V algebře existuje koncept dvou typů rovnosti – identit a rovnic. Identity jsou takové rovnosti, které jsou proveditelné pro jakékoli hodnoty písmen v nich obsažených. Rovnice jsou také rovnosti, ale jsou proveditelné pouze pro určité hodnoty písmen v nich obsažených.
Dopisy jsou obvykle nestejné, pokud jde o úkol. To znamená, že některé z nich mohou nabývat libovolné povolené hodnoty, nazývané koeficienty (nebo parametry), zatímco jiné - nazývané neznámé - nabývají hodnot, které je třeba najít v procesu řešení. Neznámé veličiny se v rovnicích zpravidla označují písmeny, posledními v latinské abecedě (x.y.z atd.) nebo stejnými písmeny, ale s indexem (x1, x 2 atd.) a známé koeficienty jsou dány prvními písmeny stejné abecedy.
Na základě počtu neznámých se rozlišují rovnice s jednou, dvěma a několika neznámými. Takže všechny hodnoty neznámých, pro které se řešená rovnice změní na identitu, se nazývají řešení rovnic. Rovnici lze považovat za vyřešenou, pokud jsou nalezena všechna její řešení nebo je prokázáno, že žádná nemá. Úkol "vyřeš rovnici" je v praxi běžný a znamená, že musíte najít kořen rovnice.
Definice: kořeny rovnice jsou ty hodnoty neznámých z rozsahu přípustných hodnot, při kterých se řešená rovnice stává identitou.
Algoritmus pro řešení absolutně všech rovnic je stejný a jeho smyslem je zredukovat tento výraz na jednodušší formu pomocí matematických transformací. Rovnice, které mají stejné kořeny, se v algebře nazývají ekvivalentní.
Nejjednodušší příklad: 7x-49=0, kořen rovnice x=7;x-7=0, podobně kořen x=7, proto jsou rovnice ekvivalentní. (Ve zvláštních případech ekvivalentní rovnice nemusí mít kořeny vůbec.)
Pokud je kořen rovnice zároveň kořenem jiné, jednodušší rovnice získané z původní rovnice transformací, pak se tato rovnice nazývá důsledkem předchozí rovnice.
Pokud je jedna ze dvou rovnic důsledkem druhé, pak jsou považovány za ekvivalentní. Říká se jim také ekvivalentní. Výše uvedený příklad to ilustruje.
Řešení i těch nejjednodušších rovnic v praxi je často obtížné. Výsledkem řešení můžete získat jeden kořen rovnice, dva i více, dokonce i nekonečné číslo – záleží na typu rovnic. Existují i takové, které nemají kořeny, říká se jim nerozhodnutelné.
Příklady:
1) 15x -20=10; x=2. Toto je jediný kořen rovnice.
2) 7x - y=0. Rovnice má nekonečný počet kořenů, protože každá proměnná jich může mít nespočetpočet hodnot.
3) x2=- 16. Číslo umocněné na druhou mocninu vždy dává kladný výsledek, takže není možné najít kořen rovnice. Toto je jedna z výše uvedených neřešitelných rovnic.
Správnost řešení se kontroluje dosazením nalezených kořenů místo písmen a vyřešením výsledného příkladu. Pokud identita platí, řešení je správné.
