinovat vzorky prostředků, standardní odchylky, mediální data atd.
Podobně i docela jednoduchý pravděpodobnostní model může mít obrovské množství výsledků. Pokud například hodíte mincí 332krát. Potom je počet výsledků získaných z flipů větší než počet výsledků google (10100) - číslo, ale ne méně než 100 kvintiliónkrát vyšší než u elementárních částic ve známém vesmíru. Nezajímá mě analýza, která dává odpověď na každý možný výsledek. Byl by potřeba jednodušší koncept, jako je počet hlav nebo nejdelší zdvih ocasů. Chcete-li se zaměřit na otázky zájmu, je přijat konkrétní výsledek. Definice v tomto případě je následující: náhodná proměnná je reálná funkce s prostorem pravděpodobnosti.
Rozsah S náhodné proměnné se někdy nazývá stavový prostor. Pokud je tedy X dotyčná hodnota, pak tedy N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc atd. Poslední z nich, zaokrouhlení X na nejbližší celé číslo, se nazývá funkce podlahy.
Distribuční funkce
Jakmile je určena distribuční funkce, která nás zajímá, pro náhodnou proměnnou x, otázka obvykle zní: „Jaké jsou šance, že X spadá do nějaké podmnožiny hodnot B?“. Například B={lichá čísla}, B={větší než 1} nebo B={mezi 2 a 7} k označení výsledků, které mají hodnotu Xnáhodná proměnná v podmnožině A. Ve výše uvedeném příkladu tedy můžete události popsat následovně.
{X je liché číslo}, {X je větší než 1}={X> 1}, {X je mezi 2 a 7}={2 <X <7}, aby odpovídalo třem výše uvedeným možnostem pro podmnožinu B. Mnoho vlastností náhodných veličin nesouvisí s konkrétním X. Spíše závisí na tom, jak X přiděluje své hodnoty. To vede k definici, která zní takto: distribuční funkce náhodné proměnné x je kumulativní a je určena kvantitativním pozorováním.
Náhodné proměnné a distribuční funkce
Můžete tedy vypočítat pravděpodobnost, že distribuční funkce náhodné veličiny x bude nabývat hodnot v intervalu odečtením. Přemýšlejte o zahrnutí nebo vyloučení koncových bodů.
Náhodnou proměnnou budeme nazývat diskrétní, pokud má konečný nebo spočetně nekonečný stavový prostor. X je tedy počet hlav na třech nezávislých hodech vychýlené mince, který stoupá s pravděpodobností p. Potřebujeme najít kumulativní distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny FX pro X. Nechť X je počet vrcholů ve sbírce tří karet. Pak Y=X3 přes FX. FX začíná na 0, končí na 1 a neklesá, když se hodnoty x zvyšují. Kumulativní FX distribuční funkce diskrétní náhodné proměnné X je konstantní, s výjimkou skoků. Při skákání je FX spojitý. Dokažte tvrzení o správnostinávaznost distribuční funkce z pravděpodobnostní vlastnosti je možná pomocí definice. Zní to takto: konstantní náhodná proměnná má kumulativní FX, který je diferencovatelný.
Abychom ukázali, jak se to může stát, můžeme uvést příklad: cíl s jednotkovým poloměrem. Pravděpodobně. šipka je rovnoměrně rozmístěna po určené ploše. Pro některé λ> 0. Distribuční funkce spojitých náhodných veličin tedy plynule rostou. FX má vlastnosti distribuční funkce.
Muž čeká na autobusové zastávce, dokud autobus nepřijede. Sám se rozhodl, že odmítne, když čekání dosáhne 20 minut. Zde je potřeba najít funkci kumulativní distribuce pro T. Čas, kdy člověk ještě bude na autobusovém nádraží nebo neodjede. Nehledě na to, že pro každou náhodnou veličinu je definována kumulativní distribuční funkce. Přesto se poměrně často budou používat další charakteristiky: hmotnost pro diskrétní proměnnou a funkce hustoty rozdělení náhodné veličiny. Obvykle se hodnota zobrazuje prostřednictvím jedné z těchto dvou hodnot.
Hromadné funkce
Tyto hodnoty jsou uvažovány následujícími vlastnostmi, které mají obecný (hmotnostní) charakter. První je založen na skutečnosti, že pravděpodobnosti nejsou záporné. Druhý vyplývá z pozorování, že množina pro všechna x=2S, stavový prostor pro X, tvoří oddíl pravděpodobnostní svobody X. Příklad: házení zaujaté mince, jejíž výsledky jsou nezávislé. Můžete pokračovaturčité akce, dokud nezískáte roli hlavy. Nechť X označuje náhodnou veličinu, která udává počet ocasů před první hlavou. A p označuje pravděpodobnost v jakékoli dané akci.
Funkce hromadné pravděpodobnosti má tedy následující charakteristické rysy. Protože členy tvoří číselnou posloupnost, X se nazývá geometrická náhodná proměnná. Geometrické schéma c, cr, cr2,.,,, crn má součet. A proto má sn limitu jako n 1. V tomto případě je limitou nekonečný součet.
Hmotnostní funkce výše tvoří geometrickou posloupnost s poměrem. Proto přirozená čísla a a b. Rozdíl hodnot v distribuční funkci je roven hodnotě hmotnostní funkce.
Uvažované hodnoty hustoty mají definici: X je náhodná proměnná, jejíž rozložení FX má derivaci. FX splňující Z xFX (x)=fX (t) dt-1 se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti. A X se nazývá spojitá náhodná veličina. V základní větě počtu je funkce hustoty derivací rozdělení. Pravděpodobnosti můžete vypočítat výpočtem určitých integrálů.
Vzhledem k tomu, že data jsou shromažďována z více pozorování, musí být pro modelování experimentálních postupů uvažována více než jedna náhodná proměnná najednou. Proto množina těchto hodnot a jejich společné rozdělení pro dvě proměnné X1 a X2 znamená prohlížení událostí. Pro diskrétní náhodné veličiny jsou definovány společné pravděpodobnostní hmotnostní funkce. Pro spojité jsou uvažovány fX1, X2, kdeje splněna společná hustota pravděpodobnosti.
Nezávislé náhodné proměnné
Dvě náhodné proměnné X1 a X2 jsou nezávislé, pokud jsou jakékoli dvě události s nimi spojené stejné. Řečeno slovy, pravděpodobnost, že dvě události {X1 2 B1} a {X2 2 B2} nastanou současně, y, se rovná součinu výše uvedených proměnných, že každá z nich nastane samostatně. Pro nezávislé diskrétní náhodné veličiny existuje společná pravděpodobnostní hmotnostní funkce, která je součinem limitního objemu iontů. Pro spojité náhodné proměnné, které jsou nezávislé, je sdružená funkce hustoty pravděpodobnosti součinem hodnot mezní hustoty. Nakonec uvažujeme n nezávislých pozorování x1, x2,.,,, xn vyplývající z neznámé hustoty nebo hmotnostní funkce f. Například neznámý parametr ve funkcích pro exponenciální náhodnou proměnnou popisující dobu čekání na sběrnici.
Imitace náhodných proměnných
Hlavním cílem tohoto teoretického oboru je poskytnout nástroje potřebné k vývoji inferenčních postupů založených na solidních statistických vědeckých principech. Jedním z velmi důležitých případů použití softwaru je tedy schopnost generovat pseudodata k napodobování skutečných informací. To umožňuje testovat a vylepšovat analytické metody předtím, než je budete muset použít ve skutečných databázích. To je nutné k prozkoumání vlastností dat prostřednictvímmodelování. Pro mnoho běžně používaných rodin náhodných proměnných poskytuje R příkazy pro jejich generování. Za jiných okolností budou potřebné metody pro modelování posloupnosti nezávislých náhodných proměnných, které mají společné rozdělení.
Diskrétní náhodné proměnné a příkazový vzor. Příkaz sample se používá k vytváření jednoduchých a stratifikovaných náhodných vzorků. Výsledkem je, že pokud je zadána sekvence x, sample(x, 40) vybere 40 záznamů z x tak, že všechny volby o velikosti 40 mají stejnou pravděpodobnost. To používá výchozí příkaz R pro načtení bez nahrazení. Může být také použit k modelování diskrétních náhodných proměnných. Chcete-li to provést, musíte poskytnout stavový prostor ve vektoru x a funkci hmoty f. Volání k nahrazení=TRUE znamená, že při nahrazení dojde k vzorkování. K získání vzorku n nezávislých náhodných proměnných, které mají společnou hmotnostní funkci f, se použije vzorek (x, n, nahradit=PRAVDA, pravděpodobnost=f).
Určeno, že 1 je nejmenší zastoupená hodnota a 4 je největší ze všech. Pokud je vynechán příkaz prob=f, bude vzorek vzorkovat rovnoměrně z hodnot ve vektoru x. Simulaci můžete porovnat s hmotnostní funkcí, která vygenerovala data, když se podíváte na dvojité znaménko==. A přepočítání pozorování, která mají všechny možné hodnoty pro x. Můžete si udělat stůl. Opakujte to pro 1000 a porovnejte simulaci s odpovídající funkcí hmotnosti.
Ukázka transformace pravděpodobnosti
Prvnísimulovat homogenní distribuční funkce náhodných veličin u1, u2,.,,, un na intervalu [0, 1]. Asi 10 % čísel by mělo být v rozmezí [0, 3, 0, 4]. To odpovídá 10 % simulací na intervalu [0, 28, 0, 38] pro náhodnou veličinu se znázorněnou funkcí FX rozdělení. Podobně by asi 10 % náhodných čísel mělo být v intervalu [0, 7, 0, 8]. To odpovídá 10% simulacím na intervalu [0, 96, 1, 51] náhodné veličiny s distribuční funkcí FX. Tyto hodnoty na ose x lze získat převrácením z FX. Je-li X spojitá náhodná veličina s kladnou hustotou fX všude ve své oblasti, pak distribuční funkce je přísně rostoucí. V tomto případě má FX inverzní funkci FX-1 známou jako kvantilová funkce. FX (x) u pouze když x FX-1 (u). Transformace pravděpodobnosti vyplývá z analýzy náhodné veličiny U=FX (X).
FX má rozsah 0 až 1. Nesmí být pod 0 nebo nad 1. Pro hodnoty u mezi 0 a 1. Pokud lze simulovat U, pak musí být náhodná proměnná s rozložením FX simulované pomocí kvantilové funkce. Vezměme si derivaci, abychom viděli, že hustota u se mění v rámci 1. Protože náhodná veličina U má konstantní hustotu v intervalu svých možných hodnot, nazývá se jednotná na intervalu [0, 1]. Je modelován v R pomocí příkazu runif. Identita se nazývá pravděpodobnostní transformace. Jak to funguje, můžete vidět na příkladu šipky. X mezi 0 a 1, funkcerozdělení u=FX (x)=x2, a tedy kvantilová funkce x=FX-1 (u). Je možné modelovat nezávislá pozorování vzdálenosti od středu šipkového panelu, a vytvářet tak jednotné náhodné veličiny U1, U2,.,, Un. Distribuční funkce a empirická funkce jsou založeny na 100 simulacích rozložení terče. Pro exponenciální náhodnou proměnnou pravděpodobně u=FX (x)=1 - exp (- x), a tedy x=- 1 ln (1 - u). Někdy se logika skládá z ekvivalentních výroků. V tomto případě musíte zřetězit dvě části argumentu. Identita křižovatky je podobná pro všechny 2 {S i i} S, místo nějaké hodnoty. Sjednocení Ci se rovná stavovému prostoru S a každý pár se vzájemně vylučuje. Protože Bi - se dělí na tři axiomy. Každá kontrola je založena na odpovídající pravděpodobnosti P. Pro libovolnou podmnožinu. Pomocí identity se ujistěte, že odpověď nezávisí na tom, zda jsou zahrnuty koncové body intervalu.
Exponenciální funkce a její proměnné
Pro každý výsledek ve všech událostech je nakonec použita druhá vlastnost spojitosti pravděpodobností, která je považována za axiomatickou. Zákon rozdělení funkce náhodné veličiny zde ukazuje, že každá má své vlastní řešení a odpověď.
