Kvantitativní studium dynamiky a kinematiky rotačního pohybu vyžaduje znalost momentu setrvačnosti hmotného bodu a tuhého tělesa vzhledem k ose rotace. V článku zvážíme, o jakém parametru mluvíme, a také uvedeme vzorec pro jeho určení.
Obecné informace o fyzickém množství
Nejprve definujme moment setrvačnosti hmotného bodu a tuhého tělesa a pak si ukažme, jak by se měl použít při řešení praktických problémů.
Pod uvedenou fyzikální charakteristikou pro bod o hmotnosti m, který se otáčí kolem osy ve vzdálenosti r, se rozumí následující hodnota:
I=mr².
Z toho vyplývá, že jednotkou měření studovaného parametru jsou kilogramy na metr čtvereční (kgm²).
Pokud se místo bodu kolem osy otáčí těleso složitého tvaru, které má uvnitř sebe libovolné rozložení hmoty, je určen jeho moment setrvačnostitakže:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kde ρ je hustota tělesa. Pomocí integrálního vzorce můžete určit hodnotu I pro absolutně jakýkoli systém rotace.
Moment setrvačnosti má přesně stejný význam pro rotaci jako hmotnost pro translační pohyb. Každý například ví, že je nejjednodušší otáčet mopem na podlahu kolem osy procházející jeho rukojetí než kolem osy kolmé. To je způsobeno skutečností, že moment setrvačnosti v prvním případě je mnohem menší než ve druhém.
Cením si těla různých tvarů
Při řešení úloh ve fyzice pro rotaci je často nutné znát moment setrvačnosti pro těleso určitého geometrického tvaru, například pro válec, kouli nebo tyč. Pokud použijeme výše napsaný vzorec pro I, pak je snadné získat odpovídající výraz pro všechna označená tělesa. Níže jsou uvedeny vzorce pro některé z nich:
tyč: I=1 / 12ML²;
válec: I=1 / 2MR²;
koule: I=2 / 5MR².
Zde jsem uveden pro osu rotace, která prochází těžištěm těla. V případě válce je osa rovnoběžná s generátorem obrázku. Moment setrvačnosti pro jiná geometrická tělesa a možnosti umístění os otáčení naleznete v příslušných tabulkách. Všimněte si, že k určení různých obrazců stačí znát pouze jeden geometrický parametr a hmotnost tělesa.
Steinerova věta a vzorec
Moment setrvačnosti lze určit, pokud je osa rotace umístěna v určité vzdálenosti od těla. K tomu byste měli znát délku tohoto segmentu a hodnotu IO těla vzhledem k ose procházející středem jeho hmoty, která by měla být rovnoběžná s osou pod ohleduplnost. Navázání spojení mezi parametrem IO a neznámou hodnotou I je pevně stanoveno ve Steinerově větě. Moment setrvačnosti hmotného bodu a tuhého tělesa je matematicky zapsán následovně:
I=IO+ Mh2.
Zde M je hmotnost tělesa, h je vzdálenost od těžiště k ose rotace, vzhledem k níž je nutné vypočítat I. Tento výraz lze snadno získat sami, pokud použijte integrální vzorec pro I a vezměte v úvahu, že všechny body těla jsou ve vzdálenostech r=r0 + h.
Steinerova věta značně zjednodušuje definici I pro mnoho praktických situací. Pokud například potřebujete najít I pro tyč o délce L a hmotnosti M vzhledem k ose, která prochází jejím koncem, pak použití Steinerovy věty vám umožní napsat:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Můžete se podívat na odpovídající tabulku a uvidíte, že obsahuje přesně tento vzorec pro tenkou tyč s osou otáčení na jejím konci.
Momentová rovnice
Ve fyzice rotace existuje vzorec zvaný rovnice momentů. Vypadá to takto:
M=Iα.
Zde M je moment síly, α je úhlové zrychlení. Jak vidíte, moment setrvačnosti hmotného bodu a tuhého tělesa a moment síly spolu lineárně souvisí. Hodnota M určuje možnost nějaké síly F vytvořit v soustavě rotační pohyb se zrychlením α. Pro výpočet M použijte následující jednoduchý výraz:
M=Fd.
Kde d je rameno momentu, které se rovná vzdálenosti od vektoru síly F k ose rotace. Čím menší je rameno d, tím menší schopnost bude mít síla k vytvoření rotace systému.
Rovnice momentů ve svém významu je plně v souladu s druhým Newtonovým zákonem. V tomto případě hraji roli setrvačné hmoty.
Příklad řešení problému
Představme si systém, který je válcem upevněným na vertikální ose s beztížnou horizontální tyčí. Je známo, že osa otáčení a hlavní osa válce jsou vzájemně rovnoběžné a vzdálenost mezi nimi je 30 cm. Hmotnost válce je 1 kg a jeho poloměr je 5 cm. Síla 10 Na obrazec působí N tečna k trajektorii rotace, jejíž vektor prochází hlavní osou válce. Je nutné určit úhlové zrychlení postavy, které tato síla způsobí.
Nejprve vypočítejme moment setrvačnosti I válce. K tomu použijte Steinerovu větu, máme:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Než použijete momentovou rovnici, musíte to udělaturčete moment síly M. V tomto případě máme:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nyní můžete určit zrychlení:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Vypočítané úhlové zrychlení udává, že každou sekundu se rychlost válce zvýší o 5,2 otáčky za sekundu.
