V přírodě a technice se často setkáváme s projevem rotačního pohybu pevných těles, jako jsou hřídele a ozubená kola. Jak je tento typ pohybu popsán ve fyzice, jaké vzorce a rovnice se k tomu používají, tyto a další problémy jsou popsány v tomto článku.
Co je rotace?
Každý z nás si intuitivně představí, o jakém druhu pohybu mluvíme. Rotace je proces, při kterém se těleso nebo hmotný bod pohybuje po kruhové dráze kolem nějaké osy. Z geometrického hlediska je osou otáčení tuhého tělesa přímka, jejíž vzdálenost zůstává při pohybu nezměněna. Tato vzdálenost se nazývá poloměr otáčení. Dále jej budeme označovat písmenem r. Pokud osa rotace prochází těžištěm tělesa, pak se nazývá vlastní osa. Příklad rotace kolem vlastní osy je odpovídající pohyb planet sluneční soustavy.
Aby došlo k rotaci, musí existovat dostředivé zrychlení, ke kterému dochází v důsledkudostředivá síla. Tato síla směřuje od těžiště tělesa k ose otáčení. Povaha dostředivé síly může být velmi odlišná. Takže v kosmickém měřítku hraje svou roli gravitace, pokud je tělo upevněno nití, pak bude tažná síla nitě dostředivá. Když se těleso otáčí kolem své vlastní osy, roli dostředivé síly hraje vnitřní elektrochemická interakce mezi prvky (molekuly, atomy), které tvoří těleso.
Je třeba pochopit, že bez přítomnosti dostředivé síly se těleso bude pohybovat přímočaře.
Fyzikální veličiny popisující rotaci
Za prvé jsou to dynamické vlastnosti. Patří mezi ně:
- momentum L;
- moment setrvačnosti I;
- moment síly M.
Zadruhé, toto jsou kinematické charakteristiky. Pojďme si je vyjmenovat:
- úhel otočení θ;
- úhlová rychlost ω;
- úhlové zrychlení α.
Pojďme stručně popsat každou z těchto veličin.
Moment hybnosti je určen vzorcem:
L=pr=mvr
Kde p je lineární hybnost, m je hmotnost hmotného bodu, v je jeho lineární rychlost.
Moment setrvačnosti hmotného bodu se vypočítá pomocí výrazu:
I=mr2
Pro jakékoli těleso složitého tvaru se hodnota I vypočítá jako integrální součet momentů setrvačnosti hmotných bodů.
Moment síly M se vypočítá následovně:
M=Fd
Tady F -vnější síla, d - vzdálenost od bodu jejího působení k ose otáčení.
Fyzikální význam všech veličin, v jejichž názvu se vyskytuje slovo „okamžik“, je podobný významu odpovídajících lineárních veličin. Například moment síly ukazuje schopnost aplikované síly udělit úhlové zrychlení systému rotujících těles.
Kinematické charakteristiky jsou matematicky definovány pomocí následujících vzorců:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Jak můžete vidět z těchto výrazů, úhlové charakteristiky mají podobný význam jako lineární (rychlost v a zrychlení a), pouze jsou použitelné pro kruhovou trajektorii.
Dynamika rotace
Ve fyzice se studium rotačního pohybu tuhého tělesa provádí pomocí dvou odvětví mechaniky: dynamiky a kinematiky. Začněme dynamikou.
Dynamika studuje vnější síly působící na systém rotujících těles. Okamžitě si zapišme rovnici rotačního pohybu tuhého tělesa a poté rozebereme jeho součásti. Takže tato rovnice vypadá takto:
M=Iα
Moment síly, který působí na soustavu s momentem setrvačnosti I, způsobuje vznik úhlového zrychlení α. Čím menší je hodnota I, tím snazší je pomocí určitého momentu M roztočit systém do vysokých otáček v krátkých časových intervalech. Například kovová tyč se snadněji otáčí podél své osy než kolmo k ní. Je však snazší otočit stejnou tyč kolem osy kolmé k ní a procházející těžištěm než jejím koncem.
Zákon o ochraněhodnoty L
Tato hodnota byla zavedena výše, nazývá se moment hybnosti. Rovnice rotačního pohybu tuhého tělesa, uvedená v předchozím odstavci, je často zapsána v jiném tvaru:
Mdt=dL
Pokud moment vnějších sil M působí na soustavu za dobu dt, pak způsobí změnu momentu hybnosti soustavy o dL. Pokud je tedy moment sil roven nule, pak L=konst. Toto je zákon zachování hodnoty L. Pro něj pomocí vztahu mezi lineární a úhlovou rychlostí můžeme napsat:
L=mvr=mωr2=Iω.
Při absenci momentu sil je tedy součin úhlové rychlosti a momentu setrvačnosti konstantní hodnotou. Tento fyzikální zákon používají krasobruslaři při svých vystoupeních nebo umělé družice, které je třeba otáčet kolem vlastní osy ve vesmíru.
Dostředivé zrychlení
Při studiu rotačního pohybu tuhého tělesa již byla tato veličina popsána výše. Byla také zaznamenána povaha dostředivých sil. Zde tyto informace pouze doplníme a uvedeme odpovídající vzorce pro výpočet tohoto zrychlení. Označte to ac.
Jelikož dostředivá síla směřuje kolmo k ose a prochází přes ni, nevytváří moment. To znamená, že tato síla nemá absolutně žádný vliv na kinematické charakteristiky rotace. Vytváří však dostředivé zrychlení. Dáme dva vzorce projeho definice:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Čím větší je tedy úhlová rychlost a poloměr, tím větší síla musí být vyvinuta, aby se těleso udrželo na kruhové dráze. Pozoruhodným příkladem tohoto fyzikálního procesu je smyk auta během zatáčky. Smyk nastane, když dostředivá síla, kterou působí třecí síla, bude menší než odstředivá síla (setrvačná charakteristika).
Rotační kinematika
Tři hlavní kinematické charakteristiky byly uvedeny výše v článku. Kinematika rotačního pohybu tuhého tělesa je popsána následujícími rovnicemi:
θ=ωt=>ω=konst., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=konst.
První řádek obsahuje vzorce pro rovnoměrnou rotaci, která předpokládá nepřítomnost vnějšího momentu sil působících na systém. Druhý řádek obsahuje vzorce pro rovnoměrně zrychlený pohyb v kruhu.
Všimněte si, že rotace může nastat nejen při kladném zrychlení, ale také při záporném zrychlení. V tomto případě vložte do vzorců na druhém řádku před druhý výraz znaménko mínus.
Příklad řešení problému
Na kovový hřídel působil po dobu 10 sekund moment síly 1000 Nm. S vědomím, že moment setrvačnosti hřídele je 50kgm2, je nutné určit úhlovou rychlost, kterou zmíněný moment síly udělil hřídeli.
Použitím základní rovnice rotace vypočítáme zrychlení hřídele:
M=Iα=>
α=M/I.
Protože toto úhlové zrychlení působilo na hřídel během doby t=10 sekund, používáme k výpočtu úhlové rychlosti vzorec pro rovnoměrně zrychlený pohyb:
ω=ω0+ αt=M/It.
Zde ω0=0 (hřídel se neotáčel až do momentu síly M).
Dosaďte číselné hodnoty veličin rovností, dostaneme:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Chcete-li toto číslo převést na obvyklé otáčky za sekundu, musíte je vydělit 2pi. Po dokončení této akce dostaneme, že se hřídel bude otáčet frekvencí 31,8 ot./min.
