Běžný pětiúhelník: nezbytné minimum informací

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Ozhegov's Explanatory Dictionary uvádí, že pětiúhelník je geometrický útvar ohraničený pěti protínajícími se přímkami tvořícími pět vnitřních úhlů, stejně jako jakýkoli předmět podobného tvaru. Pokud má daný mnohoúhelník stejné strany a úhly, pak se nazývá pravidelný (pětiúhelník).

Co je zajímavého na pravidelném pětiúhelníku?

V této podobě byla postavena známá budova Ministerstva obrany Spojených států. Z objemných pravidelných mnohostěnů má pouze dvanáctistěny pětiúhelníkové tváře. A v přírodě zcela chybí krystaly, jejichž plochy by připomínaly pravidelný pětiúhelník. Tento obrázek je navíc mnohoúhelník s minimálním počtem rohů, které nelze použít k dlaždicím oblasti. Pouze pětiúhelník má stejný počet úhlopříček jako jeho strany. Souhlas, je to zajímavé!

Základní vlastnosti a vzorce

Použití vzorců prolibovolný pravidelný mnohoúhelník, můžete určit všechny potřebné parametry, které pětiúhelník má.

• Středový úhel α=360 / n=360/5=72°.
• Vnitřní úhel β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Součet vnitřních úhlů je tedy 540°.
• Poměr úhlopříčky ke straně je (1+√5) /2, tedy "zlatý řez" (přibližně 1, 618).
• Délku strany, kterou má pravidelný pětiúhelník, lze vypočítat pomocí jednoho ze tří vzorců v závislosti na tom, který parametr je již znám:
• pokud je kolem ní opsána kružnice a její poloměr R je znám, pak a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• v případě, že je do pravidelného pětiúhelníku vepsána kružnice o poloměru r, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
• stane se, že místo poloměrů je známa hodnota úhlopříčky D, pak se strana určí následovně: a ≈ D/1, 618.
• Plocha pravidelného pětiúhelníku je určena opět podle toho, jaký parametr známe:
• pokud existuje kruh vepsaný nebo opsaný, použije se jeden ze dvou vzorců:

S=(nar)/2=2, 5ar nebo S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

plochu lze také určit tak, že znáte pouze délku strany a:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Pravidelný pětiúhelník: konstrukce

Tento geometrický obrazec lze sestavit různými způsoby. Například jej vepište do kruhu s daným poloměrem nebo jej postavte na základě dané boční strany. Sled akcí byl popsán v Euklidových prvcích kolem roku 300 př.nl. V každém případě potřebujeme kružítko a pravítko. Zvažte konstrukční metodu pomocí daného kruhu.

1. Vyberte libovolný poloměr a nakreslete kružnici a označte její střed písmenem O.

2. Na kružnici vyberte bod, který bude sloužit jako jeden z vrcholů našeho pětiúhelníku. Nechť toto je bod A. Spojte body O a A přímkou.

3. Nakreslete čáru bodem O kolmým k přímce OA. Označte průsečík této přímky s přímkou kružnice jako bod B.

4. Uprostřed vzdálenosti mezi body O a B postavte bod C.

5. Nyní nakreslete kružnici, jejíž střed bude v bodě C a která bude procházet bodem A. Místem jejího průsečíku s přímkou OB (bude uvnitř úplně první kružnice) bude bod D.

6. Sestrojte kružnici procházející skrz D, jejíž střed bude v A. Místa jejího průsečíku s původní kružnicí musí být označena body E a F.

7. Nyní sestrojte kružnici, jejíž střed bude v E. Musíte to udělat tak, aby procházela A. Její další průsečík původní kružnice musí být označen bodem G.

8. Nakonec nakreslete kružnici skrz A se středem v bodě F. Označte další průsečík původní kružnice bodem H.

9. Nyní dolevastačí připojit vrcholy A, E, G, H, F. Náš pravidelný pětiúhelník bude připraven!