Prisma je mnohostěn nebo mnohostěn, který se studuje ve školním kurzu tělesové geometrie. Jednou z důležitých vlastností tohoto mnohostěnu je jeho objem. Uvažujme v článku, jak lze tuto hodnotu vypočítat, a také uveďme vzorce pro objem hranolů - pravidelné čtyřúhelníkové a šestihranné.
Prisma ve stereometrii
Tento obrazec je chápán jako mnohostěn, který se skládá ze dvou identických mnohoúhelníků umístěných v rovnoběžných rovinách az několika rovnoběžníků. U určitých typů hranolů mohou rovnoběžníky představovat pravoúhlé čtyřúhelníky nebo čtverce. Níže je uveden příklad takzvaného pětibokého hranolu.
Abyste sestavili figurku jako na obrázku výše, musíte vzít pětiúhelník a provést jeho paralelní přesun do určité vzdálenosti v prostoru. Spojením stran dvou pětiúhelníků pomocí rovnoběžníků získáme požadovaný hranol.
Každý hranol se skládá z ploch, vrcholů a hran. Vrcholy hranoluna rozdíl od pyramidy jsou si rovny, každá z nich se vztahuje k jedné ze dvou základen. Plochy a hrany jsou dvojího typu: ty, které patří k základnám, a ty, které patří ke stranám.
Hranoly jsou několika typů (správné, šikmé, konvexní, rovné, konkávní). Uvažujme dále v článku, podle jakého vzorce se vypočítá objem hranolu, vezmeme-li v úvahu tvar obrazce.
Obecný výraz pro určení objemu hranolu
Bez ohledu na to, k jakému typu studovaná postava patří, zda je rovná nebo šikmá, pravidelná nebo nepravidelná, existuje univerzální výraz, který umožňuje určit její objem. Objem prostorové postavy je plocha prostoru, která je uzavřena mezi jejími plochami. Obecný vzorec pro objem hranolu je:
V=So × h.
Zde So představuje plochu základny. Je třeba si uvědomit, že mluvíme o jednom základu a ne o dvou. Hodnota h je výška. Výška studovaného obrazce je chápána jako vzdálenost mezi jeho identickými základnami. Pokud se tato vzdálenost shoduje s délkami bočních žeber, pak se mluví o rovném hranolu. Na rovném obrázku jsou všechny strany obdélníky.
Pokud je tedy hranol šikmý a má nepravidelný mnohoúhelník základny, pak se výpočet jeho objemu stává složitějším. Pokud je obrázek rovný, pak se výpočet objemu redukuje pouze na určení plochy základny So.
Určení objemu běžné postavy
Pravidelný je jakýkoli hranol, který je rovný a má polygonální základnu se stranami a úhly navzájem shodnými. Například takové pravidelné mnohoúhelníky jsou čtverec a rovnostranný trojúhelník. Zároveň kosočtverec není pravidelný obrazec, protože ne všechny jeho úhly jsou stejné.
Vzorec pro objem pravidelného hranolu jednoznačně vyplývá z obecného výrazu pro V, který byl napsán v předchozím odstavci článku. Než přistoupíte k zápisu odpovídajícího vzorce, je nutné určit oblast správné základny. Aniž bychom zacházeli do matematických detailů, uvádíme vzorec pro určení uvedené oblasti. Je univerzální pro jakýkoli běžný n-úhelník a má následující tvar:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Jak můžete vidět z výrazu, oblast Sn je funkcí dvou parametrů. Celé číslo n může nabývat hodnot od 3 do nekonečna. Hodnota a je délka strany n-úhelníku.
Pro výpočet objemu obrazce je potřeba pouze vynásobit plochu S výškou h nebo délkou boční hrany b (h=b). Výsledkem je následující pracovní vzorec:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Všimněte si, že k určení objemu hranolu libovolného typu potřebujete znát několik veličin (délky stran základny, výšku, úhly dihedrálního tvaru), ale pro výpočet hodnoty V pravidelný hranol, potřebujeme znát pouze dva lineární parametry, například a a h.
Objem čtyřbokého pravidelného hranolu
Čtyřboký hranol se nazývá rovnoběžnostěn. Pokud jsou všechny jeho plochy stejné a jsou čtvercové, bude taková postava krychle. Každý student ví, že objem obdélníkového hranolu nebo krychle se určí vynásobením jeho tří různých stran (délka, výška a šířka). Tato skutečnost vyplývá ze zapsaného obecného vyjádření objemu pro regulární útvar:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Zde je kotangens 45° roven 1. Všimněte si, že rovnost výšky h a délky strany základny a automaticky vede ke vzorci pro objem krychle.
Objem šestihranného pravidelného hranolu
Nyní použijte výše uvedenou teorii k určení objemu obrazce se šestihrannou základnou. K tomu stačí dosadit hodnotu n=6 ve vzorci:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Psaný výraz lze získat nezávisle bez použití univerzálního vzorce pro S. Chcete-li to provést, musíte rozdělit pravidelný šestiúhelník na šest rovnostranných trojúhelníků. Strana každého z nich bude rovna a. Plocha jednoho trojúhelníku odpovídá:
S3=√3/4 × a2.
Vynásobením této hodnoty počtem trojúhelníků (6) a výškou dostaneme výše uvedený vzorec pro objem.
