Při zvažování obrazců v prostoru často vyvstávají problémy s určením jejich plochy. Jednou z takových postav je kužel. Zvažte v článku, jaký je boční povrch kužele s kulatou základnou a také komolého kužele.
Kužel s kulatou základnou
Než přistoupíme k úvaze o boční ploše kužele, ukážeme si, o jaký tvar se jedná a jak jej získat pomocí geometrických metod.
Vezměte pravoúhlý trojúhelník ABC, kde AB a AC jsou nohy. Položme tento trojúhelník na nohu AC a otočme jím kolem nohy AB. V důsledku toho strany AC a BC popisují dva povrchy níže uvedeného obrázku.
Číslice získaná rotací se nazývá kulatý rovný kužel. Je kulatý, protože jeho základnou je kruh, a rovný, protože kolmice nakreslená z horní části obrázku (bod B) protíná kruh v jeho středu. Délka této kolmice se nazývá výška. Je zřejmé, že se rovná noze AB. Výška se obvykle označuje písmenem h.
Kromě výšky je uvažovaný kužel popsán ještě dvěma lineárními charakteristikami:
- generování neboli generatrix (hypotenuse BC);
- základní poloměr (noha AC).
Poloměr bude označen písmenem r a matice generátoru g. Potom, vezmeme-li v úvahu Pythagorovu větu, můžeme zapsat rovnost důležitou pro uvažovaný obrazec:
g2=h2+ r2
Kónický povrch
Součet všech tvořících přímek tvoří kuželový nebo boční povrch kužele. Vzhledově je těžké říci, které ploché postavě odpovídá. To je důležité vědět při určování plochy kuželové plochy. K vyřešení tohoto problému se používá metoda sweep. Spočívá v následujícím: povrch se mentálně rozřízne podél libovolné tvořící čáry a poté se rozvine v rovině. S touto metodou získání zatáčky se vytvoří následující plochý obrazec.
Jak asi tušíte, kruh odpovídá základně, ale kruhový sektor je kuželová plocha, jejíž plocha nás zajímá. Sektor je ohraničen dvěma tvořícími přímkami a obloukem. Délka druhého se přesně rovná obvodu (délce) obvodu základny. Tyto charakteristiky jednoznačně určují všechny vlastnosti kruhového sektoru. Nebudeme poskytovat střední matematické výpočty, ale okamžitě zapíšeme konečný vzorec, pomocí kterého můžete vypočítat plochu bočního povrchu kužele. Vzorec je:
Sb=pigr
Plocha kuželové plochy Sbje rovna součinu dvou parametrů a Pi.
Komolý kužel a jeho povrch
Pokud vezmeme obyčejný kužel a odřízneme jeho vrchol rovnoběžnou rovinou, bude zbývajícím obrazcem komolý kužel. Jeho boční plocha je ohraničena dvěma kruhovými základnami. Označme jejich poloměry jako R a r. Výšku obrazce označíme h a tvořící čáru g. Níže je papírový výřez pro tento obrázek.
Je vidět, že boční plocha již není kruhový sektor, je menší na plochu, protože od něj byla odříznuta střední část. Vývoj je omezen na čtyři úsečky, dvě z nich jsou přímé úsečky-generátory, další dvě jsou oblouky s délkami odpovídajících kružnic základen komolého kužele.
Postranní plocha Sbvypočteno takto:
Sb=pig(r + R)
Generační čára, poloměry a výška jsou spojeny pomocí následující rovnosti:
g2=h2+ (R - r)2
Problém s rovností oblastí čísel
U kužele o výšce 20 cm a poloměru základny 8 cm je nutné najít výšku komolého kužele, jehož boční plocha bude mít stejnou plochu jako tento kužel. Zkrácená postava je postavena na stejné základně a poloměr horní základny je 3 cm.
Nejprve si zapišme podmínku rovnosti ploch kužele a komolého obrazce. Máme:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Nyní napíšeme výrazy pro generatry každého tvaru:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Dosaďte g1 a g2 do vzorce pro stejné plochy a odmocni levou a pravou stranu, dostaneme:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Kde získáme výraz pro h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Nebudeme tuto rovnost zjednodušovat, ale jednoduše dosadíme data známá z podmínky:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Aby se tedy vyrovnaly plochy bočních ploch obrazců, musí mít komolý kužel parametry: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
