Neřešitelné problémy je 7 nejzajímavějších matematických problémů. Každý z nich byl najednou navržen známými vědci, zpravidla ve formě hypotéz. Po mnoho desetiletí si matematici po celém světě lámali hlavu nad jejich řešením. Ti, kteří uspějí, budou odměněni milionem amerických dolarů, které nabízí Clay Institute.
Backtory
V roce 1900 představil velký německý matematik David Hilbert seznam 23 problémů.
Výzkum prováděný k jejich vyřešení měl obrovský dopad na vědu 20. století. V současné době většina z nich přestala být záhadou. Mezi nevyřešenými nebo částečně vyřešenými byly:
- problém konzistence aritmetických axiomů;
- obecný zákon reciprocity na prostoru libovolného číselného pole;
- matematické studium fyzikálních axiomů;
- studium kvadratických forem pro libovolnou algebraickou numerickou hodnotukurz;
- problém rigorózního zdůvodnění výpočtové geometrie Fjodora Schuberta;
- etc.
Neprozkoumané jsou: problém rozšíření známé Kroneckerovy věty na jakoukoli algebraickou oblast racionality a Riemannova hypotéza.
The Clay Institute
Toto je název soukromé neziskové organizace se sídlem v Cambridge ve státě Massachusetts. V roce 1998 ji založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikatel L. Clay. Cílem ústavu je popularizovat a rozvíjet matematické znalosti. Aby toho dosáhla, organizace uděluje ceny vědcům a sponzorům slibujícím výzkum.
Na počátku 21. století nabídl Clayův institut matematiky cenu těm, kteří řeší to, co je známo jako nejtěžší neřešitelné problémy, a jejich seznam nazval Problémy tisíciletí. Do Hilbertova seznamu byla zahrnuta pouze Riemannova hypotéza.
Výzvy tisíciletí
Seznam The Clay Institute původně obsahoval:
- hypotéza Hodgeova cyklu;
- kvantové rovnice Yang-Millsovy teorie;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tříd P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- Navier-Stokesovy rovnice o existenci a hladkosti jejich řešení;
- Birch-Swinnerton-Dyer problém.
Tyto otevřené matematické problémy jsou velmi zajímavé, protože mohou mít mnoho praktických implementací.
Co dokázal Grigory Perelman
V roce 1900 slavný filozof Henri Poincaré navrhl, že každý jednoduše připojený kompaktní 3-rozvod bez hranic je homeomorfní k 3-rozměrné kouli. Jeho důkaz v obecném případě nebyl nalezen po celé století. Jen v letech 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman řadu článků s řešením Poincarého problému. Měly účinek vybuchující bomby. V roce 2010 byla Poincarého hypotéza vyloučena ze seznamu „Nevyřešených problémů“Clay Institute a Perelmanovi bylo nabídnuto, že kvůli němu obdrží značnou odměnu, kterou ten druhý odmítl, aniž by vysvětlil důvody svého rozhodnutí.
Nejsrozumitelnější vysvětlení toho, co se ruskému matematikovi podařilo dokázat, lze poskytnout tak, že si představíte, že gumový kotouč je natažen na koblihu (torus) a poté se snaží okraje jeho kruhu stáhnout do jednoho bodu. Zjevně to není možné. Další věc, pokud tento experiment provedete s míčem. V tomto případě by zdánlivě trojrozměrná koule, která vznikla z disku, jehož obvod byl přitažen do bodu hypotetickou šňůrou, byla trojrozměrná v chápání běžného člověka, ale dvourozměrná z hlediska matematiky.
Poincare navrhl, že trojrozměrná koule je jediným trojrozměrným „objektem“, jehož povrch lze stáhnout do jednoho bodu, a Perelman to dokázal. Seznam „neřešitelných problémů“se tedy dnes skládá ze 6 problémů.
Yang-Millsova teorie
Tento matematický problém byl navržen jeho autory v roce 1954. Vědecká formulace teorie je následující:pro jakoukoli jednoduchou skupinu kompaktních měřidel existuje kvantová prostorová teorie vytvořená Yangem a Millsem a zároveň má nulovou hmotnostní vadu.
Hovoříme-li jazykem srozumitelným běžnému člověku, interakce mezi přírodními objekty (částice, tělesa, vlny atd.) jsou rozděleny do 4 typů: elektromagnetické, gravitační, slabé a silné. Po mnoho let se fyzici pokoušeli vytvořit obecnou teorii pole. Měl by se stát nástrojem pro vysvětlení všech těchto interakcí. Yang-Millsova teorie je matematický jazyk, pomocí kterého bylo možné popsat 3 ze 4 hlavních přírodních sil. Neplatí pro gravitaci. Nelze tedy mít za to, že Yang a Mills uspěli ve vytvoření teorie pole.
Kromě toho, nelinearita navržených rovnic je extrémně obtížně řeší. Pro malé vazebné konstanty je lze přibližně vyřešit ve formě řady poruchové teorie. Zatím však není jasné, jak lze tyto rovnice vyřešit silnou vazbou.
Navier-Stokesovy rovnice
Tyto výrazy popisují procesy jako proudění vzduchu, proudění tekutin a turbulence. Pro některé speciální případy již byla nalezena analytická řešení Navier-Stokesovy rovnice, ale zatím se to nikomu nepodařilo pro tu obecnou. Numerické simulace pro konkrétní hodnoty rychlosti, hustoty, tlaku, času a tak dále mohou zároveň dosáhnout vynikajících výsledků. Zbývá doufat, že někdo bude schopen aplikovat Navier-Stokesovy rovnice obráceněsměr, tj. vypočítat pomocí nich parametry nebo dokázat, že neexistuje žádná metoda řešení.
Birch-Swinnerton-Dyer problém
Kategorie „Nevyřešené problémy“zahrnuje také hypotézu navrženou britskými vědci z University of Cambridge. Dokonce před 2300 lety poskytl starověký řecký vědec Euclid úplný popis řešení rovnice x2 + y2=z2.
Pokud pro každé prvočíslo spočítáme počet bodů na křivce modulo it, dostaneme nekonečnou množinu celých čísel. Pokud to konkrétně „nalepíte“do 1 funkce komplexní proměnné, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkci pro křivku třetího řádu, označovanou písmenem L. Obsahuje informace o chování modulo všech prvočísel najednou.
Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer uvažovali o eliptických křivkách. Struktura a počet množiny jejích racionálních řešení podle ní souvisí s chováním L-funkce u identity. V současnosti neprokázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domněnka závisí na popisu algebraických rovnic 3. stupně a je jediným relativně jednoduchým obecným způsobem, jak vypočítat hodnost eliptických křivek.
Abychom pochopili praktický význam tohoto úkolu, stačí říci, že v moderní kryptografii je celá třída asymetrických systémů založena na eliptických křivkách a na jejich aplikaci jsou založeny domácí standardy digitálního podpisu.
Rovnost tříd p a np
Pokud jsou ostatní výzvy tisíciletí čistě matematické, pak tato mávztah k aktuální teorii algoritmů. Problém týkající se rovnosti tříd p a np, známý také jako Cooke-Levinův problém, lze formulovat srozumitelným jazykem následovně. Předpokládejme, že kladnou odpověď na určitou otázku lze zkontrolovat dostatečně rychle, tj. v polynomiálním čase (PT). Je tedy správné tvrzení, že odpověď na něj lze nalézt poměrně rychle? Tento problém zní ještě jednodušeji takto: opravdu není obtížnější řešení problému zkontrolovat, než jej najít? Pokud se někdy prokáže rovnost tříd p a np, pak lze pro PV vyřešit všechny výběrové problémy. V tuto chvíli mnoho odborníků pochybuje o pravdivosti tohoto tvrzení, ačkoli nemohou dokázat opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebyl nalezen žádný vzor, který by popisoval, jak jsou prvočísla distribuována mezi přirozená čísla. Možná to bylo způsobeno tím, že věda se zabývala jinými otázkami. V polovině 19. století se však situace změnila a staly se jedním z nejdůležitějších, kterými se matematika začala zabývat.
Riemannova hypotéza, která se objevila v tomto období, je předpokladem, že v distribuci prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes se mnoho moderních vědců domnívá, že pokud se to prokáže, bude nutné revidovat mnohé ze základních principů moderní kryptografie, které tvoří základ významné části mechanismů elektronického obchodování.
Podle Riemannovy hypotézy postavarozložení prvočísel se může výrazně lišit od toho, co se v současnosti předpokládá. Faktem je, že dosud nebyl objeven žádný systém v distribuci prvočísel. Například je tu problém „dvojčat“, rozdíl mezi nimi je 2. Tato čísla jsou 11 a 13, 29. Další prvočísla tvoří shluky. Jedná se o 101, 103, 107 atd. Vědci dlouho tušili, že takové shluky existují mezi velmi velkými prvočísly. Pokud budou nalezeny, bude zpochybněna síla moderních krypto klíčů.
Hypotéza Hodgeova cyklu
Tento dosud nevyřešený problém byl formulován v roce 1941. Hodgeova hypotéza navrhuje možnost aproximace tvaru libovolného předmětu „slepením“jednoduchých těles vyšších rozměrů. Tato metoda je známá a úspěšně používaná již dlouhou dobu. Není však známo, do jaké míry lze provést zjednodušení.
Nyní víte, jaké neřešitelné problémy v tuto chvíli existují. Jsou předmětem výzkumu tisíců vědců po celém světě. Zbývá doufat, že budou v blízké budoucnosti vyřešeny a jejich praktická aplikace pomůže lidstvu vstoupit do nového kola technologického rozvoje.
