V roce 1900 jeden z největších vědců minulého století, David Hilbert, sestavil seznam 23 nevyřešených problémů v matematice. Práce na nich měla obrovský dopad na rozvoj této oblasti lidského poznání. O 100 let později Clay Mathematical Institute představil seznam 7 problémů známých jako problémy tisíciletí. Každému z nich byla nabídnuta cena 1 milion $.
Jediný problém, který se objevil mezi oběma seznamy hádanek, které pronásledují vědce více než jedno století, byla Riemannova hypotéza. Stále čeká na své rozhodnutí.
Krátká životopisná poznámka
Georg Friedrich Bernhard Riemann se narodil v roce 1826 v Hannoveru ve velké rodině chudého pastora a žil pouhých 39 let. Podařilo se mu vydat 10 děl. Již za svého života byl však Riemann považován za nástupce svého učitele Johanna Gausse. Mladý vědec ve 25 letech obhájil disertační práci „Základy teorie funkcí komplexní proměnné“. Později formulovaljeho slavná hypotéza.
Prvočísla
Matematika se objevila, když se člověk naučil počítat. Zároveň vznikly první představy o číslech, které se později snažili utřídit. U některých z nich bylo pozorováno, že mají společné vlastnosti. Zejména mezi přirozenými čísly, tedy těmi, která se používala při počítání (číslování) nebo označování počtu předmětů, se rozlišovala skupina dělitelná pouze jednou a sama sebou. Říká se jim jednoduché. Elegantní důkaz věty o nekonečnu množiny takových čísel podal Euklides ve svých Prvcích. V tuto chvíli jejich pátrání pokračuje. Konkrétně největší již známé číslo je 274 207 281 – 1.
Eulerův vzorec
Spolu s konceptem nekonečna množiny prvočísel určil Euklides také druhou větu o jediném možném rozkladu na prvočísla. Podle ní je jakékoli kladné celé číslo součinem pouze jedné sady prvočísel. V roce 1737 velký německý matematik Leonhard Euler vyjádřil první Euklidovu větu o nekonečnu jako vzorec níže.
Nazývá se zeta funkce, kde s je konstanta a p nabývá všech prvočísel. Euklidovo prohlášení o jedinečnosti expanze z toho přímo vyplynulo.
Funkce Riemann Zeta
Eulerův vzorec je při bližším zkoumání úplnýpřekvapivé, protože definuje vztah mezi prvočísly a celými čísly. Koneckonců, nekonečně mnoho výrazů, které závisí pouze na prvočíslech, je vynásobeno na jeho levé straně a součet spojený se všemi kladnými celými čísly je umístěn napravo.
Riemann zašel dále než Euler. Aby našel klíč k problému rozdělení čísel, navrhl definovat vzorec pro reálné i komplexní proměnné. Právě ona následně dostala název funkce Riemann zeta. V roce 1859 vědec publikoval článek s názvem „O počtu prvočísel, která nepřesahují danou hodnotu“, kde shrnul všechny své myšlenky.
Riemann navrhl použití řady Euler, která konverguje pro jakýkoli skutečný s>1. Pokud je stejný vzorec použit pro komplexní s, pak řada bude konvergovat pro jakoukoli hodnotu této proměnné s reálnou částí větší než 1. Riemann aplikoval postup analytického pokračování, který rozšířil definici zeta (s) na všechna komplexní čísla, ale „vyhodit“jednotku. Bylo vyloučeno, protože v s=1 funkce zeta roste do nekonečna.
Praktický smysl
Vyvstává logická otázka: proč je funkce zeta, která je klíčová v Riemannově práci na nulové hypotéze, zajímavá a důležitá? Jak víte, v tuto chvíli nebyl identifikován žádný jednoduchý vzorec, který by popisoval rozložení prvočísel mezi přirozená čísla. Riemannovi se podařilo objevit, že počet pi(x) prvočísel, která nepřesáhla x, je vyjádřena v podmínkách distribuce netriviálních nul funkce zeta. Navíc, Riemannova hypotéza jenezbytná podmínka pro prokázání časových odhadů pro fungování některých kryptografických algoritmů.
Riemannova hypotéza
Jedna z prvních formulací tohoto matematického problému, která dodnes nebyla prokázána, zní takto: netriviální 0 zeta funkce jsou komplexní čísla s reálnou částí rovnou ½. Jinými slovy, jsou umístěny na řádku Re s=½.
Existuje také zobecněná Riemannova hypotéza, což je stejné tvrzení, ale pro zobecnění zeta funkcí, které se běžně nazývají Dirichletovy L-funkce (viz foto níže).
Ve vzorci χ(n) - nějaký číselný znak (modulo k).
Riemannovské tvrzení je považováno za takzvanou nulovou hypotézu, protože bylo testováno na shodu s existujícími vzorovými daty.
Jak tvrdil Riemann
Poznámka německého matematika byla původně formulována poněkud nedbale. Faktem je, že v té době se vědec chystal dokázat větu o rozdělení prvočísel a v tomto kontextu tato hypotéza neměla žádný zvláštní význam. Jeho role při řešení mnoha dalších problémů je však obrovská. Proto je Riemannův předpoklad nyní mnohými vědci uznáván jako nejdůležitější z neprokázaných matematických problémů.
Jak již bylo zmíněno, k prokázání distribuční věty není potřeba celá Riemannova hypotéza a stačí logicky zdůvodnit, že skutečná část jakékoli netriviální nuly funkce zeta je vmezi 0 a 1. Z této vlastnosti vyplývá, že součet všech 0 zeta funkce, který se objevuje v přesném vzorci výše, je konečná konstanta. U velkých hodnot x se může úplně ztratit. Jediným členem vzorce, který zůstává stejný i pro velmi velké x, je samotné x. Zbývající komplexní členy ve srovnání s ní zanikají asymptoticky. Takže vážený součet má tendenci k x. Tuto okolnost lze považovat za potvrzení pravdivosti věty o rozdělení prvočísel. Nuly Riemannovy zeta funkce mají tedy zvláštní roli. Spočívá v prokázání, že takové hodnoty nemohou významně přispět k rozkladovému vzorci.
Sledovatelé Riemanna
Tragická smrt na tuberkulózu tomuto vědci nedovolila dovést svůj program do logického konce. Nicméně, Sh-Zh převzal od něj. de la Vallée Poussin a Jacques Hadamard. Nezávisle na sobě odvodili větu o rozdělení prvočísel. Hadamardovi a Poussinovi se podařilo prokázat, že všechny netriviální funkce 0 zeta jsou v kritickém pásmu.
Díky práci těchto vědců se objevil nový směr v matematice - analytická teorie čísel. Později bylo dalšími výzkumníky získáno několik primitivnějších důkazů věty, na které Riemann pracoval. Zejména Pal Erdős a Atle Selberg dokonce objevili velmi složitý logický řetězec, který to potvrdil, který nevyžadoval použití komplexní analýzy. V tomto bodě však několik důležitýchteorémy, včetně aproximací mnoha funkcí teorie čísel. V tomto ohledu nová práce Erdőse a Atle Selberga prakticky nic neovlivnila.
Jeden z nejjednodušších a nejkrásnějších důkazů problému našel v roce 1980 Donald Newman. Bylo založeno na slavné Cauchyho teorému.
Ohrožuje Riemannova hypotéza základy moderní kryptografie
Šifrování dat vzniklo spolu s výskytem hieroglyfů, přesněji řečeno, samy o sobě lze považovat za první kódy. V současné době existuje celá oblast digitální kryptografie, která vyvíjí šifrovací algoritmy.
Prvočísla a „polo-prvočísla“, tedy ta, která jsou dělitelná pouze 2 dalšími čísly ze stejné třídy, tvoří základ systému veřejného klíče známého jako RSA. Má nejširší uplatnění. Zejména se používá při generování elektronického podpisu. Řečeno v termínech dostupných pro figuríny, Riemannova hypotéza tvrdí existenci systému v distribuci prvočísel. Výrazně se tak snižuje síla kryptografických klíčů, na kterých závisí bezpečnost online transakcí v oblasti elektronického obchodování.
Další nevyřešené matematické úlohy
Stojí za to dokončit článek tím, že věnujeme pár slov dalším cílům tisíciletí. Patří mezi ně:
- Rovnost tříd P a NP. Problém je formulován následovně: je-li kladná odpověď na konkrétní otázku zkontrolována v polynomiálním čase, pak je pravda, že odpověď na tuto otázku samotnálze rychle najít?
- Hodgeova domněnka. Jednoduše řečeno, lze to formulovat následovně: pro některé typy projektivních algebraických variet (prostorů) jsou Hodgeovy cykly kombinace objektů, které mají geometrickou interpretaci, tj. algebraické cykly.
- Poincarého domněnka. Toto je jediná výzva Millenium, která byla dosud prokázána. Podle ní každý 3-rozměrný objekt, který má specifické vlastnosti 3-rozměrné koule, musí být koule až do deformace.
- Potvrzení kvantové teorie Yang - Mills. Je nutné prokázat, že kvantová teorie navržená těmito vědci pro prostor R 4 existuje a má nulovou hmotnostní vadu pro jakoukoli jednoduchou kompaktní kalibrační skupinu G.
- Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza. To je další problém související s kryptografií. Dotýká se eliptických křivek.
- Problém existence a hladkosti řešení Navier-Stokesových rovnic.
Nyní znáte Riemannovu hypotézu. Jednoduše řečeno, formulovali jsme některé další výzvy tisíciletí. Že se vyřeší nebo se prokáže, že řešení nemají, je otázkou času. Navíc je nepravděpodobné, že to bude muset čekat příliš dlouho, protože matematika stále více využívá výpočetní schopnosti počítačů. Ne vše však podléhá technologii a v prvé řadě je k řešení vědeckých problémů zapotřebí intuice a kreativita.
