Geometrie je odvětví matematiky, které studuje struktury v prostoru a vztahy mezi nimi. Ta se zase skládá ze sekcí a jednou z nich je stereometrie. Umožňuje studium vlastností objemových obrazců umístěných v prostoru: krychle, pyramidy, koule, kužele, válce atd.
Kužel je těleso v euklidovském prostoru, které ohraničuje kuželovou plochu a rovinu, na které leží konce jeho generátorů. K jeho vzniku dochází v procesu rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem kterékoli z jeho nohou, proto patří k rotačním tělesům.
Kónické součásti
Rozlišují se následující typy kuželů: šikmé (neboli šikmé) a rovné. Šikmý je ten, jehož osa se protíná se středem jeho základny ne v pravém úhlu. Z tohoto důvodu se výška v takovém kuželu neshoduje s osou, protože se jedná o segment, který je spuštěn z horní části těla do jeho roviny.základna na 90°.
Tento kužel, jehož osa je kolmá k jeho základně, se nazývá přímý kužel. Osa a výška v takovém geometrickém tělese se shodují kvůli skutečnosti, že vrchol v něm je umístěn nad středem průměru základny.
Kužel se skládá z následujících prvků:
- Kruh, který je jeho základnou.
- Side.
- Bod neležící v rovině základny, nazývaný vrchol kužele.
- Segmenty, které spojují body kružnice základny geometrického tělesa a jeho vrcholu.
Všechny tyto segmenty jsou generujícími přímkami kužele. Jsou nakloněny k základně geometrického tělesa a v případě pravého kužele jsou jejich průměty stejné, protože vrchol je stejně vzdálen od bodů základní kružnice. Můžeme tedy dojít k závěru, že v pravidelném (přímém) kuželu jsou generátory stejné, to znamená, že mají stejnou délku a svírají stejné úhly s osou (nebo výškou) a základnou.
Vzhledem k tomu, že v šikmém (nebo nakloněném) rotačním tělese je vrchol posunut vzhledem ke středu základní roviny, mají generátory v takovém tělese různé délky a projekce, protože každý z nich je v jiné vzdálenosti z libovolných dvou bodů základní kružnice. Kromě toho se budou lišit také úhly mezi nimi a výška kužele.
Délka generátorů v pravém kuželu
Jak bylo napsáno dříve, výška v přímém geometrickém rotačním tělese je kolmá k rovině základny. Tvořící čára, výška a poloměr základny tedy tvoří pravoúhlý trojúhelník v kuželu.
To znamená, že pokud znáte poloměr základny a výšku, pomocí vzorce z Pythagorovy věty můžete vypočítat délku tvořící čáry, která se bude rovnat součtu čtverců poloměru základny a výška:
l2 =r2+ h2 nebo l=√r 2 + h2
kde l je tvořící čára;
r – poloměr;
h – výška.
Generativní v šikmém kuželu
Na základě skutečnosti, že v šikmém nebo šikmém kuželu nejsou generátory stejně dlouhé, nebude možné je vypočítat bez dodatečných konstrukcí a výpočtů.
Především musíte znát výšku, délku osy a poloměr základny.
S těmito údaji můžete vypočítat část poloměru ležící mezi osou a výškou pomocí vzorce z Pythagorovy věty:
r1=√k2 - h2
kde r1 je část poloměru mezi osou a výškou;
k – délka nápravy;
h – výška.
V důsledku sečtení poloměru (r) a jeho části ležící mezi osou a výškou (r1) můžete zjistit celou stranu zprava trojúhelník tvořený tvořící čárou kužele, jeho výškovou a průměrovou částí:
R=r + r1
kde R je rameno trojúhelníku tvořeného výškou, tvořící čárou a částí průměru základny;
r – základní poloměr;
r1 – část poloměru mezi osou a výškou.
Pomocí stejného vzorce z Pythagorovy věty můžete zjistit délku tvořící čáry kužele:
l=√h2+ R2
nebo bez samostatného výpočtu R zkombinujte dva vzorce do jednoho:
l=√h2 + (r + r1)2.
Navzdory tomu, zda se jedná o přímý nebo šikmý kužel a jaký druh vstupních dat, všechny metody pro zjištění délky tvořící přímky vždy vedou k jednomu výsledku - použití Pythagorovy věty.
Kuželová sekce
Axiální řez kuželem je rovina procházející podél jeho osy nebo výšky. V pravém kuželu je takový úsek rovnoramenný trojúhelník, ve kterém je výška trojúhelníku výška tělesa, jeho strany jsou generátory a základna je průměr základny. V rovnostranném geometrickém tělese je osovým řezem rovnostranný trojúhelník, protože v tomto kuželu je průměr základny a generátorů stejný.
Rovina osového řezu v přímém kuželu je rovinou jeho symetrie. Důvodem je, že jeho vrchol je nad středem jeho základny, to znamená, že rovina osového řezu rozděluje kužel na dvě stejné části.
Vzhledem k tomu, že výška a osa se u nakloněného tělesa neshodují, rovina osového řezu nemusí zahrnovat výšku. Pokud je možné v takovém kuželu sestrojit soustavu osových řezů, neboť k tomu musí být dodržena pouze jedna podmínka - musí procházet pouze osou, pak pouze jeden osový řez rovinou, který bude patřit výšce tento kužel lze nakreslit, protože se zvyšuje počet podmínek, a jak známo, dvě čáry (společně) mohou patřit kpouze jedno letadlo.
Oblast sekce
Axiální řez výše zmíněného kužele je trojúhelník. Na základě toho lze jeho plochu vypočítat pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku:
S=1/2dh nebo S=1/22rh
kde S je plocha průřezu;
d – průměr základny;
r – poloměr;
h – výška.
V šikmém nebo šikmém kuželu je řez podél osy také trojúhelník, takže plocha průřezu v něm se vypočítá podobně.
Volume
Vzhledem k tomu, že kužel je trojrozměrný útvar v trojrozměrném prostoru, můžeme vypočítat jeho objem. Objem kužele je číslo, které charakterizuje toto těleso v objemové jednotce, tedy v m3. Výpočet nezávisí na tom, zda je přímý nebo šikmý (šikmý), protože vzorce pro tyto dva typy těles se neliší.
Jak bylo uvedeno dříve, k vytvoření pravého kužele dochází v důsledku rotace pravoúhlého trojúhelníku podél jedné z jeho nohou. Šikmý nebo šikmý kužel je vytvořen jinak, protože jeho výška je posunuta směrem od středu základní roviny tělesa. Takové rozdíly ve struktuře však neovlivňují způsob výpočtu jeho objemu.
Výpočet objemu
Vzorec pro objem libovolného kužele vypadá takto:
V=1/3πhr2
kde V je objem kužele;
h – výška;
r – poloměr;
π - konstanta rovna 3, 14.
Abyste mohli vypočítat objem kužele, potřebujete údaje o výšce a poloměru základny tělesa.
Abyste mohli vypočítat výšku tělesa, potřebujete znát poloměr základny a délku její tvořící čáry. Protože poloměr, výška a tvořící čára jsou sloučeny do pravoúhlého trojúhelníku, lze výšku vypočítat pomocí vzorce z Pythagorovy věty (a2+ b2=c 2 nebo v našem případě h2+ r2=l2 , kde l - tvořící čára). V tomto případě bude výška vypočítána extrakcí druhé odmocniny rozdílu mezi druhými mocninami přepony a druhé větve:
a=√c2- b2
To znamená, že výška kužele bude rovna hodnotě získané po extrakci druhé odmocniny z rozdílu mezi druhou mocninou délky tvořící čáry a druhou mocninou poloměru základny:
h=√l2 - r2
Výpočet výšky pomocí této metody a znalost poloměru jeho základny, můžete vypočítat objem kužele. V tomto případě hraje důležitou roli tvořící čára, protože slouží jako pomocný prvek ve výpočtech.
Podobně, pokud znáte výšku těla a délku jeho tvořící čáry, můžete najít poloměr jeho základny extrahováním druhé odmocniny rozdílu mezi druhou mocninou tvořící čáry a druhou mocninou výšky:
r=√l2 - h2
Potom pomocí stejného vzorce jako výše vypočítejte objem kužele.
Objem nakloněného kužele
Vzhledem k tomu, že vzorec pro objem kužele je stejný pro všechny typy rotačních těles, rozdílem v jeho výpočtu je hledání výšky.
Aby bylo možné zjistit výšku nakloněného kužele, musí vstupní data zahrnovat délku tvořící čáry, poloměr základny a vzdálenost mezi středemzákladna a průsečík výšky tělesa s rovinou jeho základny. Když to víte, můžete snadno vypočítat tu část průměru základny, která bude základnou pravoúhlého trojúhelníku (tvořeného výškou, tvořící přímkou a rovinou základny). Poté opět pomocí Pythagorovy věty vypočítejte výšku kužele a následně jeho objem.
