Plocha boční plochy a objem komolého jehlanu: vzorce a příklad řešení typického problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Při studiu vlastností obrazců v trojrozměrném prostoru v rámci stereometrie je často nutné řešit problémy s určením objemu a povrchu. V tomto článku si ukážeme, jak vypočítat objem a boční povrch komolého jehlanu pomocí dobře známých vzorců.

Pyramida v geometrii

V geometrii je obyčejná pyramida obrazcem v prostoru, který je postaven na nějakém plochém n-úhelníku. Všechny jeho vrcholy jsou spojeny s jedním bodem umístěným mimo rovinu polygonu. Zde je například fotografie pětiboké pyramidy.

Tento obrazec je tvořen plochami, vrcholy a hranami. Pětiúhelníková plocha se nazývá základna. Zbývající trojúhelníkové plochy tvoří boční plochu. Průsečík všech trojúhelníků je hlavním vrcholem pyramidy. Pokud se z něj sníží kolmice na základnu, jsou možné dvě možnosti umístění průsečíku:

• v geometrickém středu, pak se pyramida nazývá přímka;
• nejsem ingeometrický střed, pak bude obrazec šikmý.

Dále budeme uvažovat pouze rovné obrazce s pravidelnou n-gonální základnou.

Co je to za obrázek - komolá pyramida?

K určení objemu komolého jehlanu je nutné jasně pochopit, o který obrazec se konkrétně jedná. Pojďme si tento problém vyjasnit.

Předpokládejme, že vezmeme řeznou rovinu, která je rovnoběžná se základnou obyčejné pyramidy, a odřízneme s ní část boční plochy. Pokud tuto operaci provedete s pětiúhelníkovým jehlanem zobrazeným výše, dostanete takové číslo jako na obrázku níže.

Z fotografie je vidět, že tato pyramida má již dvě základny a horní je podobná spodní, ale je menší. Boční plocha již není reprezentována trojúhelníky, ale lichoběžníky. Jsou rovnoramenné a jejich počet odpovídá počtu stran základny. Zkrácený obrazec nemá hlavní vrchol jako běžná pyramida a jeho výška je určena vzdáleností mezi rovnoběžnými základnami.

V obecném případě, pokud je uvažovaný obrazec tvořen n-gonálními základnami, má n+2 ploch nebo stran, 2n vrcholů a 3n hran. To znamená, že komolá pyramida je mnohostěn.

Vzorec pro objem komolé pyramidy

Připomeňme, že objem obyčejné pyramidy je 1/3 součinu její výšky a základní plochy. Tento vzorec není vhodný pro komolou pyramidu, protože má dvě základny. A jeho objembude vždy menší než stejná hodnota pro běžnou hodnotu, ze které je odvozen.

Aniž bychom zacházeli do matematických detailů získávání výrazu, uvádíme konečný vzorec pro objem komolého jehlanu. Píše se takto:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Zde S₁ a S_{2 jsou plochy spodní a horní základny, h je výška postavy. Písemný výraz platí nejen pro rovný pravidelný komolý jehlan, ale i pro jakýkoli obrazec této třídy. Navíc bez ohledu na typ základních polygonů. Jedinou podmínkou omezující použití výrazu pro V je potřeba, aby základny pyramidy byly vzájemně rovnoběžné.}

Nastudováním vlastností tohoto vzorce lze vyvodit několik důležitých závěrů. Pokud je tedy plocha horní základny nula, dojdeme ke vzorci pro V obyčejné pyramidy. Pokud jsou plochy podstav navzájem stejné, dostaneme vzorec pro objem hranolu.

Jak určit boční povrch?

Znalost vlastností komolého jehlanu vyžaduje nejen schopnost vypočítat jeho objem, ale také vědět, jak určit plochu bočního povrchu.

Zkrácená pyramida se skládá ze dvou typů ploch:

• rovnoramenné lichoběžníky;
• polygonální základny.

Pokud je v základnách pravidelný mnohoúhelník, pak výpočet jeho plochy nepředstavuje velkýpotíže. K tomu potřebujete znát pouze délku strany a a jejich počet n.

V případě boční plochy zahrnuje výpočet její plochy určení této hodnoty pro každý z n lichoběžníků. Pokud je n-úhelník správný, vzorec pro boční povrch bude:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Zde h_b je výška lichoběžníku, který se nazývá apotém postavy. Veličiny a₁ a a_{2jsou délky stran pravidelných n-gonálních základen.}

Pro každou pravidelnou n-gonální komolou pyramidu lze apotemu h_b jednoznačně definovat pomocí parametrů a₁ a a _{2a výška h tvaru.}

Úkol vypočítat objem a plochu obrázku

S ohledem na pravidelný trojúhelníkový komolý jehlan. Je známo, že jeho výška h je 10 cm a délky stran základen jsou 5 cm a 3 cm. Jaký je objem komolého jehlanu a plocha jeho boční plochy?

Nejprve vypočítejme hodnotu V. K tomu najděte plochy rovnostranných trojúhelníků umístěných na základnách obrázku. Máme:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Nahraďte data do vzorce pro V, získáme požadovaný objem:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Chcete-li určit boční povrch, měli byste vědětdélka apotémy h_{b. Vezmeme-li v úvahu odpovídající pravoúhlý trojúhelník uvnitř pyramidy, můžeme pro něj napsat rovnost:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Hodnota apotému a strany trojúhelníkových základen se dosadí do výrazu pro S_{b a dostaneme odpověď:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Odpověděli jsme tedy na všechny otázky problému: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.