Některé matematické úlohy vyžadují schopnost vypočítat druhou odmocninu. Tyto problémy zahrnují řešení rovnic druhého řádu. V tomto článku představujeme účinnou metodu pro výpočet odmocnin a používáme ji při práci se vzorci pro odmocniny kvadratické rovnice.
Co je odmocnina?
V matematice tento pojem odpovídá symbolu √. Historická data říkají, že se začala poprvé používat kolem první poloviny 16. století v Německu (první německá práce o algebře od Christopha Rudolfa). Vědci se domnívají, že tento symbol je transformované latinské písmeno r (radix znamená „kořen“v latině).
Odmocnina libovolného čísla se rovná takové hodnotě, jejíž druhá mocnina odpovídá výrazu odmocniny. V jazyce matematiky bude tato definice vypadat takto: √x=y, pokud y2=x.
Kořen kladného čísla (x > 0) je takékladné číslo (y > 0), ale pokud je kořen převzat ze záporného čísla (x < 0), bude jeho výsledkem již komplexní číslo včetně imaginární jednotky i.
Zde jsou dva jednoduché příklady:
√9=3 protože 32 =9; √(-9)=3i, protože i2=-1.
Heronův iterační vzorec pro hledání odmocnin
Výše uvedené příklady jsou velmi jednoduché a výpočet kořenů v nich není obtížný. Potíže se začínají objevovat již při hledání kořenových hodnot pro jakoukoli hodnotu, kterou nelze vyjádřit jako druhou mocninu přirozeného čísla, například √10, √11, √12, √13, nemluvě o tom, že v praxi to je nutné najít kořeny pro neceločíselná čísla: například √(12, 15), √(8, 5) a tak dále.
Ve všech výše uvedených případech by měla být použita speciální metoda výpočtu druhé odmocniny. V současnosti je takových metod známo několik: například expanze v Taylorově řadě, dělení sloupcem a některé další. Ze všech známých metod je možná nejjednodušší a nejúčinnější použití Heronova iteračního vzorce, který je také známý jako babylonská metoda pro určování odmocnin (existují důkazy, že ji staří Babyloňané používali při svých praktických výpočtech).
Nechť je třeba určit hodnotu √x. Vzorec pro nalezení druhé odmocniny je následující:
an+1=1/2(a+x/a), kde limn->∞(a)=> x.
Rozluštěte tento matematický zápis. Chcete-li vypočítat √x, měli byste vzít nějaké číslo a0 (může být libovolné, ale pro rychlý výsledek byste jej měli zvolit tak, že (a0) 2 byl co nejblíže x, pak jej dosaďte do zadaného vzorce odmocniny a získáte nové číslo a1, které již bude být blíže požadované hodnotě. do výrazu je nutné dosadit a1 a získat a2 Tento postup je třeba opakovat, dokud nedosáhnete požadované přesnosti.
Příklad použití Heronova iteračního vzorce
Algoritmus popsaný výše pro získání druhé odmocniny nějakého daného čísla může znít pro mnohé docela složitě a matoucím způsobem, ale ve skutečnosti se vše ukáže mnohem jednodušší, protože tento vzorec konverguje velmi rychle (zvláště pokud se jedná o šťastné číslo je vybráno a0).
Uveďme si jednoduchý příklad: potřebujeme vypočítat √11. Zvolíme a0=3, protože 32=9, což je bližší 11 než 42=16. Dosazením do vzorce dostaneme:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nemá smysl pokračovat ve výpočtech, protože jsme zjistili, že a2 a a3 se začínají lišit pouze v 5. místo. Stačilo tedy aplikovat pouze 2x vzorec navypočítejte √11 s přesností 0,0001.
V současné době se k výpočtu odmocnin hojně používají kalkulačky a počítače, je však užitečné zapamatovat si označený vzorec, abyste mohli ručně vypočítat jejich přesnou hodnotu.
Rovnice druhého řádu
Porozumění tomu, co je odmocnina a schopnost ji vypočítat, se používá při řešení kvadratických rovnic. Tyto rovnice jsou rovnosti s jednou neznámou, jejichž obecný tvar je znázorněn na obrázku níže.
Zde c, b a a jsou nějaká čísla a a se nesmí rovnat nule a hodnoty c a b mohou být zcela libovolné, včetně nuly.
Jakékoli hodnoty x, které splňují rovnost uvedenou na obrázku, se nazývají jeho kořeny (tento koncept by se neměl zaměňovat s odmocninou √). Protože uvažovaná rovnice má 2. řád (x2), pak její kořeny nemohou obsahovat více než dvě čísla. Podívejme se, jak tyto kořeny najít později v článku.
Hledání kořenů kvadratické rovnice (vzorce)
Této metodě řešení uvažovaného typu rovnosti se také říká univerzální, neboli metoda přes diskriminant. Lze jej aplikovat na libovolné kvadratické rovnice. Vzorec pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice je následující:
Ukazuje, že kořeny závisí na hodnotě každého ze tří koeficientů rovnice. Navíc výpočetx1 se liší od výpočtu x2 pouze znaménkem před odmocninou. Radikální výraz, který se rovná b2 - 4ac, není nic jiného než diskriminant uvažované rovnosti. Diskriminant ve vzorci pro kořeny kvadratické rovnice hraje důležitou roli, protože určuje počet a typ řešení. Pokud je tedy nula, bude existovat pouze jedno řešení, pokud je kladné, pak má rovnice dva reálné kořeny, nakonec záporný diskriminant vede ke dvěma komplexním kořenům x1 a x 2.
Vietův teorém nebo některé vlastnosti kořenů rovnic druhého řádu
Koncem 16. století dokázal jeden ze zakladatelů moderní algebry, Francouz Francois Viet, studující rovnice druhého řádu, získat vlastnosti jejích kořenů. Matematicky je lze zapsat takto:
x1 + x2=-b / a a x1 x 2=c / a.
Obě rovnosti může snadno získat každý, k tomu je pouze nutné provést příslušné matematické operace s kořeny získanými ze vzorce s diskriminantem.
Kombinaci těchto dvou výrazů lze právem nazvat druhým vzorcem kořenů kvadratické rovnice, který umožňuje hádat její řešení bez použití diskriminantu. Zde je třeba poznamenat, že ačkoli jsou oba výrazy vždy platné, je vhodné je použít k řešení rovnice pouze tehdy, pokud ji lze faktorizovat.
Úkol upevnit nabyté znalosti
Pojďme vyřešit matematický problém, ve kterém si ukážeme všechny techniky diskutované v článku. Podmínky problému jsou následující: musíte najít dvě čísla, pro která je součin -13 a součet je 4.
Tato podmínka okamžitě připomíná Vietovu větu, při použití vzorců pro součet odmocnin a jejich součinu píšeme:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Za předpokladu a=1, pak b=-4 ac=-13. Tyto koeficienty nám umožňují napsat rovnici druhého řádu:
x2 - 4x - 13=0.
Použijte vzorec s diskriminantem, dostaneme následující kořeny:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
To znamená, že úkol byl zredukován na nalezení čísla √68. Všimněte si, že 68=417, pak pomocí vlastnosti druhé odmocniny dostaneme: √68=2√17.
Nyní použijeme uvažovaný vzorec odmocniny: a0=4, pak:
a1=1/2(4 + 17/4)=4 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Není třeba počítat a3, protože nalezené hodnoty se liší pouze o 0,02. Tedy √68=8,246. Dosazením do vzorce pro x 1, 2, dostaneme:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 a x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Jak vidíte, součet nalezených čísel je skutečně 4, ale pokud najdete jejich součin, bude se rovnat -12,999, což splňuje podmínku problému s přesností 0,001.
