Tangenciální nebo tangenciální zrychlení

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-02 17:43

Všechna těla, která nás obklopují, jsou v neustálém pohybu. Pohyb těles ve vesmíru je pozorován na všech měřítkových úrovních, počínaje pohybem elementárních částic v atomech hmoty a konče zrychleným pohybem galaxií ve Vesmíru. V každém případě k procesu pohybu dochází se zrychlením. V tomto článku se budeme podrobně zabývat konceptem tečného zrychlení a poskytneme vzorec, podle kterého jej lze vypočítat.

Kinematické veličiny

Než budeme mluvit o tangenciálním zrychlení, uvažme, jaké veličiny je obvyklé charakterizovat libovolný mechanický pohyb těles v prostoru.

Především je to dráha L. Ukazuje vzdálenost v metrech, centimetrech, kilometrech atd., kterou tělo urazilo za určitou dobu.

Druhou důležitou vlastností v kinematice je rychlost těla. Na rozdíl od cesty je to vektorová veličina a směřuje po trajektoriipohyby těla. Rychlost určuje rychlost změny prostorových souřadnic v čase. Vzorec pro jeho výpočet je:

v¯=dL/dt

Rychlost je časovou derivací cesty.

Konečně, třetí důležitou vlastností pohybu těles je zrychlení. Podle definice ve fyzice je zrychlení veličina, která určuje změnu rychlosti s časem. Vzorec pro něj lze napsat jako:

a¯=dv¯/dt

Akcelerace, stejně jako rychlost, je také vektorová veličina, ale na rozdíl od ní je směrována ve směru změny rychlosti. Směr zrychlení se také shoduje s vektorem výsledné síly působící na těleso.

Dráha a zrychlení

Mnoho problémů ve fyzice je posuzováno v rámci přímočarého pohybu. V tomto případě se zpravidla nemluví o tečném zrychlení bodu, ale pracuje se s lineárním zrychlením. Pokud však pohyb tělesa není lineární, pak lze jeho plné zrychlení rozložit na dvě složky:

tangenta;
normální.

V případě lineárního pohybu je normální složka nula, takže nemluvíme o vektorové expanzi zrychlení.

Trajektorie pohybu tedy do značné míry určuje povahu a složky plného zrychlení. Trajektorie pohybu je chápána jako pomyslná čára v prostoru, po které se těleso pohybuje. Žádnýkřivočará trajektorie vede k výskytu nenulových složek zrychlení uvedených výše.

Určení tangenciálního zrychlení

Tangenciální nebo, jak se také nazývá, tangenciální zrychlení je složkou plného zrychlení, které směřuje tečně k trajektorii pohybu. Protože rychlost směřuje také podél trajektorie, vektor tečného zrychlení se shoduje s vektorem rychlosti.

Koncept zrychlení jako měřítka změny rychlosti byl uveden výše. Protože rychlost je vektorová, lze ji měnit buď modulo nebo směrově. Tangenciální zrychlení určuje pouze změnu modulu rychlosti.

Všimněte si, že v případě přímočarého pohybu vektor rychlosti nemění svůj směr, proto v souladu s výše uvedenou definicí mají tečné zrychlení a lineární zrychlení stejnou hodnotu.

Získání rovnice tangenciálního zrychlení

Předpokládejme, že se těleso pohybuje po nějaké zakřivené trajektorii. Potom jeho rychlost v¯ ve zvoleném bodě může být znázorněna následovně:

v¯=vu_t¯

Zde v je modul vektoru v¯, u_{t¯ je jednotkový vektor rychlosti nasměrovaný tečně k trajektorii.}

Použitím matematické definice zrychlení dostaneme:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

Při hledání derivace zde byla použita vlastnost součinu dvou funkcí. Vidíme, že celkové zrychlení a¯ v uvažovaném bodě odpovídá součtu dvou členů. Jsou tečnou a normálním zrychlením bodu.

Řekněme si pár slov o normálním zrychlení. Je zodpovědný za změnu vektoru rychlosti, tedy za změnu směru pohybu tělesa po křivce. Pokud explicitně vypočítáme hodnotu druhého členu, dostaneme vzorec pro normální zrychlení:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

Normální zrychlení je směrováno podél normály obnovené do daného bodu křivky. V případě kruhového pohybu je normální zrychlení dostředivé.

Rovnice tangenciálního zrychlení a_{t¯ je:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Tento výraz říká, že tečné zrychlení neodpovídá změně směru, ale změně modulu rychlosti v¯ během okamžiku. Protože tečné zrychlení směřuje tangenciálně k uvažovanému bodu trajektorie, je vždy kolmé k normálové složce.

Tangenciální zrychlení a celkový modul zrychlení

Byly uvedeny všechny výše uvedené informace, které vám umožňují vypočítat celkové zrychlení přes tečnu a normálu. Protože jsou obě složky vzájemně kolmé, jejich vektory tvoří ramena pravoúhlého trojúhelníku,jehož přepona je vektor celkového zrychlení. Tato skutečnost nám umožňuje napsat vzorec pro modul celkového zrychlení v následujícím tvaru:

a=√(a² + a_t²⁾

Úhel θ mezi plným zrychlením a tangenciálním zrychlením lze definovat následovně:

θ=arccos(a_t/a)

Čím větší je tečné zrychlení, tím blíže jsou směry tečného a plného zrychlení.

Vztah mezi tangenciálním a úhlovým zrychlením

Typická křivočará trajektorie, po které se tělesa pohybují v technologii a přírodě, je kruh. Pohyb ozubených kol, lopatek a planet kolem jejich vlastní osy nebo kolem jejich svítidel se skutečně odehrává přesně v kruhu. Pohyb odpovídající této trajektorii se nazývá rotace.

Kinematika rotace se vyznačuje stejnými hodnotami jako kinematika pohybu po přímce, má však hranatý charakter. Pro popis rotace se tedy používá středový úhel rotace θ, úhlová rychlost ω a zrychlení α. Pro tato množství platí následující vzorce:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Předpokládejme, že těleso provedlo jednu otáčku kolem osy rotace za čas t, pak pro úhlovou rychlost můžeme napsat:

ω=2pi/t

Lineární rychlost v tomto případě bude rovna:

v=2pir/t

Kde r je poloměr trajektorie. Poslední dva výrazy nám umožňují psátvzorec pro spojení dvou rychlostí:

v=ωr

Nyní vypočítáme časovou derivaci levé a pravé strany rovnice a dostaneme:

dv/dt=rdω/dt

Pravá strana rovnosti je součinem úhlového zrychlení a poloměru kružnice. Levá strana rovnice je změna modulu rychlosti, tedy tečné zrychlení.

Tečné zrychlení a podobná úhlová hodnota jsou tedy ve vztahu rovnosti:

a_t=αr

Pokud předpokládáme, že se disk otáčí, pak se tečné zrychlení bodu na konstantní hodnotě α bude lineárně zvětšovat s rostoucí vzdáleností od tohoto bodu k ose rotace r.

Dále vyřešíme dva problémy pomocí výše uvedených vzorců.

Určení tečného zrychlení ze známé funkce rychlosti

Je známo, že rychlost tělesa, které se pohybuje po určité zakřivené trajektorii, je popsána následující funkcí času:

v=2t2+ 3t + 5

Je nutné určit vzorec pro tečné zrychlení a zjistit jeho hodnotu v čase t=5 sekund.

Nejprve napišme vzorec pro modul tangenciálního zrychlení:

a_t=dv/dt

To znamená, že pro výpočet funkce a_{t(t) byste měli určit derivaci rychlosti s ohledem na čas. Máme:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Dosazením času t=5 sekund do výsledného výrazu dospějeme k odpovědi: a_t=23 m/s^2.

Všimněte si, že graf závislosti rychlosti na čase v tomto problému je parabola, zatímco graf tečného zrychlení je přímka.

Úloha tangenciálního zrychlení

Je známo, že hmotný bod začal rovnoměrně zrychlenou rotaci od nulového okamžiku času. 10 sekund po začátku rotace se jeho dostředivé zrychlení rovnalo 20 m/s2. Je nutné určit tečné zrychlení bodu po 10 sekundách, pokud je známo, že poloměr otáčení je 1 metr.

Nejprve si zapište vzorec pro dostředivé nebo normální zrychlení a_c: