Svět je uspořádán tak, že řešení velkého množství problémů vede k nalezení kořenů kvadratické rovnice. Kořeny rovnic jsou důležité pro popis různých vzorů. To věděli i zeměměřiči starověkého Babylonu. Astronomové a inženýři byli také nuceni řešit takové problémy. V 6. století našeho letopočtu vyvinul indický vědec Aryabhata základy pro nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vzorce byly dokončeny v 19. století.
Obecné pojmy
Zveme vás, abyste se seznámili se základními zákonitostmi kvadratických rovnosti. Obecně lze rovnost zapsat takto:
ax2 + bx + c=0, Počet kořenů kvadratické rovnice může být roven jedné nebo dvěma. Rychlou analýzu lze provést pomocí konceptu diskriminantu:
D=b2 - 4ac
V závislosti na vypočítané hodnotě získáme:
- Když D > 0, existují dva různé kořeny. Obecný vzorec pro určení kořenů kvadratické rovnice vypadá takto (-b± √D) / (2a).
- D=0, v tomto případě je kořen jedna a odpovídá hodnotě x=-b / (2a)
- D < 0, pro zápornou hodnotu diskriminantu neexistuje řešení rovnice.
Poznámka: pokud je diskriminant záporný, rovnice nemá kořeny pouze v oblasti reálných čísel. Pokud je algebra rozšířena na koncept komplexních kořenů, pak rovnice má řešení.
Uveďme řetězec akcí, který potvrzuje vzorec pro hledání kořenů.
Z obecného tvaru rovnice vyplývá:
ax2 + bx=-c
Vynásobíme pravou a levou část 4a a přidáme b2, dostaneme
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Převeďte levou stranu na druhou mocninu polynomu (2ax + b)2. Extrahujeme druhou odmocninu obou stran rovnice 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), přeneseme koeficient b na pravou stranu, dostaneme:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Odtud:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Co bylo požadováno k zobrazení.
Zvláštní případ
V některých případech lze řešení problému zjednodušit. Takže pro sudý koeficient b dostaneme jednodušší vzorec.
Označte k=1/2b, pak vzorec obecného tvaru kořenů kvadratické rovnice nabývá tvaru:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Když D=0, dostaneme x=-k / a
Další speciální případ je řešení rovnice s a=1.
Pro tvar x2 + bx + c=0 budou kořeny x=-k ± √(k2 - c) s diskriminantem větším než 0. Pro případ, kdy D=0, bude kořen určen jednoduchým vzorcem: x=-k.
Použít grafy
Každý člověk, aniž by to věděl, neustále čelí fyzikálním, chemickým, biologickým a dokonce i sociálním jevům, které jsou dobře popsány kvadratickou funkcí.
Poznámka: křivka vytvořená na základě kvadratické funkce se nazývá parabola.
Zde je několik příkladů.
- Při výpočtu trajektorie střely se používá vlastnost pohybu podél paraboly tělesa vystřeleného pod úhlem k horizontu.
- Vlastnost paraboly rovnoměrné rozložení zátěže je v architektuře široce používána.
Pochopíme-li důležitost parabolické funkce, pojďme zjistit, jak použít graf k prozkoumání jejích vlastností pomocí pojmů „diskriminant“a „kořen kvadratické rovnice“.
V závislosti na hodnotě koeficientů aab existuje pouze šest možností polohy křivky:
- Diskriminant je kladný, a a b mají různá znaménka. Větve paraboly se podívají nahoru, kvadratická rovnice má dvě řešení.
- Diskriminant a koeficient b se rovnají nule, koeficient a je větší než nula. Graf je v kladné zóně, rovnice má 1 kořen.
- Diskriminant a všechny koeficienty jsou kladné. Kvadratická rovnice nemá řešení.
- Diskriminant a koeficient a jsou záporné, b je větší než nula. Větve grafu směřují dolů, rovnice má dva kořeny.
- Diskriminační akoeficient b se rovná nule, koeficient a je záporný. Parabola se dívá dolů, rovnice má jeden kořen.
- Hodnoty diskriminantu a všech koeficientů jsou záporné. Neexistují žádná řešení, hodnoty funkcí jsou zcela v záporné zóně.
Poznámka: možnost a=0 se nebere v úvahu, protože v tomto případě parabola degeneruje do přímky.
Vše výše uvedené dobře ilustruje obrázek níže.
Příklady řešení problémů
Podmínka: pomocí obecných vlastností vytvořte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou si navzájem rovny.
Řešení:
podle stavu problému x1 =x2 nebo -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Zjednodušení zápisu:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, otevřete závorky a zadejte podobné výrazy. Rovnice se stává 2√(b2 - 4ac)=0. Toto tvrzení platí, když b2 - 4ac=0, tedy b 2=4ac, pak do rovnice dosadíme hodnotu b=2√(ac)
ax2 + 2√(ac)x + c=0, ve zmenšeném tvaru dostaneme x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Odpověď:
pro a nerovnající se 0 a libovolnému c existuje pouze jedno řešení, pokud b=2√(c / a).
Kvadrické rovnice mají při vší své jednoduchosti velký význam v technických výpočtech. Téměř každý fyzikální proces lze popsat pomocí určité aproximacemocenské funkce řádu n. Kvadratická rovnice bude první takovou aproximací.
