Povrch rovného hranolu: vzorce a příklad problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Objem a plocha povrchu jsou dvě důležité charakteristiky jakéhokoli tělesa, které má konečné rozměry v trojrozměrném prostoru. V tomto článku uvažujeme o dobře známé třídě mnohostěnů - hranolech. Zejména bude odhalena otázka, jak najít povrchovou plochu přímého hranolu.

Co je hranol?

Prizma je jakýkoli mnohostěn, který je ohraničen několika rovnoběžníky a dvěma identickými mnohoúhelníky umístěnými v rovnoběžných rovinách. Tyto mnohoúhelníky jsou považovány za základnu obrázku a jeho rovnoběžníky jsou strany. Počet stran (rohů) základny určuje název figury. Například obrázek níže ukazuje pětiboký hranol.

Vzdálenost mezi základnami se nazývá výška postavy. Pokud je výška rovna délce libovolné boční hrany, pak bude takový hranol rovný. Druhá dostatečná vlastnost pro rovný hranol je, že všechny jeho strany jsou obdélníky nebo čtverce. Pokud všakPokud je jedna strana obecný rovnoběžník, pak bude obrazec nakloněný. Níže můžete vidět, jak se rovné a šikmé hranoly vizuálně liší na příkladu čtyřúhelníkových obrazců.

Povrch rovného hranolu

Pokud má geometrický útvar n-gonální základnu, pak se skládá z n+2 ploch, z nichž n jsou obdélníky. Označme délky stran podstavy jako a_i, kde i=1, 2, …, n, a označme výšku obrazce, která se rovná délce boční hrana, jako h. Chcete-li určit plochu (S) povrchu všech ploch, přidejte plochu S_{o každé ze základen a všech ploch stran (obdélníků). Vzorec pro S v obecném tvaru lze tedy napsat takto:}

S=2S_o+ S_b

Kde S_{b je boční plocha.}

Vzhledem k tomu, že základnou přímého hranolu může být absolutně jakýkoli plochý mnohoúhelník, nelze zadat jediný vzorec pro výpočet S_{oa pro určení této hodnoty obecně V tomto případě by měla být provedena geometrická analýza. Pokud je například základna pravidelný n-úhelník se stranou a, pak se její plocha vypočítá podle vzorce:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Pokud jde o hodnotu S_{b, lze uvést výraz pro její výpočet. Boční plocha přímého hranolu je:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

To je hodnotaS_{b se vypočítá jako součin výšky postavy a obvodu její základny.}

Příklad řešení problému

Použijme získané znalosti k vyřešení následujícího geometrického problému. Daný hranol, jehož základnou je pravoúhlý trojúhelník se stranami v pravém úhlu 5 cm a 7 cm. Výška postavy je 10 cm. Je nutné najít povrch pravoúhlého trojúhelníkového hranolu.

Nejprve vypočítejme přeponu trojúhelníku. Bude se rovnat:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Teď udělejme ještě jednu přípravnou matematickou operaci – vypočítejte obvod základny. Bude to:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Plocha bočního povrchu obrázku se vypočítá jako součin hodnoty P a výšky h=10 cm, tedy S_b=206 cm ^2.

Abyste našli plochu celého povrchu, je třeba k nalezené hodnotě přidat dvě základní plochy. Protože plocha pravoúhlého trojúhelníku je určena polovinou součinu nohou, dostaneme:

2S_o=257/2=35 cm²

Pak dostaneme, že plocha povrchu přímého trojúhelníkového hranolu je 35 + 206=241 cm2.