Postavám revoluce v geometrii je věnována zvláštní pozornost při studiu jejich charakteristik a vlastností. Jedním z nich je komolý kužel. Tento článek si klade za cíl odpovědět na otázku, jaký vzorec lze použít k výpočtu plochy komolého kužele.
O jaké postavě mluvíme?
Před popisem plochy komolého kužele je nutné uvést přesnou geometrickou definici tohoto obrazce. Zkrácený je takový kužel, který se získá jako výsledek odříznutí vrcholu obyčejného kužele rovinou. V této definici je třeba zdůraznit řadu nuancí. Nejprve musí být rovina řezu rovnoběžná s rovinou základny kužele. Za druhé, původní obrázek musí být kruhový kužel. Samozřejmě to může být eliptický, hyperbolický a jiný typ postavy, ale v tomto článku se omezíme pouze na kruhový kužel. To druhé je znázorněno na obrázku níže.
Je snadné uhodnout, že jej lze získat nejen pomocí řezu rovinou, ale také pomocí rotace. ProChcete-li to provést, musíte vzít lichoběžník, který má dva pravé úhly, a otočit jej kolem strany, která sousedí s těmito pravými úhly. V důsledku toho se základny lichoběžníku stanou poloměry základen komolého kužele a boční nakloněná strana lichoběžníku bude popisovat kuželovou plochu.
Vývoj tvaru
S ohledem na povrchovou plochu komolého kužele je užitečné přinést jeho vývoj, tedy obraz povrchu trojrozměrného obrazce v rovině. Níže je sken studovaného obrázku s libovolnými parametry.
Je vidět, že plocha obrázku je tvořena třemi složkami: dvěma kruhy a jedním zkráceným kruhovým segmentem. Je zřejmé, že pro určení požadované plochy je nutné sečíst plochy všech jmenovaných obrazců. Pojďme tento problém vyřešit v dalším odstavci.
Oblast komolého kužele
Aby bylo snazší pochopit následující zdůvodnění, zavádíme následující zápis:
- r1, r2 - poloměry velké a malé základny;
- h - výška postavy;
- g - tvořící čára kužele (délka šikmé strany lichoběžníku).
Plochu základen komolého kužele lze snadno vypočítat. Napišme odpovídající výrazy:
So1=pir12;
So2=pir22.
Oblast části kruhového segmentu je poněkud obtížnější určit. Pokud si představíme, že střed tohoto kruhového sektoru není vyříznut, pak se jeho poloměr bude rovnat hodnotě G. Není těžké jej vypočítat, pokud uvážíme odpovídajícípodobné pravoúhlé kuželové trojúhelníky. Je rovno:
G=r1g/(r1-r2).
Pak bude plocha celého kruhového sektoru, který je postaven na poloměru G a který se opírá o oblouk délky 2pir1, rovna komu:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Nyní určíme oblast malého kruhového sektoru S2, kterou bude třeba odečíst od S1. Je rovno:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Plocha kónické komolé plochy Sbje rovna rozdílu mezi S1 a S 2. Dostáváme:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Navzdory některým těžkopádným výpočtům jsme získali poměrně jednoduchý výraz pro plochu bočního povrchu obrázku.
Přičtením ploch základen a Sb dojdeme ke vzorci pro obsah komolého kužele:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Pro výpočet hodnoty S studovaného útvaru tedy potřebujete znát jeho tři lineární parametry.
Příklad problému
Kruhový rovný kuželo poloměru 10 cm a výšce 15 cm byl odříznut rovinou tak, aby byl získán pravidelný komolý kužel. S vědomím, že vzdálenost mezi základnami zkráceného obrazce je 10 cm, je nutné zjistit jeho povrch.
Abyste mohli použít vzorec pro oblast komolého kužele, musíte najít tři jeho parametry. Jeden, kterého známe:
r1=10 cm.
Další dva lze snadno vypočítat, pokud vezmeme v úvahu podobné pravoúhlé trojúhelníky, které jsou získány jako výsledek osového řezu kužele. Vezmeme-li v úvahu stav problému, dostaneme:
r2=105/15=3,33 cm.
Konečně, vodítko komolého kužele g bude:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Nyní můžete nahradit hodnoty r1, r2 a g do vzorce pro S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Požadovaná plocha figurky je přibližně 852 cm2.
