Polyhedra přitahovala pozornost matematiků a vědců již ve starověku. Egypťané stavěli pyramidy. A Řekové studovali „pravidelné mnohostěny“. Někdy se jim říká platónská tělesa. "Tradiční mnohostěny" se skládají z plochých ploch, rovných hran a vrcholů. Ale hlavní otázkou vždy bylo, jaká pravidla musí tyto oddělené části splňovat a jaké další globální podmínky musí být splněny, aby se objekt kvalifikoval jako mnohostěn. Odpověď na tuto otázku bude uvedena v článku.
Problémy v definici
Z čeho se toto číslo skládá? Mnohostěn je uzavřený pevný tvar, který má ploché plochy a rovné hrany. Proto lze první problém jeho definice nazvat přesně stranami obrázku. Ne všechny tváře ležící v rovinách jsou vždy znakem mnohostěnu. Vezměme si jako příklad "trojúhelníkový válec". Z čeho se skládá? Část jeho povrchu tři v párechprotínající se svislé roviny nelze považovat za mnohoúhelníky. Důvodem je, že nemá žádné vrcholy. Povrch takového obrazce je tvořen na základě tří paprsků, které se setkávají v jednom bodě.
Ještě jeden problém – letadla. V případě „trojúhelníkového válce“spočívá v jejich neomezených částech. Obrazec je považován za konvexní, pokud je v něm také úsečka spojující libovolné dva body v množině. Pojďme si představit jednu z jejich důležitých vlastností. U konvexních množin je to tak, že množina bodů společných množině je stejná. Existuje i jiný druh čísel. Jedná se o nekonvexní 2D mnohostěny, které mají buď zářezy nebo otvory.
Tvary, které nejsou mnohostěny
Plochá sada bodů může být různá (například nekonvexní) a nesplňuje obvyklou definici mnohostěnu. I přes něj je omezena úseky linek. Linie konvexního mnohostěnu se skládají z konvexních obrazců. Tento přístup k definici však vylučuje postavu jdoucí do nekonečna. Příkladem toho mohou být tři paprsky, které se nestýkají ve stejném bodě. Ale zároveň jsou spojeny s vrcholy jiné postavy. Tradičně bylo pro mnohostěn důležité, aby se skládal z plochých ploch. Postupem času se však tento koncept rozšířil, což vedlo k výraznému zlepšení v chápání původní „užší“třídy mnohostěnů a také ke vzniku nové, širší definice.
Správně
Uveďme ještě jednu definici. Pravidelný mnohostěn je takový, ve kterém je každá plocha shodná pravidelnákonvexní polygony a všechny vrcholy jsou „stejné“. To znamená, že každý vrchol má stejný počet pravidelných mnohoúhelníků. Použijte tuto definici. Takže můžete najít pět pravidelných mnohostěnů.
První kroky k Eulerově větě pro mnohostěny
Řekové věděli o mnohoúhelníku, který se dnes nazývá pentagram. Tento mnohoúhelník by se dal nazvat pravidelným, protože všechny jeho strany jsou stejně dlouhé. Je tu ještě jedna důležitá poznámka. Úhel mezi dvěma po sobě jdoucími stranami je vždy stejný. Při kreslení v rovině však nedefinuje konvexní množinu a strany mnohostěnu se vzájemně protínají. Ne vždy tomu tak však bylo. Matematici dlouho zvažovali myšlenku „nekonvexních“pravidelných mnohostěnů. Pentagram byl jedním z nich. Povoleny byly i „hvězdové polygony“. Bylo objeveno několik nových příkladů „pravidelných mnohostěnů“. Nyní se nazývají mnohostěny Kepler-Poinsot. Později G. S. M. Coxeter a Branko Grünbaum rozšířili pravidla a objevili další „pravidelné mnohostěny“.
Polyedrický vzorec
Systematické studium těchto čísel začalo relativně brzy v historii matematiky. Leonhard Euler byl první, kdo si všiml, že vzorec týkající se počtu jejich vrcholů, ploch a hran platí pro konvexní 3D mnohostěny.
Vypadá takto:
V + F – E=2, kde V je počet mnohostěnných vrcholů, F je počet hran mnohostěnu a E je počet ploch.
Leonhard Euler je Švýcarmatematik, který je považován za jednoho z největších a nejproduktivnějších vědců všech dob. Většinu svého života byl slepý, ale ztráta zraku mu dala důvod stát se ještě produktivnějším. Existuje několik vzorců pojmenovaných po něm a ten, na který jsme se právě podívali, se někdy nazývá Eulerův mnohostěnný vzorec.
Je tu jedno vysvětlení. Eulerův vzorec však funguje pouze pro mnohostěny, které dodržují určitá pravidla. Spočívají v tom, že forma by neměla mít žádné otvory. A je nepřijatelné, aby se křížilo. Mnohostěn také nemůže být vytvořen ze dvou částí spojených dohromady, jako jsou dvě krychle se stejným vrcholem. Euler zmínil výsledek svého výzkumu v dopise Christianu Goldbachovi v roce 1750. Později publikoval dva články, ve kterých popsal, jak se snažil najít důkaz svého nového objevu. Ve skutečnosti existují formy, které dávají jinou odpověď na V + F - E. Odpověď na součet F + V - E=X se nazývá Eulerova charakteristika. Má jiný aspekt. Některé tvary mohou mít dokonce negativní Eulerovu charakteristiku
Teorie grafů
Někdy se tvrdí, že Descartes odvodil Eulerův teorém dříve. Přestože tento vědec objevil fakta o trojrozměrných mnohostěnech, která by mu umožnila odvodit požadovaný vzorec, tento dodatečný krok neudělal. Dnes je Euler považován za „otce“teorie grafů. Pomocí svých nápadů vyřešil problém mostu Königsberg. Vědec se ale na mnohostěn nedíval v souvislostechteorie grafů. Euler se pokusil podat důkaz vzorce založeného na rozkladu mnohostěnu na jednodušší části. Tento pokus zaostává za moderními standardy důkazu. Ačkoli Euler neuvedl první správné odůvodnění svého vzorce, nelze dokázat domněnky, které nebyly učiněny. Výsledky, které byly později podloženy, však umožňují použít Eulerovu větu i v současnosti. První důkaz získal matematik Adrian Marie Legendre.
Důkaz Eulerova vzorce
Euler poprvé formuloval polyedrický vzorec jako větu o mnohostěnu. Dnes se s ním často zachází v obecnějším kontextu spojených grafů. Například jako struktury sestávající z bodů a úseček je spojujících, které jsou ve stejné části. Augustin Louis Cauchy byl prvním člověkem, který našel toto důležité spojení. Sloužil jako důkaz Eulerovy věty. V podstatě si všiml, že graf konvexního mnohostěnu (nebo toho, čemu se dnes říká), je topologicky homeomorfní ke kouli, má rovinný souvislý graf. co to je Rovinný graf je graf, který byl nakreslen v rovině tak, že se jeho hrany setkávají nebo protínají pouze ve vrcholu. Zde byla nalezena souvislost mezi Eulerovou větou a grafy.
Jedním náznakem důležitosti výsledku je, že David Epstein dokázal shromáždit sedmnáct různých důkazů. Existuje mnoho způsobů, jak ospravedlnit Eulerův polyedrický vzorec. V jistém smyslu jsou nejzjevnějšími důkazy metody, které využívají matematickou indukci. Výsledek lze prokázatkreslení podél počtu hran, ploch nebo vrcholů grafu.
Důkaz Rademachera a Toeplitze
Zvlášť atraktivní je následující důkaz Rademachera a Toeplitze, založený na přístupu Von Staudta. Abychom ospravedlnili Eulerovu větu, předpokládejme, že G je souvislý graf vložený do roviny. Pokud má schémata, je možné z každého vyjmout jednu hranu tak, aby byla zachována vlastnost, že zůstane připojená. Mezi odstraněnými částmi pro přechod na spojený graf bez uzavření a těmi, které nejsou nekonečnou hranou, existuje vzájemná shoda. Tento výzkum vedl ke klasifikaci „orientovatelných povrchů“z hlediska takzvané Eulerovy charakteristiky.
Jordánská křivka. Věta
Hlavní teze, která se přímo či nepřímo používá při důkazu mnohostěnného vzorce Eulerovy věty pro grafy, závisí na Jordanově křivce. Tato myšlenka souvisí s generalizací. Říká, že jakákoli jednoduchá uzavřená křivka rozděluje rovinu na tři množiny: body na ní, uvnitř a vně. Jak se v devatenáctém století rozvíjel zájem o Eulerův polyhedrální vzorec, bylo učiněno mnoho pokusů jej zobecnit. Tento výzkum položil základ pro rozvoj algebraické topologie a spojil ji s algebrou a teorií čísel.
Skupina Moebius
Brzy bylo zjištěno, že některé povrchy lze „orientovat“konzistentně pouze lokálně, nikoli globálně. Ilustrací toho je známá Möbiova skupinapovrchy. Bylo objeveno poněkud dříve Johannem Listingem. Tento pojem zahrnuje pojem rodu grafu: nejmenší počet deskriptorů g. Musí být přidán k povrchu koule a může být vložen na rozšířenou plochu tak, že se hrany setkávají pouze ve vrcholech. Ukazuje se, že jakoukoli orientovatelnou plochu v euklidovském prostoru lze považovat za kouli s určitým počtem úchytů.
Eulerův diagram
Vědec učinil další objev, který se používá dodnes. Tento takzvaný Eulerův diagram je grafickým znázorněním kružnic, obvykle používaným k ilustraci vztahů mezi množinami nebo skupinami. Grafy obvykle obsahují barvy, které se prolínají v oblastech, kde se kruhy překrývají. Sady jsou přesně reprezentovány kruhy nebo ovály, i když pro ně lze použít i jiné figury. Inkluzi představuje překrytí elips nazývané Eulerovy kružnice.
Představují množiny a podmnožiny. Výjimkou jsou nepřekrývající se kruhy. Eulerovy diagramy úzce souvisí s jiným grafickým znázorněním. Často jsou zmatení. Toto grafické znázornění se nazývá Vennovy diagramy. V závislosti na příslušných sadách mohou obě verze vypadat stejně. Ve Vennových diagramech však překrývající se kruhy nemusí nutně znamenat shodnost mezi sadami, ale pouze možný logický vztah, pokud jejich popisky nejsou vprotínající se kruh. Obě možnosti byly přijaty pro výuku teorie množin jako součást nového matematického hnutí 60. let.
Fermatovy a Eulerovy věty
Euler zanechal výraznou stopu v matematické vědě. Algebraická teorie čísel byla obohacena o větu pojmenovanou po něm. Je to také důsledek dalšího důležitého objevu. Jde o tzv. obecnou algebraickou Lagrangeovu větu. Eulerovo jméno je také spojeno s Fermatovou malou větou. Říká, že pokud p je prvočíslo a a je celé číslo nedělitelné p, pak:
ap-1 - 1 je dělitelné p.
Stejný objev má někdy jiné jméno, nejčastěji se vyskytuje v zahraniční literatuře. Zní to jako Fermatova vánoční věta. Jde o to, že objev se stal známým díky dopisu vědce zaslaného v předvečer 25. prosince 1640. Ale se samotným prohlášením jsme se již setkali. Použil ji další vědec jménem Albert Girard. Fermat se pouze snažil dokázat svou teorii. Autor v dalším dopise naznačuje, že se inspiroval metodou nekonečného sestupu. Žádné důkazy ale nepředložil. Později se ke stejné metodě přiklonil i Eider. A po něm - mnoho dalších slavných vědců, včetně Lagrange, Gauss a Minkosky.
Funkce identit
Fermatova malá věta se také díky Eulerovi nazývá speciální případ věty z teorie čísel. V této teorii Eulerova funkce identity počítá kladná celá čísla až do daného celého čísla n. Jsou coprime s ohledem nan. Eulerův teorém v teorii čísel je napsán pomocí řeckého písmene φ a vypadá jako φ(n). Formálněji ji lze definovat jako počet celých čísel k v rozsahu 1 ≦ k ≦ n, pro které je největší společný dělitel gcd(n, k) 1. Zápis φ(n) lze také nazvat Eulerovou funkcí phi. Celá čísla k tohoto tvaru se někdy nazývají totativní. V srdci teorie čísel je Eulerova funkce identity multiplikativní, což znamená, že pokud jsou dvě čísla ma n společná, pak φ(mn)=φ(m)φ(n). Hraje také klíčovou roli při definování šifrovacího systému RSA.
Eulerova funkce byla zavedena v roce 1763. Matematik však pro ni v té době nevybral žádný konkrétní symbol. V publikaci z roku 1784 Euler studoval tuto funkci podrobněji a pro její reprezentaci si vybral řecké písmeno π. James Sylvester pro tuto funkci vymyslel termín „totální“. Proto se také označuje jako Eulerův celkový. Celkové φ(n) kladného celého čísla n většího než 1 je počet kladných celých čísel menších než n, která jsou relativně prvočísla až do n.φ(1) je definováno jako 1. Eulerova funkce nebo funkce phi(φ) je velmi důležitá číselná teoretická funkce hluboce související s prvočísly a takzvaným řádem celých čísel.
