Soudě podle popularity požadavku „Fermatův teorém – krátký důkaz“je tento matematický problém skutečně zajímavý pro mnohé. Tuto větu poprvé vyslovil Pierre de Fermat v roce 1637 na okraji kopie Aritmetiky, kde tvrdil, že má řešení, které je příliš velké na to, aby se vešlo na okraj.
První úspěšný důkaz byl publikován v roce 1995 – byl to úplný důkaz Fermatovy věty od Andrewa Wilese. Bylo to popsáno jako „ohromující pokrok“a vedlo Wilese k získání Abelovy ceny v roce 2016. Ačkoli byl popsán poměrně stručně, důkaz Fermatovy věty také prokázal velkou část věty o modularitě a otevřel nové přístupy k mnoha dalším problémům a účinným metodám zvedání modularity. Tyto úspěchy pokročily v matematice 100 let do budoucnosti. Důkaz Fermatovy malé věty dnes neníje něco neobvyklého.
Nevyřešený problém podnítil rozvoj algebraické teorie čísel v 19. století a hledání důkazu teorému modularity ve 20. století. Toto je jedna z nejpozoruhodnějších vět v historii matematiky a až do úplného potvrzení Fermatovy poslední věty byla v Guinessově knize rekordů jako „nejobtížnější matematický problém“, jehož jedním z rysů je, že má největší počet neúspěšných důkazů.
Historické pozadí
Pythagorova rovnice x2 + y2=z2 má nekonečný počet kladných hodnot celočíselná řešení pro x, y a z. Tato řešení jsou známá jako pythagorejské trojice. Kolem roku 1637 Fermat napsal na okraj knihy, že obecnější rovnice a + b =cnemá žádnou řešení v přirozených číslech, pokud n je celé číslo větší než 2. Ačkoli Fermat sám tvrdil, že má řešení svého problému, nezanechal žádné podrobnosti o jeho důkazu. Elementárním důkazem Fermatovy věty, kterou tvrdil její tvůrce, byl spíše jeho vychloubačný vynález. Kniha velkého francouzského matematika byla objevena 30 let po jeho smrti. Tato rovnice, nazývaná Fermatova poslední věta, zůstala v matematice tři a půl století nevyřešena.
Věta se nakonec stala jedním z nejpozoruhodnějších nevyřešených problémů v matematice. Pokusy dokázat toto způsobily významný rozvoj teorie čísel, as průchodemčasem se poslední Fermatova věta stala známou jako nevyřešený problém v matematice.
Stručná historie důkazů
Je-li n=4, jak dokázal sám Fermat, stačí dokázat větu pro indexy n, které jsou prvočísly. Během následujících dvou století (1637-1839) byla domněnka prokázána pouze pro prvočísla 3, 5 a 7, i když Sophie Germain aktualizovala a prokázala přístup, který platil pro celou třídu prvočísel. V polovině 19. století to Ernst Kummer rozšířil a dokázal větu pro všechna pravidelná prvočísla, přičemž nepravidelná prvočísla byla analyzována individuálně. Na základě Kummerovy práce a pomocí sofistikovaného počítačového výzkumu byli další matematici schopni rozšířit řešení věty s cílem pokrýt všechny hlavní exponenty až do čtyř milionů, ale důkaz pro všechny exponenty stále nebyl k dispozici (to znamená, že matematici obvykle považováno řešení teorému za nemožné, extrémně obtížné nebo nedosažitelné se současnými znalostmi).
Dílo Shimury a Taniyamy
V roce 1955 měli japonští matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama podezření, že existuje spojení mezi eliptickými křivkami a modulárními formami, dvěma velmi odlišnými odvětvími matematiky. V té době známý jako domněnka Taniyama-Shimura-Weyl a (nakonec) jako teorém modularity, existoval sám o sobě, bez zjevného spojení s posledním Fermatovým teorémem. To samo o sobě bylo široce považováno za důležitý matematický teorém, ale bylo považováno (stejně jako Fermatova věta) za nemožné dokázat. Při tomVe stejné době byl důkaz Fermatovy poslední věty (dělením a aplikací složitých matematických vzorců) proveden až o půl století později.
V roce 1984 si Gerhard Frey všiml zřejmé souvislosti mezi těmito dvěma dříve nesouvisejícími a nevyřešenými problémy. Úplné potvrzení, že tyto dva teorémy spolu úzce souvisejí, publikoval v roce 1986 Ken Ribet, který na základě částečného důkazu Jeana-Pierra Serry dokázal všechny kromě jedné části, známé jako „hypotéza epsilon“. Jednoduše řečeno, tyto práce Freye, Serry a Ribeho ukázaly, že pokud by bylo možné dokázat větu o modularitě, alespoň pro semistabilní třídu eliptických křivek, pak by byl dříve nebo později objeven také důkaz poslední Fermatovy věty. Jakékoli řešení, které může odporovat poslední Fermatově větě, lze také použít k rozporu s větou o modularitě. Pokud se tedy teorém o modularitě ukázal jako pravdivý, pak z definice nemůže existovat řešení, které by bylo v rozporu s poslední Fermatovou větou, což znamená, že mělo být brzy prokázáno.
Přestože obě věty byly těžké problémy v matematice, považované za neřešitelné, práce obou Japonců byla prvním návrhem, jak by mohla být poslední Fermatova věta rozšířena a prokázána pro všechna čísla, nejen pro některá. Pro vědce, kteří si zvolili téma studia, byla důležitá skutečnost, že na rozdíl od poslední Fermatovy věty byla věta o modularitě hlavní aktivní oblastí výzkumu, pro kteroubyly vyvinuty důkazy, a to nejen historické zvláštnosti, takže čas strávený její prací mohl být z odborného hlediska ospravedlněn. Všeobecná shoda však byla, že řešení domněnky Taniyama-Shimura se ukázalo jako nevhodné.
Poslední teorém farmy: Wilesův důkaz
Když se anglický matematik Andrew Wiles dozvěděl, že Ribet dokázal Freyovu teorii jako správnou, rozhodl se pokusit dokázat Taniyama-Shimuru Dohady jako způsob, jak dokázat Fermatovu poslední větu. V roce 1993, šest let poté, co oznámil svůj cíl, se Wilesovi během tajné práce na problému řešení věty podařilo prokázat související domněnku, která mu zase pomohla dokázat poslední Fermatovu větu. Wilesův dokument byl obrovský co do velikosti a rozsahu.
Chyba byla objevena v jedné části jeho původního článku během vzájemného hodnocení a vyžadovala další rok spolupráce s Richardem Taylorem, aby společně vyřešili větu. Výsledkem bylo, že Wilesův konečný důkaz Fermatova posledního teorému na sebe nenechal dlouho čekat. V roce 1995 byla publikována v mnohem menším měřítku než předchozí Wilesova matematická práce, což ilustruje, že se ve svých předchozích závěrech o možnosti dokázat větu nemýlil. Wilesův úspěch byl široce propagován v populárním tisku a popularizován v knihách a televizních pořadech. Zbývající části dohadů Taniyama-Shimura-Weil, které byly nyní prokázány aznámé jako teorém modularity, byly následně prokázány dalšími matematiky, kteří v letech 1996 až 2001 stavěli na Wilesově práci. Za svůj úspěch byl Wiles oceněn a obdržel řadu ocenění, včetně Abelovy ceny 2016.
Wilesův důkaz poslední Fermatovy věty je speciálním případem řešení věty o modularitě pro eliptické křivky. Toto je však nejznámější případ takto rozsáhlé matematické operace. Spolu s řešením Ribeho věty získal britský matematik také důkaz poslední Fermatovy věty. Fermatův poslední teorém a teorém modularity byly moderními matematiky téměř všeobecně považovány za neprokazatelné, ale Andrew Wiles dokázal vědeckému světu dokázat, že i učenci se mohou mýlit.
Wyles poprvé oznámil svůj objev ve středu 23. června 1993 na přednášce v Cambridge s názvem „Modulární formy, eliptické křivky a Galoisovy reprezentace“. V září 1993 se však zjistilo, že jeho výpočty obsahují chybu. O rok později, 19. září 1994, v tom, co by nazval „nejdůležitějším okamžikem svého pracovního života“, narazil Wiles na odhalení, které mu umožnilo opravit řešení problému do bodu, kdy mohlo uspokojit matematické komunita.
Popis práce
Důkaz Fermatovy věty od Andrewa Wilese používá mnoho metod z algebraické geometrie a teorie čísel a má v nich mnoho důsledkůoblasti matematiky. Používá také standardní konstrukce moderní algebraické geometrie, jako je kategorie schémat a teorie Iwasawa, stejně jako další metody 20. století, které Pierre de Fermat neměl k dispozici.
Dva články obsahující důkazy mají 129 stran a byly napsány v průběhu sedmi let. John Coates popsal tento objev jako jeden z největších úspěchů teorie čísel a John Conway jej označil za hlavní matematický úspěch 20. století. Wiles, aby dokázal poslední Fermatovu větu prokázáním věty o modularitě pro speciální případ semistabilních eliptických křivek, vyvinul výkonné metody pro zvedání modularity a otevřel nové přístupy k mnoha dalším problémům. Za vyřešení poslední Fermatovy věty byl pasován na rytíře a obdržel další ocenění. Když vyšlo najevo, že Wiles vyhrál Abelovu cenu, Norská akademie věd popsala jeho úspěch jako „úžasný a elementární důkaz poslední Fermatovy věty.“
Jak to bylo
Jeden z lidí, kteří recenzovali Wilesův původní rukopis s řešením věty, byl Nick Katz. V průběhu své recenze položil Britovi řadu objasňujících otázek, které vedly Wilese k přiznání, že jeho práce jasně obsahuje mezeru. V jedné kritické části důkazu došlo k chybě, která poskytla odhad pro pořadí konkrétní skupiny: Eulerův systém použitý k rozšíření Kolyvaginovy a Flachovy metody byl neúplný. Chyba však neučinila jeho práci zbytečnou – každý kus Wilesova díla byl sám o sobě velmi významný a inovativní, stejně jako mnohovývoj a metody, které vytvořil v průběhu své práce a které zasáhly pouze jednu část rukopisu. Tato původní práce, publikovaná v roce 1993, však ve skutečnosti neměla důkaz o Fermatově poslední větě.
Wyles se téměř rok snažil znovu objevit řešení věty, nejprve sám a poté ve spolupráci se svým bývalým studentem Richardem Taylorem, ale vše se zdálo být marné. Do konce roku 1993 se šířily zvěsti, že Wilesův důkaz selhal při testování, ale jak vážné toto selhání bylo, nebylo známo. Matematici začali na Wilese vyvíjet nátlak, aby odhalil podrobnosti o své práci, ať už byla vykonána nebo ne, aby širší komunita matematiků mohla prozkoumat a použít vše, čeho byl schopen dosáhnout. Místo toho, aby rychle napravil svou chybu, Wiles pouze objevil další obtížné aspekty v důkazu Fermatovy poslední věty a nakonec si uvědomil, jak těžké to bylo.
Wyles uvádí, že ráno 19. září 1994 byl na pokraji vzdát se a vzdát se a byl téměř smířen se selháním. Byl připraven své nedokončené dílo zveřejnit, aby na něm mohli stavět ostatní a najít, kde se mýlil. Anglický matematik se rozhodl dát si poslední šanci a naposledy teorém analyzoval, aby se pokusil pochopit hlavní důvody, proč jeho přístup nefungoval, když si najednou uvědomil, že Kolyvaginův-Flacův přístup nebude fungovat, dokudzahrne také Iwasawovu teorii do procesu důkazu, takže bude fungovat.
6. října požádal Wiles tři kolegy (včetně F altinse), aby zhodnotili jeho novou práci, a 24. října 1994 předložil dva rukopisy – „Modulární eliptické křivky a poslední Fermatův teorém“a „Teoretické vlastnosti kroužek některých Heckových algeber“, z nichž druhý Wiles napsal společně s Taylorem a dokázal, že byly splněny určité podmínky pro ospravedlnění opraveného kroku v hlavním článku.
Tyto dva články byly recenzovány a nakonec publikovány jako plné textové vydání v květnu 1995 Annals of Mathematics. Andrewovy nové výpočty byly široce analyzovány a nakonec přijaty vědeckou komunitou. V těchto článcích byl stanoven teorém modularity pro semistabilní eliptické křivky - poslední krok k prokázání Fermatova posledního teorému, 358 let poté, co byl vytvořen.
Historie velkého problému
Vyřešení této věty bylo po mnoho staletí považováno za největší problém v matematice. V roce 1816 a v roce 1850 vypsala Francouzská akademie věd cenu za obecný důkaz Fermatovy poslední věty. V roce 1857 Akademie udělila Kummerovi 3 000 franků a zlatou medaili za výzkum ideálních čísel, i když se o cenu neucházel. Další cenu mu nabídla v roce 1883 bruselská akademie.
Wolfskell Prize
V roce 1908 odkázal německý průmyslník a amatérský matematik Paul Wolfskel 100 000 zlatých marek (na tu dobu velké množství)Akademie věd v Göttingenu, aby se tyto peníze staly cenou za úplný důkaz poslední Fermatovy věty. 27. června 1908 Akademie zveřejnila devět pravidel pro udělování. Tato pravidla mimo jiné vyžadovala zveřejnění důkazu v recenzovaném časopise. Cena měla být udělena až dva roky po zveřejnění. Soutěž měla skončit 13. září 2007 - asi století po jejím zahájení. 27. června 1997 obdržel Wiles Wolfschelovy prize money a poté dalších 50 000 $. V březnu 2016 obdržel od norské vlády 600 000 eur jako součást Abelovy ceny za „úžasný důkaz poslední Fermatovy věty s pomocí domněnky modularity pro semistabilní eliptické křivky, což otevírá novou éru v teorii čísel“. Byl to světový triumf skromného Angličana.
Před Wilesovým důkazem byl Fermatův teorém, jak již bylo zmíněno dříve, po staletí považován za absolutně neřešitelný. Wolfskellskému výboru byly v různých časech předloženy tisíce nesprávných důkazů, které představovaly přibližně 3 metry korespondence. Jen v prvním roce existence ceny (1907-1908) bylo podáno 621 žádostí o vyřešení teorému, i když do 70. let se jejich počet snížil na zhruba 3-4 žádosti za měsíc. Podle F. Schlichtinga, Wolfschelova recenzenta, byla většina důkazů založena na elementárních metodách vyučovaných ve školách a často byli prezentováni jako „lidé s technickým vzděláním, ale neúspěšnou kariérou“. Podle historika matematiky Howarda Avese posledníFermatova věta zaznamenala jakýsi rekord – jde o větu s největším počtem nesprávných důkazů.
Vavříny farmy připadly Japoncům
Jak již bylo zmíněno dříve, kolem roku 1955 japonští matematici Goro Shimura a Yutaka Taniyama objevili možné spojení mezi dvěma zdánlivě zcela odlišnými odvětvími matematiky – eliptickými křivkami a modulárními formami. Výsledný teorém modularity (pak známý jako Taniyama-Shimura domněnka) říká, že každá eliptická křivka je modulární, což znamená, že může být spojena s jedinečnou modulární formou.
Teorie byla zpočátku odmítnuta jako nepravděpodobná nebo vysoce spekulativní, ale byla brána vážněji, když teoretik čísel André Weil našel důkazy na podporu japonských závěrů. V důsledku toho byla hypotéza často označována jako hypotéza Taniyama-Shimura-Weil. Stala se součástí programu Langlands, což je seznam důležitých hypotéz, které je třeba v budoucnu prokázat.
Dokonce po důkladném prozkoumání byla tato domněnka uznána moderními matematiky jako extrémně obtížná nebo možná nepřístupná k prokázání. Nyní tato konkrétní věta čeká na svého Andrewa Wilese, který by svým řešením mohl překvapit celý svět.
Fermatův teorém: Perelmanův důkaz
Navzdory populárnímu mýtu nemá ruský matematik Grigorij Perelman při vší své genialitě nic společného s Fermatovou větou. Což mu však v žádném případě neubírá.četné příspěvky vědecké komunitě.
