Vzorec pro objem šestibokého jehlanu: příklad řešení problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Výpočet objemů prostorových obrazců je jedním z důležitých úkolů stereometrie. V tomto článku se budeme zabývat otázkou stanovení objemu takového mnohostěnu jako jehlanu a také uvedeme vzorec pro objem pravidelného šestihranného jehlanu.

šestihranná pyramida

Nejprve se podívejme, o jaký údaj se jedná, o čemž bude řeč v článku.

Mějme libovolný šestiúhelník, jehož strany nemusí být nutně stejné. Předpokládejme také, že jsme zvolili bod v prostoru, který není v rovině šestiúhelníku. Spojením všech jeho rohů s vybraným bodem získáme pyramidu. Dvě různé pyramidy s šestihrannou základnou jsou zobrazeny na obrázku níže.

Je vidět, že kromě šestiúhelníku se obrazec skládá ze šesti trojúhelníků, jejichž spojovací bod se nazývá vrchol. Rozdíl mezi vyobrazenými pyramidami je v tom, že výška h pravé z nich neprotíná šestiúhelníkovou základnu v jejím geometrickém středu a výška levé postavy klesápřímo v tom centru. Díky tomuto kritériu byla levá pyramida nazývána rovná a pravá - šikmá.

Vzhledem k tomu, že základna levého obrázku na obrázku je tvořena šestiúhelníkem se stejnými stranami a úhly, nazývá se správný. Dále v článku budeme hovořit pouze o této pyramidě.

Objem šestihranné pyramidy

Pro výpočet objemu libovolné pyramidy platí následující vzorec:

V=1/3hS_o

Zde h je délka výšky postavy, S_{o je plocha její základny. Použijme tento výraz k určení objemu pravidelného šestibokého jehlanu.}

Vzhledem k tomu, že uvažovaný obrázek je založen na rovnostranném šestiúhelníku, můžete pro výpočet jeho plochy použít následující obecný výraz pro n-úhelník:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Zde n je celé číslo rovné počtu stran (rohů) mnohoúhelníku, a je délka jeho strany, funkce kotangens se vypočítá pomocí příslušných tabulek.

Použitím výrazu pro n=6 dostaneme:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Nyní zbývá dosadit tento výraz do obecného vzorce pro objem V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Pro výpočet objemu uvažované pyramidy je tedy nutné znát její dva lineární parametry: délku strany základny a výšku postavy.

Příklad řešení problému

Ukažme si, jak lze získaný výraz pro V_{6 použít k vyřešení následujícího problému.}

Je známo, že objem pravidelného šestibokého jehlanu je 100 cm3. Je nutné určit stranu základny a výšku postavy, pokud je známo, že spolu souvisí následující rovností:

a=2h

Vzhledem k tomu, že ve vzorci pro objem jsou zahrnuty pouze a a h, lze do něj dosadit kterýkoli z těchto parametrů, vyjádřeno v termínech druhého. Pokud například dosadíme a, dostaneme:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Abyste našli hodnotu výšky postavy, musíte vzít odmocninu třetího stupně z objemu, který odpovídá rozměru délky. Dosadíme hodnotu objemu V_{6 pyramidy z zadání problému, dostaneme výšku:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Vzhledem k tomu, že strana základny je v souladu se stavem problému dvojnásobkem nalezené hodnoty, dostaneme pro ni hodnotu:

a=2h=23, 0676=6, 1352 cm

Objem šestibokého jehlanu lze zjistit nejen z výšky postavy a hodnoty strany její základny. K výpočtu pyramidy stačí znát dva různé lineární parametry, například apotemu a délku boční hrany.