Jedním z obrazců, které se vyskytují při řešení geometrických problémů v prostoru, je kužel. Na rozdíl od mnohostěnů patří do třídy rotačních postav. Pojďme se v článku zamyslet nad tím, co se tím myslí v geometrii, a prozkoumáme charakteristiky různých částí kužele.
Kužel v geometrii
Předpokládejme, že na rovině je nějaká křivka. Může to být parabola, kruh, elipsa a tak dále. Vezměte bod, který nepatří do zadané roviny, a připojte k němu všechny body křivky. Výsledný povrch se nazývá kužel nebo jednoduše kužel.
Pokud je původní křivka uzavřená, pak může být kuželová plocha vyplněna hmotou. Takto získaný obrazec je trojrozměrné těleso. Říká se mu také kužel. Níže je zobrazeno několik papírových kornoutů.
Kónický povrch se vyskytuje v každodenním životě. Tento tvar má například zmrzlinový kornout nebo pruhovaný dopravní kornout, který je navržen tak, aby upoutal pozornost řidičů achodci.
Druhy šišek
Jak asi tušíte, uvažované obrazce se od sebe liší typem křivky, na které jsou vytvořeny. Existuje například kulatý kužel nebo eliptický. Tato křivka se nazývá základna obrázku. Tvar základny však není jedinou vlastností, která umožňuje klasifikaci kuželů.
Druhou důležitou charakteristikou je poloha výšky vzhledem k základně. Výška kužele je úsečka, která je spuštěna z horní části obrázku do roviny základny a je k této rovině kolmá. Pokud výška protíná základnu v geometrickém středu (například ve středu kruhu), pak bude kužel rovný, pokud kolmá úsečka spadne do jakéhokoli jiného bodu základny nebo za něj, pak bude obrazec šikmý.
V dalším článku budeme považovat za jasného zástupce uvažované třídy figurek pouze kulatý rovný kužel.
Geometrické názvy prvků kužele
Výše bylo řečeno, že kužel má základnu. Je ohraničena kružnicí, které se říká vedení kužele. Segmenty spojující vedení s bodem, který neleží v rovině základny, se nazývají generátory. Soubor všech bodů generátorů se nazývá kuželová nebo boční plocha obrazce. Pro kulatý pravý kužel mají všechny generátory stejnou délku.
Bod, kde se generátory protínají, se nazývá horní část obrázku. Na rozdíl od mnohostěnů má kužel jeden vrchol a neokraj.
Přímka procházející horní částí obrázku a středem kruhu se nazývá osa. Osa obsahuje výšku přímého kužele, svírá tedy s rovinou podstavy pravý úhel. Tato informace je důležitá při výpočtu plochy axiálního řezu kužele.
Kulatý rovný kužel - rotační obrázek
Uvažovaný kužel je poměrně symetrický obrazec, který lze získat jako výsledek rotace trojúhelníku. Předpokládejme, že máme trojúhelník s pravým úhlem. Chcete-li získat kužel, stačí otočit tento trojúhelník kolem jedné z nohou, jak je znázorněno na obrázku níže.
Je vidět, že osa rotace je osou kužele. Jedna z nohou se bude rovnat výšce postavy a druhá noha se stane poloměrem základny. Přepona trojúhelníku jako výsledek rotace bude popisovat kuželovou plochu. Bude to tvořící čára kužele.
Tento způsob získání kulatého rovného kužele je vhodný pro studium matematického vztahu mezi lineárními parametry obrazce: výškou h, poloměrem kruhové základny r a vedením g. Odpovídající vzorec vyplývá z vlastností pravoúhlého trojúhelníku. Je uveden níže:
g2=h2+ r2.
Vzhledem k tomu, že máme jednu rovnici a tři proměnné, znamená to, že pro jedinečné nastavení parametrů kulatého kužele potřebujete znát libovolné dvě veličiny.
Úseky kužele rovinou, která neobsahuje vrchol obrázku
Otázka konstrukce částí obrázku nenítriviální. Faktem je, že tvar řezu kužele plochou závisí na vzájemné poloze obrazce a sečny.
Předpokládejme, že kužel protneme rovinou. Jaký bude výsledek této geometrické operace? Možnosti tvaru sekce jsou znázorněny na obrázku níže.
Růžová část je kruh. Je vytvořen jako výsledek průsečíku obrázku s rovinou, která je rovnoběžná se základnou kužele. Jedná se o řezy kolmé k ose obrázku. Obrazec vytvořený nad rovinou řezu je kužel podobný původnímu, ale má na základně menší kruh.
Zelená část je elipsa. Získá se, pokud rovina řezu není rovnoběžná se základnou, ale pouze protíná boční plochu kužele. Postava odříznutá nad rovinou se nazývá eliptický šikmý kužel.
Modrá a oranžová sekce jsou parabolické a hyperbolické. Jak můžete vidět z obrázku, jsou získány, pokud rovina řezu současně protíná boční povrch a základnu obrázku.
Pro určení ploch řezů kužele, které byly uvažovány, je nutné použít vzorce pro odpovídající obrazec v rovině. Například pro kružnici je to číslo pí vynásobené druhou mocninou poloměru a pro elipsu je to součin pí a délky vedlejší a velké poloosy:
circle: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Sekce obsahující horní část kužele
Nyní zvažte možnosti řezů, které vzniknou, pokud je rovina řezuprojít vrcholem kužele. Jsou možné tři případy:
- Sekce je jeden bod. Například rovina procházející vrcholem a rovnoběžná se základnou dává právě takový řez.
- Úsek je rovná čára. Tato situace nastane, když je rovina tečnou ke kuželové ploše. Přímá čára řezu v tomto případě bude tvořící čáru kužele.
- Axiální sekce. Vzniká, když rovina obsahuje nejen vrchol obrazce, ale i celou jeho osu. V tomto případě bude rovina kolmá ke kulaté základně a rozdělí kužel na dvě stejné části.
Je zřejmé, že plochy prvních dvou typů sekcí jsou rovné nule. Pokud jde o plochu průřezu kužele pro 3. typ, tato problematika je podrobněji popsána v dalším odstavci.
Axiální sekce
Výše bylo poznamenáno, že axiální řez kuželem je obrazec vytvořený, když je kužel protnut rovinou procházející jeho osou. Je snadné uhodnout, že tato část bude představovat obrázek na obrázku níže.
Toto je rovnoramenný trojúhelník. Vrchol osového řezu kužele je vrcholem tohoto trojúhelníku, tvořeného průsečíkem identických stran. Ty se rovnají délce tvořící čáry kužele. Základna trojúhelníku je průměr základny kužele.
Výpočet plochy osového řezu kužele se redukuje na nalezení plochy výsledného trojúhelníku. Pokud jsou poloměr základny r a výška h kužele zpočátku známy, pak plocha S uvažovaného úseku bude:
S=hr.
Totovýraz je důsledkem použití standardního vzorce pro obsah trojúhelníku (polovina součinu výšky krát základna).
Všimněte si, že pokud se tvořící čára kužele rovná průměru jeho kulaté základny, pak je axiální řez kuželem rovnostranný trojúhelník.
Trojúhelníkový řez se vytvoří, když je rovina řezu kolmá k základně kužele a prochází jeho osou. Jakákoli jiná rovina rovnoběžná s pojmenovanou rovinou poskytne v řezu hyperbolu. Pokud však rovina obsahuje vrchol kužele a protíná jeho základnu nikoli průměrem, pak výsledný řez bude také rovnoramenný trojúhelník.
Problém určování lineárních parametrů kužele
Ukažme si, jak použít vzorec napsaný pro oblast osového řezu k vyřešení geometrického problému.
Je známo, že plocha axiálního řezu kužele je 100 cm2. Výsledný trojúhelník je rovnostranný. Jaká je výška kužele a poloměr jeho základny?
Protože je trojúhelník rovnostranný, jeho výška h souvisí s délkou strany a takto:
h=√3/2a.
Vzhledem k tomu, že strana trojúhelníku je dvojnásobkem poloměru základny kužele, a dosazením tohoto výrazu do vzorce pro plochu průřezu dostaneme:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Výška kužele je:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Zbývá nahradit hodnotu oblasti stavem problémua získejte odpověď:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
V jakých oblastech je důležité znát parametry uvažovaných úseků?
Studium různých typů kuželových řezů není jen teoretické, ale má také praktické využití.
Nejprve je třeba zmínit oblast aerodynamiky, kde lze pomocí kuželoseček vytvářet ideální hladké tvary pevných těles.
Za druhé, kuželosečky jsou trajektorie, po kterých se vesmírné objekty pohybují v gravitačních polích. Jaký konkrétní typ řezu představuje trajektorii pohybu vesmírných těles systému je určen poměrem jejich hmotností, absolutních rychlostí a vzdáleností mezi nimi.
