Aby si čtenář snáze představil, co je hyperboloid – trojrozměrný objekt – musíte nejprve zvážit stejnojmennou zakřivenou hyperbolu, která se vejde do dvourozměrného prostoru.
Hyperbola má dvě osy: skutečnou, která se na tomto obrázku shoduje s osou úsečky, a imaginární s osou y. Pokud v duchu začnete otáčet rovnici hyperboly kolem její pomyslné osy, pak povrch „viděný“křivkou bude jednovrstvý hyperboloid.
Začneme-li však hyperbolu otáčet kolem její skutečné osy tímto způsobem, pak každá ze dvou „polovin“křivky vytvoří svůj samostatný povrch a společně se bude nazývat dvou- plošný hyperboloid.
Získané rotací odpovídající rovinné křivky se nazývají hyperboloidy rotace. Mají parametry ve všech směrech kolmých k ose otáčení,patřící k pootočené křivce. Obecně tomu tak není.
Hyperboloidní rovnice
Obecně lze povrch definovat pomocí následujících rovnic v kartézských souřadnicích (x, y, z):
V případě rotačního hyperboloidu je jeho symetrie kolem osy, kolem které rotoval, vyjádřena v rovnosti koeficientů a=b.
Hyperboloidní charakteristiky
Má trik. Víme, že křivky v rovině mají ohniska - například v případě hyperboly modul rozdílu vzdáleností od libovolného bodu na hyperbole k jednomu ohnisku a druhému je z definice konstantní, ve skutečnosti ohnisko body.
Při přechodu do trojrozměrného prostoru se definice prakticky nemění: ohniska jsou opět dva body a rozdíl ve vzdálenostech od nich k libovolnému bodu náležejícímu k ploše hyperboloidu je konstantní. Jak vidíte, ze změn se pro všechny možné body objevila pouze třetí souřadnice, protože nyní jsou zasazeny do prostoru. Obecně řečeno, definování ohniska je ekvivalentní identifikaci typu křivky nebo povrchu: když mluvíme o tom, jak jsou body povrchu umístěny vzhledem k ohniskům, ve skutečnosti odpovídáme na otázku, co je hyperboloid a jak vypadá.
Je vhodné si připomenout, že hyperbola má asymptoty - přímky, ke kterým její větve inklinují k nekonečnu. Pokud se při konstrukci rotačního hyperboloidu myšlenkově otočí asymptoty spolu s hyperbolou, pak kromě hyperboloidu dostaneme i kužel zvaný asymptotický. Asymptotický kužel jepro jednovrstvé a dvouvrstvé hyperboloidy.
Další důležitou vlastností, kterou má pouze jednovrstvý hyperboloid, jsou přímočaré generátory. Jak název napovídá, jedná se o čáry a leží zcela na daném povrchu. Každým bodem jednovrstvého hyperboloidu procházejí dva přímočaré generátory. Patří do dvou rodin čar, které jsou popsány následujícími soustavami rovnic:
Jednovrstvý hyperboloid tedy může být celý složen z nekonečného počtu přímek dvou rodin a každá čára jedné z nich se bude protínat se všemi čarami druhé. Plochy odpovídající takovým vlastnostem se nazývají pravítko; lze je konstruovat pomocí rotace jedné přímky. Definice prostřednictvím vzájemného uspořádání čar (přímočarých generátorů) v prostoru může také sloužit jako jednoznačné označení toho, co je hyperboloid.
Zajímavé vlastnosti hyperboloidu
Křivky druhého řádu a jejich odpovídající rotační povrchy mají zajímavé optické vlastnosti spojené s ohnisky. V případě hyperboloidu je to formulováno následovně: pokud je paprsek vystřelen z jednoho ohniska, pak po odrazu od nejbližší „stěny“nabere takový směr, jako by vycházel z druhého ohniska.
Hyperboloidy v životě
S největší pravděpodobností se většina čtenářů začala seznamovat s analytickou geometrií a povrchy druhého řádu ze sci-fi románu Alexeje Tolstého"Hyperboloidní inženýr Garin". Sám pisatel však buď dobře nevěděl, co je hyperboloid, nebo obětoval přesnost v zájmu umění: popsaný vynález je z hlediska fyzikálních vlastností spíše paraboloidem, který shromažďuje všechny paprsky v jednom ohnisku (zatímco optické vlastnosti hyperboloidu jsou spojeny s rozptylem paprsků).
Takzvané hyperboloidní struktury jsou v architektuře velmi oblíbené: jedná se o struktury, které mají tvar jednovrstvého hyperboloidu nebo hyperbolického paraboloidu. Faktem je, že pouze tyto rotační plochy druhého řádu mají přímočaré generátory: zakřivenou konstrukci lze tedy postavit pouze z přímých nosníků. Výhody takových konstrukcí jsou ve schopnosti odolat těžkým nákladům, například větru: hyperboloidní tvar se používá při stavbě vysokých konstrukcí, například televizních věží.
