Vzorec pro určení objemu kužele. Příklad řešení problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Každý student při studiu stereometrie na střední škole narazil na kužel. Dvě důležité charakteristiky tohoto prostorového útvaru jsou plocha a objem. V tomto článku si ukážeme, jak zjistit objem kulatého kužele.

Kulatý kužel jako tvar rotace pravoúhlého trojúhelníku

Než přejdeme přímo k tématu článku, je nutné popsat kužel z geometrického hlediska.

Ať je tam nějaký pravoúhlý trojúhelník. Pokud jím otočíte kolem kterékoli nohy, výsledkem této akce bude požadovaná figura, jak je znázorněno na obrázku níže.

Tady je noha AB součástí osy kužele a její délka odpovídá výšce postavy. Druhá větev (segment CA) bude mít poloměr kužele. Během rotace bude popisovat kružnici, která ohraničuje základnu obrázku. Přepona BC se nazývá tvořící čára obrazce nebo její tvořící čára. Bod B je jediným vrcholem kužele.

Vzhledem k vlastnostem trojúhelníku ABC můžeme vztah mezi tvořící přímkou g, poloměrem r a výškou h zapsat následovněrovnost:

g²=h²+ r²

Tento vzorec je užitečný při řešení mnoha geometrických problémů s daným obrazcem.

Vzorec pro objem kužele

Objem jakéhokoli prostorového obrazce je plocha prostoru, která je omezena povrchy tohoto obrazce. Existují dva takové povrchy pro kužel:

1. Boční nebo kónické. Je tvořena všemi generatrics.
2. Nadace. V tomto případě se jedná o kruh.

Získejte vzorec pro určení objemu kužele. Abychom to udělali, mentálně jej rozřezáme na mnoho vrstev rovnoběžných se základnou. Každá z vrstev má tloušťku dx, která má tendenci k nule. Plocha S_x vrstvy ve vzdálenosti x od horní části obrázku se rovná následujícímu výrazu:

S_x=pir²x²/h ²

Platnost tohoto výrazu lze intuitivně ověřit dosazením hodnot x=0 a x=h. V prvním případě dostaneme plochu rovnou nule, ve druhém případě se bude rovnat ploše kulaté základny.

Abyste určili objem kužele, musíte sečíst malé „objemy“každé vrstvy, to znamená, že byste měli použít integrální počet:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Výpočtem tohoto integrálu dospějeme ke konečnému vzorci pro kulatý kužel:

V=1/3pir²h

Je zajímavé poznamenat, že tento vzorec je zcela podobný tomu, který se používá k výpočtu objemu libovolné pyramidy. Tato shoda není náhodná, protože každá pyramida se stane kuželem, když počet jejích hran vzroste do nekonečna.

Problém s výpočtem objemu

Je užitečné uvést příklad řešení problému, který demonstruje použití odvozeného vzorce pro objem V.

Máme kulatý kužel, jehož základní plocha je 37 cm² a generátor obrázku je trojnásobek poloměru. Jaký je objem kužele?

Máme právo použít objemový vzorec, pokud známe dvě veličiny: výšku h a poloměr r. Pojďme najít vzorce, které je určí v souladu se stavem problému.

Poloměr r lze vypočítat na základě znalosti plochy kruhu S_o, máme:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Pomocí podmínky problému zapíšeme rovnost pro generátor g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Znáte-li vzorce pro rag, vypočítejte výšku h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi – S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Našli jsme všechny potřebné parametry. Nyní je čas je zapojit do vzorce pro V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Zbývá nahraditzákladní plocha S_o a vypočítejte hodnotu objemu: V=119,75 cm³.