Odvození vzorce pro plochu kužele. Příklad řešení problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 05:20

Studium vlastností prostorových obrazců hraje důležitou roli při řešení praktických problémů. Věda, která se zabývá postavami ve vesmíru, se nazývá stereometrie. V tomto článku se z hlediska prostorové geometrie podíváme na kužel a ukážeme si, jak najít oblast kužele.

Kužel s kulatou základnou

V obecném případě je kužel plocha postavená na nějaké rovinné křivce, jejíž všechny body jsou spojeny úsečkami s jedním bodem v prostoru. Ten se nazývá vrchol kužele.

Z výše uvedené definice je jasné, že křivka může mít libovolný tvar, například parabolický, hyperbolický, eliptický a tak dále. Přesto se v praxi a při problémech v geometrii často setkáváme s kulatým kuželem. Je to zobrazeno na obrázku níže.

Zde symbol r označuje poloměr kružnice umístěné na základně obrázku, h je kolmice k rovině kruhu, která je nakreslena z horní části obrázku. Říká se tomu výška. Hodnota s je tvořící čára kužele nebo jeho tvořící čára.

Je vidět, že segmenty r, h a stvoří pravoúhlý trojúhelník. Pokud se otočí kolem nohy h, pak přepona s bude popisovat kuželovou plochu a noha r tvoří kruhovou základnu obrazce. Z tohoto důvodu je kužel považován za postavu revoluce. Tři pojmenované lineární parametry jsou propojeny rovností:

s²=r²+ h²

Upozorňujeme, že daná rovnost platí pouze pro kulatý rovný kužel. Rovná postava je pouze tehdy, pokud její výška spadá přesně do středu základní kružnice. Pokud tato podmínka není splněna, pak se obrazec nazývá šikmý. Rozdíl mezi přímými a šikmými kužely je znázorněn na obrázku níže.

Vývoj tvaru

Studium povrchové plochy kužele je vhodné provést s ohledem na rovinu. Tento způsob znázornění povrchu postav v prostoru se nazývá jejich vývoj. U kužele lze tento vývoj získat následovně: musíte vzít postavu vyrobenou například z papíru. Poté nůžkami odstřihněte kulatou základnu po obvodu. Poté podél tvořící čáry proveďte řez kuželovou plochou a otočte ji do roviny. Výsledkem těchto jednoduchých operací bude vyvinutí kužele, znázorněného na obrázku níže.

Jak vidíte, povrch kužele může být skutečně znázorněn na rovině. Skládá se z následujících dvou částí:

• kruh s poloměrem r představujícím základnu obrázku;
• kruhový sektor s poloměrem g, což je kuželová plocha.

Vzorec pro plochu kužele zahrnuje nalezení ploch obou rozvinutých ploch.

Vypočítejte povrch obrázku

Rozdělme úkol do dvou fází. Nejprve najdeme plochu základny kužele, poté plochu kuželové plochy.

První část problému lze snadno vyřešit. Protože je dán poloměr r, stačí vyvolat odpovídající výraz pro oblast kruhu pro výpočet plochy základny. Pojďme si to zapsat:

S_o=pi × r²

Pokud není poloměr znám, měli byste jej nejprve najít pomocí vztahu mezi ním, výškou a generátorem.

Druhá část problému hledání oblasti kužele je poněkud složitější. Všimněte si, že kruhový sektor je postaven na poloměru g tvořící čáry a je ohraničen obloukem, jehož délka se rovná obvodu kruhu. Tato skutečnost umožňuje zapsat poměr a najít úhel uvažovaného sektoru. Označme to řeckým písmenem φ. Tento úhel bude roven:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pí × r / g

Znáte-li středový úhel φ kruhového sektoru, můžete použít vhodný poměr k nalezení jeho plochy. Označme jej symbolem S_b. Bude se rovnat:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

To znamená, že plocha kuželové plochy odpovídá součinu tvořící přímky g, poloměru základny r a čísla Pi.

Vědět, jaké jsou oblasti obouuvažovaných ploch, můžeme napsat konečný vzorec pro oblast kužele:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Psaný výraz předpokládá znalost dvou lineárních parametrů kužele pro výpočet S. Pokud g nebo r není známo, lze je najít pomocí výšky h.

Problém výpočtu plochy kužele

Je známo, že výška kulatého rovného kužele se rovná jeho průměru. Je nutné vypočítat plochu obrázku s vědomím, že plocha jeho základny je 50 cm².

Znáte-li plochu kruhu, můžete najít poloměr obrázku. Máme:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Nyní najdeme generátor g ve smyslu h a r. Podle podmínky je výška h obrázku rovna dvěma poloměrům r, pak:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Nalezené vzorce pro g a r je třeba dosadit do výrazu pro celou plochu kužele. Dostáváme:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Do výsledného výrazu dosadíme obsah základny S_o a zapíšeme odpověď: S ≈ 161,8 cm².