Téma "aritmetický postup" se studuje v obecném kurzu algebry na školách v 9. ročníku. Toto téma je důležité pro další hloubkové studium matematiky číselných řad. V tomto článku se seznámíme s aritmetickým postupem, jeho rozdílem a také s typickými úkoly, se kterými se mohou školáci setkat.
Koncept algebraické progrese
Číselná posloupnost je posloupnost čísel, ve které lze každý následující prvek získat z předchozího, pokud je aplikován nějaký matematický zákon. Existují dva jednoduché typy progrese: geometrická a aritmetická, která se také nazývá algebraická. Pojďme se tomu věnovat podrobněji.
Představme si nějaké racionální číslo, označme ho symbolem a1, kde index udává jeho pořadové číslo v uvažované řadě. Přidejme k a1 nějaké další číslo, označme ho d. Pak druhýprvek řady lze odrážet následovně: a2=a1+d. Nyní znovu přidejte d, dostaneme: a3=a2+d. Pokračováním této matematické operace můžete získat celou řadu čísel, která se bude nazývat aritmetická posloupnost.
Jak lze z výše uvedeného pochopit, k nalezení n-tého prvku této sekvence musíte použít vzorec: a =a1+ (n -1)d. Dosazením n=1 do výrazu skutečně dostaneme a1=a1, pokud n=2, pak vzorec znamená: a2=a1 + 1d a tak dále.
Pokud je například rozdíl aritmetické posloupnosti 5 a a1=1, znamená to, že číselná řada daného typu vypadá takto: 1, 6, 11, 16, 21, … Jak vidíte, každý z jeho členů je větší než předchozí o 5.
Vzorce pro rozdíl v aritmetickém postupu
Z výše uvedené definice uvažované řady čísel vyplývá, že k jejímu určení potřebujete znát dvě čísla: a1 ad. To druhé se nazývá rozdíl tohoto postupu. Jednoznačně určuje chování celé série. Pokud je totiž d kladné, pak se bude číselná řada neustále zvětšovat, naopak v případě záporného d se čísla v řadě zvětšují pouze modulo, zatímco jejich absolutní hodnota se s rostoucím číslem n snižuje.
Jaký je rozdíl v aritmetickém postupu? Zvažte dva hlavní vzorce, které se používají k výpočtu této hodnoty:
- d=an+1-a , tento vzorec vyplývá přímo z definice příslušné číselné řady.
- d=(-a1+a)/(n-1), tento výraz se získá vyjádřením d z uvedeného vzorce v předchozím odstavci článku. Všimněte si, že tento výraz se stane neurčitým (0/0), pokud n=1. To je způsobeno skutečností, že je nutné znát alespoň 2 prvky řady, aby bylo možné určit její rozdíl.
Tyto dva základní vzorce se používají k vyřešení jakéhokoli problému hledání rozdílu progrese. Existuje však další vzorec, o kterém také musíte vědět.
Součet prvních prvků
Vzorec, který lze podle historických důkazů použít k určení součtu libovolného počtu členů algebraické posloupnosti, poprvé získal „princ“matematiky 18. století Carl Gauss. Německý vědec, ještě jako chlapec v základních ročnících vesnické školy, si všiml, že pro sečtení přirozených čísel v řadě od 1 do 100 je nutné nejprve sečíst první prvek a poslední (výsledná hodnota se bude rovnat na součet předposledního a druhého, předposledního a třetího prvku atd.), a poté by se toto číslo mělo vynásobit počtem těchto částek, tedy 50.
Vzorec, který odráží uvedený výsledek na konkrétním příkladu, lze zobecnit na libovolný případ. Bude to vypadat takto: S =n/2(a +a1). Všimněte si, že pro nalezení zadané hodnoty není nutná znalost rozdílu d,pokud jsou známy dva členy progrese (a a a1).
Příklad 1. Určete rozdíl se znalostí dvou členů řady a1 a an
Ukažme si, jak v článku použít výše uvedené vzorce. Uveďme jednoduchý příklad: rozdíl aritmetické progrese neznáme, je nutné určit, čemu se bude rovnat, když a13=-5, 6 a a1 =-12, 1.
Vzhledem k tomu, že známe hodnoty dvou prvků číselné posloupnosti a jeden z nich je první číslo, můžeme pro určení rozdílu d použít vzorec č. 2. Máme: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Ve výrazu jsme použili hodnotu n=13, protože člen s tímto pořadovým číslem je známý.
Výsledný rozdíl naznačuje, že progrese se zvyšuje, přestože prvky uvedené v podmínce problému mají zápornou hodnotu. Je vidět, že a13>a1, ačkoli |a13|<|a 1 |.
Příklad 2. Pozitivní členové progrese v příkladu 1
Výsledek získaný v předchozím příkladu použijeme k vyřešení nového problému. Je formulován následovně: od jakého pořadového čísla začnou prvky progrese v příkladu č. 1 nabývat kladných hodnot?
Jak je znázorněno, progrese, ve které a1=-12, 1 a d=0. 54167 se zvyšuje, takže od nějakého čísla začnou čísla nabývat pouze kladných čísel hodnoty. K určení tohoto čísla n je třeba vyřešit jednoduchou nerovnici, která jematematicky zapsáno takto: a >0 nebo pomocí příslušného vzorce přepíšeme nerovnost: a1 + (n-1)d>0. Je potřeba najít neznámé n, vyjádřeme to: n>-1a1/d + 1. Nyní zbývá dosadit známé hodnoty rozdílu a prvního členu sekvence. Dostaneme: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 nebo n>23, 338. Protože n může nabývat pouze celočíselné hodnoty, z výsledné nerovnosti vyplývá, že jakékoli členy řady, které budou mít číslo větší než 23 bude kladné.
Zkontrolujte svou odpověď pomocí výše uvedeného vzorce pro výpočet 23. a 24. prvku této aritmetické posloupnosti. Máme: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (záporné číslo); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (kladná hodnota). Získaný výsledek je tedy správný: počínaje n=24 budou všechny členy číselné řady větší než nula.
Příklad 3. Kolik log se vejde?
Uveďme jeden kuriózní problém: během těžby dřeva bylo rozhodnuto naskládat nařezané kmeny na sebe, jak je znázorněno na obrázku níže. Kolik polen lze tímto způsobem naskládat, když víte, že se celkem vejde 10 řad?
Při tomto způsobu skládání logů si můžete všimnout jedné zajímavé věci: každý následující řádek bude obsahovat o jeden log méně než předchozí, to znamená, že existuje algebraický postup, jehož rozdíl je d=1. Za předpokladu, že počet protokolů v každém řádku je členem této progrese,a také vzhledem k tomu, že a1=1 (nahoře se vejde pouze jeden log), najdeme číslo a10. Máme: a10=1 + 1(10-1)=10. To znamená, že v 10. řadě, která leží na zemi, bude 10 polen.
Celkové množství této "pyramidové" konstrukce lze získat pomocí Gaussova vzorce. Dostaneme: S10=10/2(10+1)=55 logů.
