V matematice existuje pojem „množina“a také příklady srovnání těchto stejných množin mezi sebou. Názvy typů porovnávání množin jsou tato slova: bijekce, injekce, surjekce. Každý z nich je podrobněji popsán níže.
Bijekce je… co to je?
Jedna skupina prvků první sady je spárována s druhou skupinou prvků z druhé sady v tomto tvaru: každý jeden prvek první skupiny je přímo spárován s dalším jedním prvkem druhé skupiny a tam není situace s nedostatkem nebo výčtem prvků kterékoli nebo ze dvou skupin sad.
Formulace hlavních vlastností:
- Jeden prvek k jednomu.
- Při párování nejsou žádné další prvky a první vlastnost je zachována.
- Je možné obrátit mapování při zachování celkového pohledu.
- Bijekce je funkce, která je injektivní i surjektivní.
Bijekce z vědeckého hlediska
Bijektivní funkce jsou přesně izomorfismy v kategorii "množina a množina funkcí". Bijekce však nejsou vždy izomorfismy pro složitější kategorie. Například v určité kategorii grup musí být morfismy homomorfismy, protože musí zachovat strukturu grupy. Proto jsou izomorfismy skupinové izomorfismy, což jsou bijektivní homomorfismy.
Koncept "korespondence jedna ku jedné" je zobecněn na parciální funkce, kde se nazývají parciální bijekce, ačkoli částečná bijekce je to, co by mělo být injekcí. Důvodem této relaxace je, že parciální (vlastní) funkce již není definována pro část jejího definičního oboru. Není tedy žádný dobrý důvod omezovat jeho inverzní funkci na úplnou, tj. definovanou všude ve svém oboru. Množina všech parciálních bijekcí k dané základní množině se nazývá symetrická inverzní pologrupa.
Další způsob, jak definovat stejný koncept: stojí za to říci, že parciální bijekce množin z A do B je libovolný vztah R (parciální funkce) s vlastností, že R je bijekční graf f:A'→B ' kde A' je podmnožinou A a B' je podmnožinou B.
Když je částečná bijekce na stejné množině, někdy se nazývá částečná transformace jedna ku jedné. Příkladem je Möbiova transformace právě definovaná na komplexní rovině, nikoli její dokončení v rozšířené komplexní rovině.
Injection
Jedna skupina prvků první sady je spárována s druhou skupinou prvků z druhé sady v tomto tvaru: každý jeden prvek první skupiny je spárován s dalším jedním prvkem druhé sady, ale ne všechny jsou převedeny na páry. Počet nepárových prvků závisí na rozdílu v počtu právě těchto prvků v každé množině: pokud jedna množina sestává z jednatřiceti prvků a druhá má sedm dalších, pak je počet nepárových prvků sedm. Řízené vstřikování do soupravy. Bijekce a injekce jsou podobné, ale nic víc než podobné.
Surjection
Jedna skupina prvků první sady je spárována s druhou skupinou prvků z druhé sady tímto způsobem: každý prvek jakékoli skupiny tvoří pár, i když je mezi počtem prvků rozdíl. Z toho vyplývá, že jeden prvek z jedné skupiny se může spárovat s několika prvky z jiné skupiny.
Ani bijektivní, ani injektivní, ani surjektivní funkce
Toto je funkce bijektivní a surjektivní formy, ale se zbytkem (nespárovaným)=> injekce. V takové funkci existuje jasně souvislost mezi bijekcí a surjekcí, protože přímo zahrnuje tyto dva typy srovnání množin. Souhrn všech druhů těchto funkcí tedy není jednou z nich izolovaně.
Vysvětlení všech druhů funkcí
Pozorovatele například fascinuje následující. Pořádají se lukostřelecké soutěže. Každý zúčastníci chtějí zasáhnout cíl (pro usnadnění úkolu: nebere se v úvahu, kam přesně zasáhne šíp). Pouze tři účastníci a tři cíle - to je první místo (místo) pro turnaj. V následujících sekcích je počet lučištníků zachován, ale počet terčů se mění: na druhém - čtyři terče, na dalším - také čtyři a na čtvrtém - pět. Každý účastník střílí na každý cíl.
- První místo konání turnaje. První lukostřelec zasáhne pouze jeden cíl. Druhý zasáhne pouze jeden cíl. Třetí se opakuje po ostatních a všichni lučištníci zasahují různé cíle: ty, které jsou naproti nim. Výsledkem je, že 1 (první střelec) zasáhl cíl (a), 2 - v (b), 3 - v (c). Sleduje se následující závislost: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Závěrem bude úsudek, že takové srovnání množin je bijekce.
- Druhá platforma pro turnaj. První lukostřelec zasáhne pouze jeden cíl. Druhý také zasáhne pouze jeden cíl. Třetí se opravdu nesnaží a vše opakuje po ostatních, ale podmínka je stejná – všichni lučištníci zasahují do různých cílů. Ale jak již bylo zmíněno dříve, na druhé platformě jsou již čtyři cíle. Závislost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nepárový prvek množiny. V tomto případě dojde k závěru, že takové srovnání souboru je injekcí.
- Třetí místo konání turnaje. První lukostřelec zasáhne pouze jeden cíl. Druhý zasáhne opět jen jeden terč. Třetí se rozhodne dát se dohromady a zasáhne třetí a čtvrtý terč. V důsledku toho závislost: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Zde bude závěrem úsudek, že takové srovnání množin je domněnka.
- Čtvrtá platforma pro turnaj. U prvního je již vše jasné, trefuje pouze jeden terč, ve kterém brzy nebude místo na už tak nudné zásahy. Nyní druhý přebírá roli ještě nedávného třetího a opět zasáhne pouze jeden terč, opakuje se po prvním. Třetí se nadále ovládá a nepřestává zavádět svůj šíp na třetí a čtvrtý terč. Pátý byl však stále mimo jeho kontrolu. Takže závislost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - nepárový prvek množiny cílů. Závěr: takové srovnání množin není surjekce, ani injekce, ani bijekce.
Nyní nebude problém sestrojit bijekci, injekci nebo surjekci, stejně jako najít rozdíly mezi nimi.
